中职高教版（2021·十四五）5.2 指数函数精品导学案及答案

这是一份中职高教版（2021·十四五）5.2 指数函数精品导学案及答案，文件包含串讲01指数幂与指数函数考点串讲原卷版docx、串讲01指数幂与指数函数考点串讲解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共25页， 欢迎下载使用。

要点梳理
知识点一 根式
1．n次方根
[归纳总结] (1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
(2)eq \r(n,0)＝0(n＞1，且n∈N*)．
2．根式
(1)定义：式子__eq \r(n,a)__叫做根式，这里n叫做__根指数__，a叫做__被开方数__.
(2)性质：(n＞1，且n∈N*)
①(eq \r(n,a))n＝a.
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))
知识点二 指数幂
1.分数指数幂的意义
2.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．
3.实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)
(1)aras＝ar＋s．(2)(ar)s＝ars．(3)(ab)r＝arbr．
[知识点拨] 在引入分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展；在引入无理数指数幂的概念后，指数概念就实现了由有理数指数幂向实数指数幂的扩展．
知识点三 指数函数
1.函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．
思考：为什么指数函数的底数a>0，且a≠1?
提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，该函数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
2.指数函数的图象和性质
思考：对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝(eq \f(1,2))x，y＝(eq \f(1,3))x，…，为什么一定过点(0，1)?
提示：当x＝0时，a0＝1(a≠0)恒成立，即指数函数的图象一定过点(0，1)．
题型探究：
考点一 n次方根的概念
例1.若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ）
A． B．C． D．
例2.若有意义，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
『规律方法』 (1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；
(2)(eq \r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．
【变式】1. 是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ）
A．B．
C．D．
2. 若，则化简的结果是（ ）
A．B．C．D．2
考点二 根式的化简
例3．当有意义时，化简的结果是（ ）．
A．B．C．D．
[归纳提升] 1.根式化简或求值的注意点
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．对eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n的进一步认识
(1)对(eq \r(n,a))n的理解：当n为大于1的奇数时，(eq \r(n,a))n对任意a∈R都有意义，且(eq \r(n,a))n＝a，当n为大于1的偶数时，(eq \r(n,a))n只有当a≥0时才有意义，且(eq \r(n,a))n＝a(a≥0)．
(2)对eq \r(n,an)的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa≥0,－aa＜0)).
【变式探究】1. （ ）
A．B．C．D．
2. 计算下列各式：
①eq \r(5,－a5)＝__－a__；
②eq \r(6,3－π6)＝__π－3__；
考点三 根式与分数指数幂的互化
例4. 将下列各分数指数幂写成根式的形式：
（1）； （2）； （3）．
【思路分析】 (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．
『规律方法』 进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a eq \s\up5(\f(m,n)) ＝eq \r(n,am)(a>0，m、n∈N＋)，同时应注意以下几点：
(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式；
(2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．
例5. 将写成分数指数幂的形式为（ ）
A．B．C．D．
【变式探究】1. 已知a>0，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．将化成分数指数幂为（ ）
A．B．C．D．
考点四 实数指数幂的求值
例5. 计算下列各式：
（2）
(3)(2eq \f(7,9))0.5＋0.1－2＋(2eq \f(10,27))－ eq \s\up7(\f(2,3)) ＋eq \f(37,48)
[规律方法] 关于实数指数幂的运算
(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．
(2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．
【变式】1.计算下列各式：
（2）eq \r(3,3)×eq \r(4,3)×eq \r(4,27).
2．化简求值:
考点五 实数指数幂的运算
例6.下列运算错误的是（ ）
A．a3+a3=2a6B．a6÷a-3=a9
C．a3·a3=a6D．（-2a2）3=-8a6
例7.化简求值：
；
【变式探究】1. 化简求值：
2．化简求值:
考点六 指数函数的概念
例8. (1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－4)x B．y＝πx
C．y＝－4xD．y＝ax＋2(a>0，a≠1)
(2) 函数是指数函数，求的值．
[归纳提升] 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；
(2)指数位置是自变量x；
(3)ax的系数是1.
2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．
【变式探究】1. 已知指数函数，求.
考点七 指数函数解析式
例9. 已知函数(，且)，若函数的图像过点，求实数的值．
【变式探究】已知指数函数的图象经过点，求和．
考点八 与指数函数有关的定义域
例10. 函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【变式探究】函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
考点九 指数函数的图象
例11. 设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ）

A．B．C．D．
例12. 若，则函数与的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式探究】1. 已知函数，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2. 函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A．B．
C．D．
考点十 幂式大小的比较
例13. 用“>”连接下列各数，，
例14. 请将三个数，，，按照从小到大的排序排列 ．
【变式探究】已知a＝0.32，b＝0.30.2，c＝1，a，b，c的大小关系是 （用“＞”连接）.
考点十一 幂式大小的比较
例15.解指数方程
【变式探究】解指数方程
素养作业
1. 把根式aeq \r(a)化成分数指数幂是( )
A．(－a) eq \s\up5(\f(3,2)) B．－(－a) eq \s\up5(\f(3,2))
C．－a eq \s\up5(\f(3,2)) D．a eq \s\up5(\f(3,2))
2. 下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4. 将写成根式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（ ）
A． B．C． D．
7. 指数函数与的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
8．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
9．计算 .
10．比大小：2. 32.3 2.33.2，0.75-0.1
11．计算下列各式（式中字母均为正数）.
(1)；
(2).
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*
个数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为eq \r(n,a)
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±eq \r(n,a)
a＜0
x不存在
分
数
指
数
幂
正分数
指数幂
规定：a eq \s\up5(\f(m,n)) ＝__eq \r(n,am)__(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数
指数幂
规定：a－ eq \s\up5(\f(m,n)) ＝eq \f(1,a eq \s\up5(\f(m,n)) )＝__eq \f(1,\r(n,am))__
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数
指数幂
0的正分数指数幂等于__0__，
0的负分数指数幂__不存在__
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
在R上是减函数
在R上是增函数