专题15 圆锥曲线中的切线方程 讲义-2025届高三数学二轮复习 含答案

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切线问题的重要性不言而喻，我们前面都尽量避免让同学们去记—些结论。—是有些结论确实不好记（比如焦半径，它取决于曲线的类型和焦点的位置），二是出现的频率也不是很高。但是在本小节，建议同学们要记一些结论，因为这里的结论很好记。当然最重要的还是掌握推导的过程。

题型一：椭圆中的切线问题
例1已知椭圆C:x24+y23=1，过椭圆在第二象限上的任意一点P作椭圆的切线与y轴相交于Q点，O是坐标原点，过点Q作QR⊥OP，垂足为R，则|OR|+|OP|的取值范围是 ．

【思路点拨】
设出P点坐标，利用Δ=0得出切线方程，求出Q点坐标，计算出|OR|⋅|OP|为定值3，结合|OP|的取值范围，可求出答案．
例2如图所示，已知椭圆C：x26+y23=1与直线l：x6+y3=1.点P在直线l上，由点P引椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，O是坐标原点．
(1)若点P为直线l与y轴的交点，求△PAB的面积S；
(2)若OD⊥AB，D为垂足，求证：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【思路点拨】
(1)设出直线方程，与椭圆方程联立，根据△=0，求出直线的斜率，从而求切点的坐标，根据切点的坐标，判断△PAB为直角三角形，从而求△PAB的面积．
(2)先写出切线PA和PB，根据切线方程，求出直线AB的方程，可得直线AB过定点T(1,1)，故点D在以OT为直径，Q(12,12)为圆心的定圆上，从而可求|DQ|．
练1如图，P为椭圆C1：x28+y26=1上的动点，过P作C1切线交圆C2：x2+y2=24于M，N，过M，N作C2切线交于Q，则( )
A. S△OPQ的最大值为3
B. S△OPQ的最大值为233
C. Q的轨迹是x236+y248=1
D. Q的轨迹是x272+y296=1
【思路点拨】
由椭圆的性质及圆的性质求出直线MN的方程，对比系数可得xP=xQ3，yP=yQ4，由点P在椭圆C1上可得点Q的轨迹方程，由三角形的表面积公式及向量的模、向量的数量积运算可得S△OPQ=12|xPyP|，由基本不等式即可求得S△OPQ的最大值，从而可求得结论．
练2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，椭圆上一点到两焦点的距离之和是6
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l方程是x+y−6=0，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【思路点拨】
(1)根据已知及椭圆的概念及标准方程的计算，求出椭圆C的方程；
(2)根据已知及椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的定点与定值问题的计算，可知直线GH过定点，求出该定点的坐标．
题型二：双曲线中的切线问题

例3如图，已知双曲线C：x23−y2=1，过P(1,1)向双曲线C作两条切线，切点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x10．
(1)证明：直线PA的方程为x1x3−y1y=1．
(2)设F为双曲线C的左焦点，证明：∠AFP+∠BFP=π．

【思路点拨】
(1)设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式表示A的横坐标与纵坐标，进而表达出直线方程，化简即可；
(2)在第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明结论．
例4 设双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为5,0，右焦点到双曲线的渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若A−2,1,B2,1，点C在线段AB上(不含端点)，过点C分别作双曲线两支的切线，切点分别为P,Q.连接PQ，并过PQ的中点F分别作双曲线两支的切线，切点分别为D,E，求△DEF面积的最小值．
【思路点拨】
(1)直接利用双曲线的定义求解即可；
(2) 设切线PC为y=kx+b，有切线方程的结论可求出直线PC和CQ，从而可得直线PQ的方程，同理可求出直线DE的方程，利用点到直线的距离公式表示△DEF面积，最后利用导数求其最值即可.
练3已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>1,b>0)的右焦点是F(2,0)，动点P(x,y)(x>0)在C上．若过点P作C的切线与直线x=1相交时，记其交点为Q，PF⋅QF=0恒成立，则x+2y x2+y2的取值范围为 ．
【思路点拨】
设P(x0,y0)，x0>0，设切线方程为y=kx−x0+y0，与双曲线方程联立，由Δ=0求得k=b2x0a2y0，再求得点Q的坐标，由PF⋅QF=0恒成立可求得a2=b2=2，则x0+2y0 x02+y02= 2+y02+2y0 2+2y02，分y0>0和y00)的两条切线，切点分别是A，B，若△MAB面积的最小值为4，则p=( )
A. 1B. 2C. 4D. 16
【思路点拨】
利用抛物线二级求出直线AB的方程，然后利用点到直线的距离表示△MAB的面积，利用二次函数的性质即可求解.
例6已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，过点P0,tt>0的直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在点A，B处的切线分别为l1，l2，其斜率分别为k1，k2，交点为Q．
(1)当直线l过焦点F时，证明：l1，l2互相垂直．
(2)当t=2时，设弦AB的中点为M．
①点Q是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
②求MQAB的最大值．
【思路点拨】
(1)联立方程组，利用Δ=0分别用点A，B的横坐标表示k1，k2，联立直线l与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果；
(2)①联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点Q在定直线上；
②由中点坐标公式可得M点坐标，从而得到MQ，再由弦长公式可得AB，再求MQAB=12 1+1k2+1取值范围即可．

1.圆x2+y2=R2上一点A(x1,y1)处的切线AP的方程为x1x+y1y=R2，类比可知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A(x1,y1)处的切线AP的方程为x1xa2+y1yb2=1.利用此结论解决如下问题：已知椭圆x24+y23=1，直线l:x+y=3，过直线l上任一点P(x0,y0)作椭圆的两条切线(与椭圆有且只有一个交点)，切点分别为A，B，则直线AB所过的定点为( )
A. (1,43)B. (43,1)C. (3,4)D. (4,3)
2.过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为25，则双曲线C的离心率为( )
A. 295B. 303C. 355D. 305
3.已知抛物线x2=2y,点M(t,−1),t∈[12,1],过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点,且A在第一象限,直线AB与y轴交于点P,则下列结论正确的有( )
A. 点P的坐标为(0,1)B. OA⊥OB
C. △MAB的面积的最大值为33D. |PA||PB|的取值范围是[2,2+3]
4.如图所示，已知P(x0,y0)是双曲线C：x24−y23=1右支上任意一点，双曲线C在点P处的切线分别与两条渐近线y=± 32x交于A，B两点，则OA⋅OB= ．
5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A、B,P是椭圆C上异于A、B的任意一点,PA、PB斜率之积为−34，且△PAB的面积最大值为23．
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线PF1交椭圆C于另一点Q，分别过P、Q作椭圆的切线，这两条切线交于点M.求证：MF1⊥PQ．
6.(2023·江苏省南通市模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1,(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，焦距与短轴长均为4．
(1)求E的方程;
(2)设任意过F2的直线为l交E于M，N，分别作E在点M，N上的两条切线，并记它们的交点为P，过F1作平行于l的直线分别交PM,PN于A，B，求|OA+OB||OP|的取值范围．
7.已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，并且经过点(2,2)．
(1)求双曲线E的方程．
(2)若直线l经过点(2,0)，与双曲线右支交于P、Q两点(其中P点在第一象限)，点Q关于原点的对称点为A，点Q关于y轴的对称点为B，且直线AP与BQ交于点M，直线AB与PQ交于点N，证明：双曲线在点P处的切线平分线段MN．
8. 已知点M是抛物线C1:y=14x2的准线上的任意一点，过点M作C1的两条切线MP，MQ，其中P，Q为切点．
(1)证明：直线PQ过定点，并求出定点坐标；
(2)若直线PQ交椭圆C2:x24+y25=1于A，B两点，求PQAB的最小值．
9. 已知平面内一动圆过点P(0,1)，且x轴被该圆截得的弦长为2，设该动圆圆心的轨迹为曲线E．
(Ⅰ)求E的方程．
(Ⅱ)若过点F(0,12)且斜率为k的直线l与E交于M，N两点，分别作E在点M，N处的切线，两条切线交于点Q．
(ⅰ)若|MN|≥4，求k的取值范围;
(ⅱ)若△MNQ的面积为3 3，求直线l的方程．