2025年高考数学一轮复习-第九章-第三节 抛物线及其性质-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第九章-第三节 抛物线及其性质-课时作业【含解析】，共10页。
1.抛物线y＝14x2的准线方程是（ ）
A.y＝－1 B.y＝－2
C.x＝－1 D.x＝－2
2.若抛物线y＝ax2的焦点坐标是（0，1），则a＝（ ）
A.1 B.12
C.2 D.14
3.（2024·黑龙江哈尔滨）若点P到点2，0的距离比它到直线x＋3＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是（ ）
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
4.若抛物线x2＝ay的焦点到准线的距离为1，则a＝（ ）
A.2 B.4
C.±2 D.±4
5.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，则｜PQ｜等于（ ）
A.9 B.8
C.7 D.6
6.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A.2512 m B.256 m
C.95 m D.185 m
7.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若｜PF｜＝42，则△POF的面积为（ ）
A.2 B.22
C.23 D.4
8.（多选）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，以下四个结论中正确的为（ ）
A.x1x2＝－4
B.｜AB｜＝y1＋y2＋1
C.∠A1FB1＝π2
D.AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2
9.（2024·天津）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点（m，9）到其焦点的距离为10，则抛物线C的方程为 ；准线方程为 .
10.已知动圆M过定点N（4，0），且截y轴所得弦长为8，设圆心M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 .
11.抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为 .
12.已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为 .
[B组 能力提升练]
13.（多选）（2024·江苏连云港）已知抛物线C的焦点在直线x－2y＋3＝0上，则抛物线C的标准方程为（ ）
A.y2＝12x B.y2＝－12x
C.x2＝－6y D.x2＝6y
14.（2024·安徽合肥）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A是抛物线C的准线与x轴的交点.若抛物线C上的点M满足｜MA｜＝2｜MF｜，则｜MF｜＝（ ）
A.2 B.2
C.22 D.4
15.（2024·陕西榆林）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线C上，若M到直线x＝－3的距离为7，则MF＝（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
16.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（ ）
A.10 B.11
C.12 D.13
17.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，斜率为22的直线l过点F与抛物线交于A，B两点，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，M为线段AB的中点，则△CDM是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
18.（多选）（2024·湖南郴州）已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则（ ）
A.C的准线方程为x＝－4
B.点F的坐标为（0，4）
C.｜FN｜＝12
D.△ONF的面积为162（O为坐标原点）
19.已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC＋BD的最小值为 .
20.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点M，N分别在抛物线C上，且MF＋3NF＝0，直线MN交l于点P，NN'⊥l，垂足为N'.若△MN'P的面积为243，则F到l的距离为 .
2025年高考数学一轮复习-第九章-第三节 抛物线及其性质-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.抛物线y＝14x2的准线方程是（ ）
A.y＝－1 B.y＝－2
C.x＝－1 D.x＝－2
答案：A
解析：∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.
2.若抛物线y＝ax2的焦点坐标是（0，1），则a＝（ ）
A.1 B.12
C.2 D.14
答案：D
解析：因为抛物线的标准方程为x2＝1ay，所以其焦点坐标为0，14a，则有14a＝1，a＝14.
3.（2024·黑龙江哈尔滨）若点P到点2，0的距离比它到直线x＋3＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是（ ）
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
答案：A
解析：由于点P到点2，0的距离比它到直线x＋3＝0的距离小1，故点P到点2，0的距离比它到直线x＋2＝0的距离相等，
故点P是在以2，0为焦点，以x＝－2为准线的抛物线上，故轨迹方程为y2＝8x.
4.若抛物线x2＝ay的焦点到准线的距离为1，则a＝（ ）
A.2 B.4
C.±2 D.±4
答案：C
解析：∵x2＝ay，∴p＝a2＝1，∴a＝±2.
5.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，则｜PQ｜等于（ ）
A.9 B.8
C.7 D.6
答案：B
解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1.根据题意可得，｜PQ｜＝｜PF｜＋｜QF｜＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
6.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A.2512 m B.256 m
C.95 m D.185 m
答案：D
解析：建立平面直角坐标系如图所示.
设抛物线的解析式为x2＝－2py，p＞0，
因为抛物线过点（6，－5），所以36＝10p，解得p＝185，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185 m.
7.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若｜PF｜＝42，则△POF的面积为（ ）
A.2 B.22
C.23 D.4
答案：C
解析：设P（x0，y0），则｜PF｜＝x0＋2＝42，
所以x0＝32，所以y02＝42x0＝42×32＝24，
所以｜y0｜＝26.
由y2＝42x，知焦点F（2，0），
所以S△POF＝12｜OF｜·｜y0｜＝12×2×26＝23.
8.（多选）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，以下四个结论中正确的为（ ）
A.x1x2＝－4
B.｜AB｜＝y1＋y2＋1
C.∠A1FB1＝π2
D.AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2
答案：ACD
解析：抛物线x2＝4y焦点为F（0，1），易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1.
由y＝kx+1，x2=4y，得x2－4kx－4＝0，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.A正确；
｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝y1＋1＋y2＋1 ＝y1＋y2＋2，B不正确；
FA1＝（x1，－2），FB1＝（x2，－2），
所以FA1·FB1＝x1x2＋4＝0，
所以FA1⊥FB1，∠A1FB1＝π2，C正确；
AB的中点到抛物线的准线的距离
d＝12（｜AA1｜＋｜BB1｜）
＝12（y1＋y2＋2）
＝12（kx1＋1＋kx2＋1＋2）
＝12（4k2＋4）≥2 .
当k＝0时取得最小值2，D正确.
9.（2024·天津）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点（m，9）到其焦点的距离为10，则抛物线C的方程为 ；准线方程为 .
答案：x2＝4y y＝－1
解析：∵抛物线方程为x2＝2py，
∴抛物线焦点为F0，p2，准线方程为y＝－p2.
又∵点（m，9）到其焦点的距离为10，
∴根据抛物线的定义，得9＋p2＝10，
∴p＝2，抛物线C：x2＝4y，
∴准线方程为y＝－1.
10.已知动圆M过定点N（4，0），且截y轴所得弦长为8，设圆心M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 .
答案：y2＝8x
解析：设动圆圆心M（x，y），
则（x－4）2＋y2＝x2＋42，
化简整理得y2＝8x，故曲线C的方程为y2＝8x.
11.抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为 .
答案：y2＝16x
解析：设满足题意的圆的圆心为M.
根据题意可知圆心M在抛物线上.
又∵圆的面积为36π，
∴圆的半径为6，则｜MF｜＝xM＋p2＝6，
则xM＝6－p2.
又由题意可知xM＝p4，∴p4＝6－p2，解得p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x.
12.已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为 .
答案：32－1
解析：由题意知，抛物线的焦点为F（1，0）.
点P到y轴的距离d1＝｜PF｜－1，
所以d1＋d2＝d2＋｜PF｜－1.
易知d2＋｜PF｜的最小值为点F到直线l的距离，
故d2＋｜PF｜的最小值为｜1+5｜12＋(−1）2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.
[B组 能力提升练]
13.（多选）（2024·江苏连云港）已知抛物线C的焦点在直线x－2y＋3＝0上，则抛物线C的标准方程为（ ）
A.y2＝12x B.y2＝－12x
C.x2＝－6y D.x2＝6y
答案：BD
解析：易知直线x－2y＋3＝0与坐标轴的交点分别为－3，0，0，32，
当焦点为－3，0时，可知抛物线方程为y2＝－12x；
当焦点为0，32时，可知抛物线方程为x2＝6y.
14.（2024·安徽合肥）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A是抛物线C的准线与x轴的交点.若抛物线C上的点M满足｜MA｜＝2｜MF｜，则｜MF｜＝（ ）
A.2 B.2
C.22 D.4
答案：B
解析：由已知得抛物线C的焦点为F（1，0），准线方程是x＝－1，A（－1，0）.
设M（x，y），则由｜MA｜＝2｜MF｜得（x+1）2＋y2＝2（x＋1）.又y2＝4x，所以（x＋1）2＋4x＝2（x＋1）2，解得x＝1，｜MF｜＝1＋1＝2.
15.（2024·陕西榆林）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线C上，若M到直线x＝－3的距离为7，则MF＝（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
答案：B
解析：由抛物线C：y2＝4x得焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1，如图，
因为点M在C上，且M到直线x＝－3的距离为7，
可得M到直线x＝－1的距离为7－2＝5，即点M到准线的距离为5，
根据抛物线的定义，可得点M到焦点的距离等于点M到准线的距离，所以MF＝5.
16.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（ ）
A.10 B.11
C.12 D.13
答案：B
解析：由题意知，当｜MA｜＋｜MF｜的值最小时，△MAF的周长最小.设点M在抛物线的准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知｜MD｜＝｜MF｜，因此｜MA｜＋｜MF｜ 的最小值即｜MA｜＋｜MD｜的最小值.根据平面几何的知识可得，当D，M，A三点共线时，｜MA｜＋｜MD｜最小，最小值为xA－（－1）＝5＋1＝6.又｜FA｜＝（5－1）2＋（3－0）2＝5，所以△MAF周长的最小值为6＋5＝11.
17.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，斜率为22的直线l过点F与抛物线交于A，B两点，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，M为线段AB的中点，则△CDM是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案：C
解析：四边形ABDC为直角梯形，取CD的中点为N，连接MN，则MN为梯形ABDC的中位线，所以｜MN｜＝12（｜AC｜＋｜BD｜），且MN⊥CD.由抛物线的定义得｜AC｜＋｜BD｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AB｜，所以｜MN｜＝12｜AB｜.设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝22，所以sin α＝33，所以｜CD｜＝｜AB｜sin α＝33｜AB｜，则｜CN｜＝｜DN｜＝36｜AB｜，所以｜MC｜＝｜MD｜＝｜MN｜2＋｜CN｜2＝33｜AB｜，所以｜MC｜＝｜MD｜＝｜CD｜，则△CDM为等边三角形.
18.（多选）（2024·湖南郴州）已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则（ ）
A.C的准线方程为x＝－4
B.点F的坐标为（0，4）
C.｜FN｜＝12
D.△ONF的面积为162（O为坐标原点）
答案：ACD
解析：如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F'，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，点F的坐标为（4，0），则｜AN｜＝4，｜FF'｜＝8.在直角梯形ANFF'中，中位线｜MB｜＝｜AN｜＋｜FF'|2＝6，由抛物线的定义有｜MF｜＝｜MB｜＝6，结合题意，有｜MN｜＝｜MF｜＝6，故｜FN｜＝｜MF｜＋｜MN｜＝6＋6＝12，
｜ON｜＝122－42＝82，S△ONF＝12×82×4＝162.
19.已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC＋BD的最小值为 .
答案：2
解析：由题意知F（1，0），AC＋BD＝AF＋BF－2＝AB－2，
即AC＋BD取得最小值时当且仅当AB取得最小值.
依抛物线定义知，当AB为通径，即AB＝2p＝4时为最小值，
所以AC＋BD的最小值为2.
20.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点M，N分别在抛物线C上，且MF＋3NF＝0，直线MN交l于点P，NN'⊥l，垂足为N'.若△MN'P的面积为243，则F到l的距离为 .
答案：6
解析：作出图形如图所示，作MM'⊥l，垂足为M'，设｜NF｜＝m（m＞0），则｜NN'｜＝m.由MF＋3NF＝0，得｜MF｜＝3m，则｜MM'｜＝3m，过点N作NG⊥MM'，垂足为G，则｜M'G｜＝m，｜MG｜＝2m，所以∠NMG＝60°，所以｜MP｜＝6m，｜NP｜＝2m，｜N'P｜＝3m，S△MN'P＝12·｜MM'｜｜N'P｜＝12×3m×3m＝243，所以m＝4.易知F为线段MP的中点，所以F到l的距离为p＝3m2＝6.