高一数学期末试题（有答案）

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选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角的终边过点，则的值为（ C ）
A．B．C．D．
2．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（ D ）
A．7B．7．2C．7．5D．8
3．若，则实数（ B ）
A．1B．2C．3D．4
4．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（ C ）
A．13B．15C．14D．16
5．已知平面向量a=x,1，b=4,x，且a与b方向相反，则x的值为（ A ）
A．-2B．2C．±2D．0
6．下面中错误的是（D）
A．cs 80°cs 20°＋sin 80°sin 20°＝cs 60°
B．cs 75°＝cs 45°cs（－30°）＋sin 45°sin（－30°）
C．sin（α＋45°）sin α＋cs（α＋45°）cs α＝cs 45°
D．cs（α－）＝cs α＋sin α
7．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ D ）
A．若m//n，n⊂α，则m//αB．若m//α，m//β，则α//β
C．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊂α，n⊥α，则m⊥n
8．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ C ）

A．1B．2C．3D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ BC ）
A．三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点可确定一个平面
10．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 34,12. 记事件A为 “两人都击中”，事件 B为 “至少 1 人击中”，事件 C 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ACD ）
A．事件A与 C 是互斥事件B．事件 A与 B 相互独立
C．事件 B 与 C 是对立事件D．P(A∪B)=78
11．关于函数,下列说法正确的有（ ABC ）
A．的最大值为，最小值为
B．的单调递增区间为
C．的对称中心为
D．的最小正周期为
三、填空题
12．已知向量，，则的夹角是
13.已知满足，则______．1/4
14．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB1与平面ADD1A1所成的角等于________.45°
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
设平面向量a=(3sinx,cs2x−12)，b=(csx,−1)，函数f(x)=a⋅b．
(Ⅰ)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的最小值；
(Ⅱ)若锐角α满足f(α2)=13，求cs(2α+π6)的值．
解：(Ⅰ)f(x)=a⋅b=3sinx⋅csx+12−cs2x=32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，
由x∈[0,π2]，得2x−π6∈[−π6,5π6]，故
(Ⅱ)f(α2)=sin(α−π6)=13，∵α为锐角，∴cs(α−π6)=1−sin2(α−π6)=232．cs(2α+π6)=cs[2(α−π6)+π2]=−sin2(α−π6)=−2sin(α−π6)⋅cs(α−π6)=−492．
16.（15分）
.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2．
(1)求证：AC⊥B1D；
(2)求三棱锥C－BDB1的体积.
解(1)证明：如图，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴BB1⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD，
∴BB1⊥AC.
又∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD.
∵BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BDB1．
∵B1D⊂平面BDB1，∴AC⊥B1D.
(2)VC－BDB1＝VB1－BDC.
∵B1B⊥平面ABCD，
∴B1B是三棱锥B1－BDC的高.
∵VB1－BDC＝eq \f(1,3)S△BDC·BB1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2＝eq \f(4,3).
∴三棱锥C－BDB1的体积为eq \f(4,3).
17（15分）.
函数的部分图象如图所示．

(1)求的解析式；
(2)函数在上的最大值，并确定此时的值．
【详解】（1）由题图知，，则，
∴．又，∴．
∵，∴，∴，即，
∴的解析式为．
（2）由（1）．
∵，∴，∴当，即时，．
18．（17分）
某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]）.
(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；
(2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；
(3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.
【详解】（1）由题意可知，年龄在40,45内的频率为P=0.02×5=0.1，
故年龄在40,45内的市民人数为200×0.1=20. … ….(2分)
（2）平均数为22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=32.25 … ….(6分)
前三组的频率和为0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7，
第四组的频率为0.04×5=0.2，所以第80百分位数在第四组，
第80百分位数为35+0.10.2×5=37.5. … ….(9分)
（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3:2，
所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈，
所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. … ….(10分)
记第3组的3名分别为A1，A2，A3，第4组的2名分别为B1，B2，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为A1,A2，A1,A3，A1,B1，A1,B2，A2,A3，A2,B1，A2,B2，A3,B1，A3,B2，B1,B2，共有10种.
其中第4组的2名B1，B2至少有一名被选中的有：A1,B1，A1,B2，A2,B1，A2,B2，A3,B1，A3,B2，B1,B2，共有7种，… ….(16分)
所以至少有一人的年龄在35,40内的概率为710. … ….(17分)
19.（17分）
在△ABC中，角所对的边分别为，已知．
求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）由余弦定理可知，
代入可得，
当且仅当时取等号，
∴，又，
∴的取值范围是．