人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线背景图ppt课件

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线背景图ppt课件，共20页。PPT课件主要包含了垂线段的长，实际问题，几何问题，作射线OP，应用格式，位置关系，数量关系，∴DFDE，OP平分∠AOB，PD⊥OA于D等内容，欢迎下载使用。
1. 探索并证明角平分线的判定定理及其运用. (重点)2. 区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用. (难点)3. 感受互逆的数学思想，发展推理能力和解题能力
如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
思考：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？
探究点一： 角平分线的判定
新结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP (公共边)，
PD = PE (已知)，
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL).
∴∠DOP =∠EOP (全等三角形的对应角相等).
角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 m，这个风筝主题公园应建在何处？
解：作夹角的角平分线 OC，
在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求.
例1 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线.
证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°.
在 △BDF 和 △CDE 中，
∴△BDF≌△CDE (AAS).
又 DF⊥AB，DE⊥AC，
∴AD 是∠BAC 的平分线.
变式1：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？
分析：由上题可知到 AB，AC 距离相等的点在∠BAC 的角平分线上，则到 BA，BC 距离相等的点在∠ABC 的角平分线上 ，它们交于一点 P.
那么这一点 P 是否到三边的距离都相等呢？
探究点二： 三角形三条角平分线的关系
例2 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等；
证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F.
∵ BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上，∴ PD = PE. 同理，PE = PF.∴ PD = PE = PF.即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
(2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等，∴点 P 在∠A 的平分线上.
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(2) △ABC 的三条角平分线交于一点.
∴△ABC 的三条角平分线交于一点.
变式2：如果要在△ABC 区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？(画出所有点)
到△ABC 三边所在的直线距离相等的点有____个.
练一练 如图，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离相等，即 OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC 的度数是 ( ) A. 140° B. 130° C. 120° D. 110°
1. 如图，DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，DE＝3，当DF＝ 时，OD是∠AOB的平分线.
2. 如图，△ABC的周长是12，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是 ⁠.
4. 如图，已知点D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC.
证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N.
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，
∴AD平分∠BAC.