2025届高三数学一轮专题复习：圆锥曲线的方程（2）讲义（含答案）

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典例1、已知椭圆T：经过以下四个不同点中的某三个点：，，，．
（1）求椭圆T的方程；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为，，点F是直线上的一个动点，且直线，分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
随堂练习：已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线：与的两个交点和，构成一个面积为的菱形.
（1）求的方程；
（2）圆过，，交于点，，直线，分别交于另一点，.
①求的值； ②证明：直线过定点.
典例2、已知椭圆过点，椭圆的左、右顶点分别为，点P坐标为，成等差数列．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若对斜率存在的任意直线l与椭圆恒有M，N两个交点，且．证明：直线l过定点．
随堂练习：已知椭圆：过点，且点A到椭圆的右顶点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为坐标原点，直线：与交于M，N两点，记线段MN的中点为P，连接OP并延长交于点Q，直线交射线OP于点R，且，求证；直线过定点.
典例3、如图，已知椭圆：经过点，离心率为.点，以为直径作圆，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆与圆于点A，B和点N.
（1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程.
随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．
知识点二 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.
（1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值.

典例5、已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点 关于原点的对称点为点，求证：．
随堂练习：已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，的左､右焦点分
别为，，且到的一条渐近线的距离为1.
（1）求的标准方程；（2）若是与在第一象限的交点，与的另一个交点为P，与的另一个交点为，与的面积分别为，，求.
典例6、已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
（1）求圆心的轨迹方程（2）若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
随堂练习：已知点，，动点满足直线的斜率与直线的斜率乘积为．当
时，点的轨迹为；当时点的轨迹为．
（1）求，的方程；
（2）是否存在过右焦点的直线，满足直线与交于，两点，直线与交于，两点，且？若存在，求所有满足条件的直线的斜率之积；若不存在，请说明理由，
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时二答案
典例1、答案：（1）；（2）直线恒过定点.
解:（1）由题意可得A，C一定在椭圆上，即①， 若B在椭圆上，则②，
由①②可得，不存在， 所以D在椭圆上，可得③，
由①③可得，， 所以椭圆的方程为：；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，
设E上的点为：，对应的点，由题意可得，， 所以，，
所以E的方程， 设，，， ，
所以直线的方程为：，直线的方程，
联立直线与椭圆的方程整理可得，
所以，，即，
联立直线NF与椭圆的方程：整理可得，
所以，即，
所以直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，
整理可得，当，. 所以直线恒过定点．
随堂练习：答案：（1） （2）①②证明见解析
解：（1）因为直线：与的两个交点和，构成的四边形是菱形，
所以垂直平分，所以，.
设为直线与的一个交点，则菱形的面积为.
因为菱形的面积为，所以，解得，即.
将点代入，得，又因为，所以.
故的方程为.
（2）①由题意，得为圆的一条弦，且直线垂直平分该弦，
故直线经过圆心，所以为圆的直径，因此，即.
设，，则.
注意到，，则.
又因为，，所以.
②易知直线不可能平行于轴，则设直线的方程为（），，.
由得. ，（*）
，.①因为，，所以，
即， 即.
将①代入上式得，
化简得，解得，满足（*），
所以直线的方程为， 故直线过定点.
典例2、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意知：，， 成等差数列．可得：
解得： 又，，解得： 故椭圆标准方程为：
（2）设直线方程为
联立，化简得：
可得：，，
则有：
可得： 解得：或 故直线方程为：或
所以直线恒过点或
又因为直线l与椭圆恒有两个交点，故易知定点必在椭圆内，故直线l恒过点
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意得，，解得或（舍去）， 则椭圆的方程为
将代入：得，，解得， 则椭圆的方程为.
（2）设，，：，
联立，得，
由得，∴，∴.
由斜率公式可知，∴：，∴.
联立，得，即.
∵，∴，
∴，∴，此时满足，
则直线为：，则直线过定点.
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）将点代入得，， 又，，得，
所以，，即.
（2）因为，设直线的方程为，设，，
联立，得， 且，则，，
则，且， 直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为， ∴，
∴面积，
当且仅当时，取到等号，此时， 所以直线的方程为.
随堂练习：答案： （1） （2）或.
解：（1）由题意知，， 又，∴，，
∴椭圆标准方程为.
（2）∵轴，∴， 设，则，∴，即，
∵，∴，∴，
∴，即，
设，，则，， ∴.
①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得.
得， ∴，即，解得.
故直线的方程为或.

典例4、答案：（1）；（2）证明见解析，面积为.
解:（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则双曲线的方程为；
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为， 则消得，
，①
设与轴交于一点，，
，
双曲线两条渐近线方程为：，
联立，联立，
则（定值）.
典例5、答案：（1）；（2）证明见解析．
解：（1）由题意得，，
解得所以双曲线的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，
设，， 联立，整理可得
， 所以
所以
直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以，设，

所以
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）双曲线的离心率为： 故椭圆的离心率为：
双曲线的一条渐近线方程为：
设的坐标为：，则，解得
又，解得， 故椭圆的标准方程为：
（2）联立方程组： 解得：，即点坐标为：
直线的斜率为： 则直线的方程为：
联立方程组： 解得：或
即点坐标为，点到的距离为
联立方程组： 解得：或
即点坐标为，点到的距离为 则，即
典例6、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）因为圆C与圆A、圆B外切， 设C点坐标，圆C半径为，
则，， 所以