2025高考数学全国Ⅰ卷第10题抛物线性质综合题（解透一题）（含答案解析）

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【2025年新课标卷1卷T10】设抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交l:x=−32于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A．|AD|=|AF| B．|AE|=|AB|
C．|AB|≥6 D．|AE|⋅|BE|≥18
1．本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，涉及几何直观、代数运算和逻辑推理能力．
2．考生可能主要存在三种错误：
①几何条件转化困难（无法构建有效等价关系）；
②代数运算复杂度处理不足（多变量方程消元能力欠缺）；
③常见结论不熟练（抛物线的焦点弦结论）．
3．关键点在于数形结合的运用以及根据题意证明AE⊥BE．
方法一：特值检验法
对于选项B：取AB⊥x轴，则A32,3,B32,−3,E−32,0，
可得AB=6,AE=32，显然AB>AE，故B错误；
【方法点评】对于解析几何问题，常常根据图形取特殊位置检验，解答可以优化．
方法二：结论法
不妨设点A在第一象限，∠AFx=2θ,θ∈0,π2，
由题意可知：∠DAE=∠FAE=θ，
则AF=31−cs2θ=32sin2θ,BF=31+cs2θ=32cs2θ，AB=6sin22θ
对于选项B：可得AE=AFcsθ=32sin2θcsθ=6csθsin22θ=ABcsθ0的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，A，B在l上的射影分别为A1，B1，则下列说法正确的是（ ）
A．以AB为直径的圆与准线l相切
B．∠A1FB1=90∘
C．AB≥2p
D．若AF=2BF，则直线AB的斜率为±2
【类题训练，改编限制条件】
（2025·河南·一模）
3．设抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F0,1，过F的直线l交x轴的负半轴于点M，交抛物线C于A,B两点，AF0的焦点，直线AB经过点F交抛物线于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
B．若AF=2FB，则直线AB的斜率k=3
C．若Ax1,y1，Bx2,y2，则y1y2为定值−p2
D．若p=4，则AF+4BF的最小值为18
【拓展训练】
（24-25高二上·湖北·期末）
5．已知直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，过A，B分别作直线x=−p2的垂线，垂足依次为A1，B1，若AB长的最小值为4，则下列结论正确的有（ ）
A．p=2
B．若AB的倾斜角为60°，点A在第一象限，则AF=3FB
C．若AA1⋅BB1=8，则AB的斜率为1
D．若点M，N在C上，且AF+MF+NF=0，则|AF|+|MF|+|NF|=6
（23-24高二上·江西抚州·期中）
6．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于点A,B，过A,B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足分别为P,Q，线段PQ的中点为E，则有（ ）
A．yAyB=−4B．1AF+1BF>2
C．FP⊥FQD．AE⊥BE
参考答案：
1．BCD
【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A，通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B，结合B，及焦半径公式可判断C，通过2BF=AF确定直线AB的斜率为22，得到直线AB的方程为x=24y+2，联立抛物线方程求得A坐标，即可求解.
【详解】抛物线C:y2=8x的焦点为F2,0，准线l:x=−2，P−2,0，
所以焦点F到抛物线C的准线的距离为4，A错误；

设Ax1,y1,Bx2,y2
当直线AB垂直于y轴，可得x1=x2=2，
所以AF=BF=4,得1AF+1BF=12
当直线AB不垂直于y轴，设方程为x=my+2，由y2=8xx=my+2，得y2−8my−16=0，
则y1+y2=8my1y2=−16，x1x2=y128⋅y228=4，
1|AF|+1|BF|=1x1+2+1x2+2=(x1+x2)+4x1x2+2(x1+x2)+4=(x1+x2)+42(x1+x2)+8=12，B正确；
对于C，由AB的中点的横坐标为3，可得：x1+x2=6，
AF+BF=x1+x2+4=10，
又1AF+1BF=AF+BFAFBF=12，
所以AFBF=20，C正确；
对于D，

过点A,B作AA1⊥l,BB1⊥l，直线AB与x轴分别交l与点E,H，
设AF=2FB=2m，则BB1=m,AA1=2m，
因BB1//AA1，则BEAE=BB1AA1=12，得BE=3m，
则cs∠EBB1=BB1BE=13，则tan∠EBB1=22，
故直线AB的斜率为22，直线AB的方程为x=24y+2，
与y2=8x联立得y2−22y−16=0，
解得y1=42,y2=−22，
所以x1=4，
可得：A4,42，
所以S△AOF=12×2×42=42，D正确
故选：BCD
2．ABC
【分析】对于A，由抛物线的定义结合梯形中位线的定义判断，根据抛物线定义得出∠BFB1=∠B1FO，∠AFA1=∠A1FO计算判断B，根据焦点弦和焦半径公式和弦长公式，可判定C正确，根据抛物线定义结合同角三角函数关系计算判断D.
【详解】对于A，如图，假设点A位于第四象限，根据抛物线的定义可得AB=AF+BF=AA1+BB1，
设AB中点为G，点G在抛物线的准线l上的射为G1，所以GG1=AA1+BB12=AB2，
则以AB为直径的圆与准线l相切，故A正确；
对于B：因为AF=AA1,BF=BB1，所以∠BB1F=∠BFB1=∠B1FO,∠AA1F=∠AFA1=∠A1FO,
又因为∠BFB1+∠B1FO+∠AFA1+∠A1FO=180°，所以∠B1FO+∠A1FO=90°，所以∠A1FB1=90°，B选项正确；
设A(x1,y1),B(x2,y2)，由抛物线的定义，可得AB=AF+BF=x1+x2+p，
当直线l的斜率不存在时，可设直线l的方程为x=p2，
联立方程组x=p2y2=2px，解得y1=p,y2=−p，此时AB=2p
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−p2)，
联立方程组y=k(x−p2)y2=2px，整理得k2x2−(k2p+2p)x+k2p24=0，
可得x1+x2=k2p+2pk2，所以AB=x1+x2+p=k2p+2pk2+p=2p+2pk2>2p，
综上可得，线段AB长度的最小值是2p，所以C正确；
对于D，因为AF=AA1,BF=BB1，AF=2BF，
所以AB=AF+BF=3BB1，过B作BT⊥AA1，BT∩AA1=T,
设直线AB的斜率为tan∠AFx，
cs∠AFx=cs∠A1AF=ATAB=AA1−BB1AB=BB13BB1=13,
sin∠AFx=1−cs2∠AFx=223，所以tan∠AFx=±22，故D错误；
故选：ABC.
3．ABD
【分析】对于A由F0,p2即可求解；对于B设M−m,0m>0，因此Bm,2，又点B在抛物线上，即可求解；对于C直线l的方程为y=24x+1，与抛物线联立方程组即可求得点A,B坐标，由两点间的距离公式即可求解；对于D由y=14x2，得y′=12x得直线BN方程为y=2x−2，S△MNB=12×MN×yB即可求解.
【详解】因为F0,p2为0,1，所以p=2，故A正确；
设M−m,0m>0，因此Bm,2，由m2=4×2，从而m=22，直线l的斜率为1m=24，故B正确；
直线l的方程为y=24x+1，
所以y=24x+1x2=4y⇒x2−2x−4=0⇒x−222=92⇒x=−2y=12或x=22y=2，
因此可求得A−2,12，B22,2，可得AB=−2−222+12−22=92，故C错误；
由y=14x2，得y′=12x，所以直线BN的斜率为y'x=22=2，
方程为y=2x−2，因此N2,0，
所以△MBN的面积为12×MN×yB=32，故D正确．
故选：ABD．
4．ACD
【分析】由焦点弦的性质可得AB，再求得AB的中点到准线的距离，即可判断A，联立直线AB与抛物线的方程代入计算，即可判BC，由抛物线的焦半径公式以及基本不等式代入计算，即可判断D
【详解】A：由抛物线的方程可得焦点Fp2,0，准线方程为：x=−p2，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则AB的中点Mx1+x22,y1+y22，
利用焦点弦的性质可得AB=x1+x2+p，
而AB的中点M到准线的距离d=x1+x22−(−p2)=12(x1+x2+p)=12|AB|，
∴以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确；
B：设直线AB的方程为x=my+p2，k=1m，
联立x=my+p2y2=2px，整理可得：y2−2mpy−p2=0，
可得y1+y2=2mp，y1y2=−p2，
∵AF=2FB，∴y1=−2y2，解得y2=−2mp，y1=4mp，
∴−8m2p2=−p2，解得m2=18，则k=1m≠3，因此B不正确，C正确；
D：若p=4，则抛物线C：y2=8x，不妨设x1>x2>0，x1x2=y1y2264=4，
∴|AF|+4|BF|=x1+4x2+10=4x2+4x2+10≥4×21x2⋅x2+10=18，
当且仅当x2=1，x1=4时取等号，因此D正确.
故选：ACD.
5．ABD
【分析】根据通径为焦点弦最短弦列式求解p判断A；联立直线与抛物线，求出交点坐标，结合焦半径公式利用向量共线的概念判断B；根据焦半径公式列式求解判断C；利用向量坐标运算得x1+x3+x4=3×p2=3，进而利用焦半径公式求解判断D.
【详解】对于A：由题意得抛物线的焦点Fp2,0，准线方程为x=−p2，
因为AB长的最小值为4，所以2p=4，解得p=2，故A正确
对于B：所以抛物线的方程为y2=4x，
设直线AB的方程为x=my+1，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x=my+1y2=4x，得y2−4my−4=0，
所以y1+y2=4m，y1y2=−4，
所以x1x2=y124⋅y224=1616=1，x1+x2=my1+1+my2+1=my1+y2+2=4m2+2，
由抛物线的定义可得|AF|=x1+p2=x1+1，|BF|=x2+p2=x2+1，
|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=4m2+4，若AB的倾斜角为60°，则m=33，
所以y1+y2=433，y1y2=−4，所以y1=23，y2=−233，所以x1=3，x2=13，
所以|AF|=x1+1=4，|BF|=x2+1=43，所以|AF|=3|BF|，故B正确；
对于C：若AA1⋅BB1=8，则x1+p2⋅x2+p2=8，所以x1+1⋅x2+1=8，
所以x1+1x2+1=8，所以x1x2+x1+x2+1=8，所以1+4m2+2+1=8，
解得m=±1，所以直线AB的斜率为1或−1，故C错误；
对于D：设Mx3,y3，Nx4,y4，由AF+MF+NF=0，得F为△AMN的重心，
所以x1+x3+x4=3×p2=3，y1+y3+y4=0，
所以|AF|+|MF|+|NF|=x1+1+x3+1+x4+1=6，故D正确.
故选：ABD.
6．ACD
【分析】求出抛物线的焦点、准线，设直线l的方程为x=my+1，与抛物线方程联立，由韦达定理即可得出A项；根据抛物线的定义得出AF,BF，代入化简即可判断B项；由已知得出P,Q坐标，求解FP⋅FQ，即可判断C项；求出E点坐标，求解AE⋅BE，即可判断D项.
【详解】易知焦点F1,0，准线方程为x=−1，如下图所示：
可设直线l的方程为x=my+1，AxA,yA,BxB,yB.
联立直线和抛物线方程y2=4xx=my+1，消去x可得y2−4my−4=0，
则Δ=−4m2+16=16m2+16>0，
由韦达定理可知yA+yB=4m,yAyB=−4，即A正确；
根据抛物线的定义可知AF=AP=xA+1，BF=BQ=xB+1，
所以1AF+1BF=1xA+1+1xB+1=xA+1+xB+1xA+1xB+1.
又xA+xB=myA+1+myB+1=myA+yB+2=4m2+2，
xA+1xB+1=myA+2myB+2=m2yAyB+2myA+yB+4=4m2+4，
所以1AF+1BF=xA+1+xB+1xA+1xB+1=4m2+2+24m2+4=1