初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线图片课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线图片课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了新课导入，垂线段，探究新知，角的平分线的判定定理，几何语言，位置关系，数量关系，点在角的平分线上，∴BDED，教材P51例题等内容，欢迎下载使用。
1．点到直线的距离，就是这一点到直线的______的长度．2．角的平分线上的点到角两边的距离_____.
3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为 (　　)A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗?也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗?
交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等” 这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？
猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上
已知：
角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.
这个点在这个角的平分线上.
如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
可以通过添加辅助线，构造三角形来证明.
证明：如图，经过点 P 作射线 OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中，
OP = OP，PD = PE，
∴ △OPD ≌ △OPE（HL）∴∠AOC =∠BOC
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线
角的平分线的性质及判定的关系
角的内部，点到角两边距离相等
角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
1. 如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为 B，E，AB = CE，AB，CE 相交于点 F，连接 DF. 求证：FD 平分∠BFE.
教材P51练习 第1题
证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD =∠CED = 90°.在△ABD 和△CED 中，
∠ADB =∠CDE，∠ABD =∠CED，AB = CE，
∴△ABD ≌△CED（AAS）
又 AB⊥CD，CE⊥AD，∴FD 平分∠BFE.
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等；△ABC 的三条角平分线交于一点.
点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等
要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上．
证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 .
(2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等，∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 .
三角形三条角平分线的关系
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等.
三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线的交点.
到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？
三角形三个内角的平分线的交点 P1；三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点 P2，P3，P4.
教材P51练习 第2题
如图，已知△ABC ，BF 是△ABC的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P. 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等；点 P 在∠A 的平分线上.
证明：(1) 如图，过点 P 分别作 PJ，PI，PH 垂直于三边 AB，BC，AC 所在的直线，垂足分别为 J，I，H.
∵BF 是∠CBD 的平分线，点 P 在 BF 上，∴PI = PJ.同理，PH = PI，∴PJ = PI = PH，即点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等.
(2) 由(1)知 PH⊥AE，PJ⊥AD，且 PH = PJ，∴点 P 在∠A 的平分线上.
OP 平分∠AOBPD⊥OA于点 DPE⊥OB于点 E
PD⊥OA 于点DPE⊥OB 于点EPD = PE
例1　如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE.又∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴AD平分∠BAC.
例2　如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是△ABC的外角∠CAH的平分线．
证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF，∴DE＝DG，∴AD平分∠EAC，即AD是△ABC的外角∠CAH的平分线．
例3　如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论；
解：(1)AM平分∠BAD.证明如下：过点M作ME⊥AD于点E.又∵∠C＝90°，DM平分∠ADC，∴ME＝MC.∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴ME＝MB.又∵ME⊥AD，∠B＝90°，
例3　如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.(2)求证：CD＋AB＝AD；
(2)易证Rt△MCD≌Rt△MED，Rt△MBA≌Rt△MEA，∴DE＝CD，AB＝AE.又∵AD＝AE＋DE，∴CD＋AB＝AD；
例3　如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.(3)若BC＝12，AD＝13，求S梯形ABCD.
(3)由(2)易得CD＋AB＝AD＝13，∴S梯形ABCD＝ (CD＋AB)·BC＝ ×13×12＝78.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等
判断一个点是否在角的平分线上
1．如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，C为OA上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．50° B．55° C．60° D．80°
2．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是 ( )A．点M B．点N C．点P D．点Q