专题14 圆锥曲线中的特殊“弦” 讲义-2025届高三数学二轮复习 含答案

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例1【解析】(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∵线段AB的中点为M(1,m)，∴x1+x2=2，y1+y2=2m．
将A，B代入椭圆C：x24+y23=1中，可得3x12+4y12=123x22+4y22=12，
两式相减可得，3(x1+x2)·(x1−x2)+4(y1+y2)·(y1−y2)=0，
即6(x1−x2)+8m(y1−y2)=0，∴k=y1−y2x1−x2=−68m=−34m．
点M(1,m)在椭圆内，即14+m230)，
解得00,y3y4=−4n=4y1y2=−16，所以n=4，
所以直线AB:x=2y+4．
练3【解析】(1)因为抛物线E关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，
设抛物线的方程为y2=2px，因为点P(1,2)在抛物线上，所以4=2p，解得p=2，
故抛物线E的方程为y2=4x，其准线方程x=−1；
(2)根据抛物线的对称性，不妨设点A在第一象限，直线AB的倾斜角为α(00，因此y1+y3=4n，y1y3=−8，得y3=−8y1，
同理可得y4=−8y2，
所以kCD=y3−y4x3−x4=y3−y4y324−y424=4y3+y4=4−8y1+−8y2=−y1y22y1+y2=12m ，
因此直线CD的方程为x=2my−y3+x3，
由对称性知，定点在x轴上，
令y=0得，x=−2my3+x3=−2my3+y324=−2m−8y1+14−8y12
=16my1+16y12=4y1+y2y1+16y12=4+4y2y1+4y12=4+4⋅y1y2+4y12=4，
所以，直线CD过定点4,0．
【专题训练】
1.【解析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由中点坐标公式可知：y1+y2=2，且y12=4x1，y22=4x2，
两式相减可得，(y1−y2)(y1+y2)=4(x1−x2)，则直线AB的斜率k，k=y1−y2x1−x2=2，
直线AB的方程为y−1=2(x−1)即y=2x−1，
联立方程可得y=2x−1y2=4x,4x2−8x+1=0,∴x1+x2=2,x1x2=14,
故|AB|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=5⋅22−1=15．
故答案为：C．
2.【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由AB的中点为N(12,15)得x1+x2=24，y1+y2=30，
由x12a2−y12b2=1x22a2−y22b2=1，两式相减得(x1+x2)(x1−x2)a2=(y1+y2)(y1−y2)b2，
则y1−y2x1−x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2)=4b25a2．
∵直线AB的斜率k=15−612−3=1，
∴4b25a2=1，则b2a2=54，
∴双曲线的离心率e=ca= 1+b2a2=32．
故选B．
3.【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x=−1．
由题意两直线斜率一定存在，
设l1:y=kx−1，且k≠0，AxA,yA,BxB,yB,则l2:y=−1kx−1,
联立y2=4xy=kx−1,得k2x2−2k2+4x+k2=0,
则Δ=(2k2+4)2−4k4=16+16k2>0，xA+xB=2k2+4k2，
则根据抛物线定义可得 AB=xA+xB+2=2k2+4k2+2=4+4k2,
同理可得DE=4+4k2，
所以|AB|+|DE|=4+4k2+4+4k2≥8+2 4k2·4k2=16，
当且仅当k2=1时，等号成立，所以|AB|+|DE|的最小值为16．
故选A．
4.【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的中点P(x1+x22,y1+y22)，
由题意可得x1+x22=12，y1+y22=12，将A，B的坐标代入椭圆的方程x128+y12=1,x228+y22=1,作差可得x12−x228+y12−y22=0，整理可得y1−y2x1−x2=−18⋅x1+x2y1+y2=−18⋅11=−18，即直线AB的斜率为−18，
所以直线AB的方程为y−12=−18(x−12)，整理可得x+8y−92=0．
5.【解析】由题意知C的渐近线方程为x±ay=0，而圆的圆心为(2,0)，所以|2|1+a2=1，解得a=3，
所以双曲线实轴长为2a=23，故A错误，
所以半焦距c=2，所以e=ca=23=233，故B正确，
设P(x0,y0)，所以d1=|x0−3y0|2，d2=|x0+3y0|2，
所以d1d2=|x0−3y0|2⋅|x0+3y0|2=|x02−3y02|4=34，故C正确，
对于选项D：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以x123−y12=1，x223−y22=1，
两式相减，得(x1+x2)(x1−x2)3−(y1+y2)(y1−y2)=0，
所以x1+x23−(y1+y2)⋅y1−y2x1−x2=0，x1+x23−(y1+y2)⋅k1=0，
所以23⋅x1+x22−(y1+y2)2⋅2k1=0，所以23xD−yD⋅2k1=0，
所以23−yDxD⋅2k1=0，所以23−k2⋅2k1=0，所以k1k2=13.故D正确，
故选BCD．
6.【解析】解：对于A，因为x24+y23=1，所以a=2，b= 3，
由椭圆的定义，可知△ABF2的周长为|AB|+AF2+BF2=4a=8，故A错误；
对于B，因为kPA+kPB=0，所以kPA=−kPB，因为kPA=tanα，kPB=tanβ，α,β∈[0,π),
所以tanα=−tanβ=tan(π−β)，从而得到α+β=π，故B正确；
对于C，因为F1(−1,0)，所以F1A=yA=32，所以S▵ABF2=12×2×32×2=3，故C错误；
对于D，设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx0,y0，
则x124+y123=1,x224+y223=1,
所以x1−x2x1+x24+y1−y2y1+y23=0，
因为AB中点为M，故x1+x22=x0,y1+y22=y0,
所以x1−x2x04=−y1−y2y03，
即y1−y2x1−x2⋅y0x0=−34，即kAB⋅kOM=−34，故D正确．
故选BD．
7.【解析】(1)解：设P(x,y)，
由题意，得 (x−1)2+y2=|x|+1,两边平方并整理，得y2=2|x|+2x．
故所求C的方程为y2=2|x|+2x
(2)证明：C的方程为y2=2|x|+2x=4x,x≥00,x0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4m，y1y2=−4．
若存在点P(x0,y0)满足条件，则2kOP=kPA+kPB，
即2⋅y0x0=y0−y1x0−x1+y0−y2x0−x2，
因为点P，A，B均在抛物线y2=4x上，所以x0=y024，x1=y124，x2=y224．
所以8y0=4(y0−y1)y02−y12+4(y0−y2)y02−y22=4y0+y1+4y0+y2=8y0+4(y1+y2)y02+(y1+y2)y0+y1y2，
将y1+y2=4m，y1y2=−4代入得
8y0=8y0+16my02+4my0−4，整理得my0−2=0，
因为m≠0，所以y0=2m
代入y2=4x，得x0=1m2．
此时，存在C上的点P(1m2,2m)，使得直线PA，OP，PB的斜率成等差数列
综上，存在C上的点P使得直线PA，OP，PB的斜率成等差数列.
8.【解析】解：1设直线PQ与x轴交于P0−P2,0，由几何性质：CP2=CP0·CO
3=−p2+2⋅2，解得：p=1，
故抛物线E的标准方程为：y2=2x．
2设Tx0,y0，Ax1,y1.Bx2,y2.
i由题意，TA中点M在抛物线E上，即(y0+y12)2=2⋅x0+x12，又y12=2x1，将x1=y122代入．
得：y12−2y0y1+4x0−y02=0．
同理：y22−2y0y2+4x0−y02=0．
有y1+y2=2y0y1y2=4x0−y02.此时D点纵坐标为y1+y22=y0．
所以直线TD的斜率为0．
iix1+x22=y12+y224=(y1+y2)2−2y1y24=3y02−4x02，故点D3y02−4x02,y0.
此时S=12TD⋅y1−y2.
TD=3y02−4x02−x0=32y02−2x0.y1−y2
= y1+y22−4y1y2= 8(y02−2x0)S=3 22⋅ y02−2x03．
又点T在圆C上，有(x0+2)2+y02=3，即y02=−x02−4x0−1，代入上式可得：
S=3 22⋅ (−x02−6x0−1)3=3 22⋅ [−(x0+3)2+8]3．
由−2− 3≤x0≤−2+ 3.故x0=−3时，S取到最大值3 22⋅ 83=48．
所以S的最大值为48．
9.【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c，设点Pc,y0，则y02=92cc2a2+y02b2=1,
消去y0，得c2a2+9c2b2=1，即c2a2+9c2a2−c2=1①，
因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于12，则e=ca=12⇒a=2c②，
将②代入①得c22c2+9c22c2−c2=1，解得c=2，则a=4，
所以b2=a2−c2=12，
所以椭圆C的方程为x216+y212=1．
(2)将P2,y0代入抛物线Cˈ：y2=92x中解得y0=3(取正值)，故P(2,3)，Q(2,−3)，
当直线AP与直线BP关于直线PQ对称，PA，PB的斜率之和为0，
设直线PA的方程为y−3=k(x−2)，
由y−3=kx−2x216+y212=1，消去y并整理得3+4k2x2+83−2kkx+16k2−48k−12=0，
所以x1+2=82k−3k3+4k2，则x1=8k2−24k−63+4k2，
设PB的直线方程为y−3=−kx−2，
同理可得x2=8k2+24k−63+4k2，
所以x1+x2=16k2−123+4k2,x1−x2=−48k3+4k2,
kAB=y1−y2x1−x2=kx1−2+3+kx2−2−3x1−x2=kx1+x2−4kx1−x2=12，
所以直线AB的斜率为定值12．