专题3 导数应用之切线问题讲义 2025高三数学二轮复习 有答案

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应用导数的几何意义探究函数的切线问题高考考查的热点，常见题型有求切线方程、探究切线的条数、由切线方程或切线方程的条数求参变量的值或范围、公切线问题，公切线问题是2022年高考的新题型之一.
1.切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A,这样直线AB的极限位置就是曲线在点A处的切线.
2.函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3.求曲线切线方程的一般步骤：（1）求出y=f(x)在x=x0处的导数，即y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率（当曲线y=f(x)在P处的切线与y轴平行时，在P处导数不存在，切线方程为x=x0）；（2）由点斜式求得切线方程y−y0=f'(x)⋅(x−x0).
4.对于两个（或两个以上）函数的两条切线重合时，称该切线为两个（或两个以上）函数的公切线即：对于函数y=fx和y=gx，若直线l既与曲线y=fx相切，也与曲线y=gx相切.则称直线l为函数y=fx和y=gx的公切线.
函数公切线问题，一般最后转化为方程的解的个数问题，然后转化为函数的零点个数问题，因此解决函数公切线问题，充分应用“转化与化归”的思想和“函数与方程”的思想；公切线问题的实质是导数几何意义的综合应用，将曲线间的位置关系转化为函数的单调性、凹凸性、极（最）值、零点等，然后通过运算求解或推理论证而解决问题；解决公切线问题至少有三种思维切入方式：①利用两切线重合；②构造函数，转化为函数的最值；③凹凸反转，利用切不等式放缩.
题型一：
公切线问题
题设情境是两常系数函数公式条数的探究及求公切线方程，因此分别设函数的切点坐标，求得相应的切线方程，利用公式的几何特征即两函数的切线为同一直线，因此联列方程组消元后得到关于其中一个切点模坐标的方程，然后应用导数和零点定理讨论方程解的个数，求方程特殊根相应的切线方程.
例1已知函数f(x)=x 2−2，g(x)=4lnx−2(a>0)．则函数f(x)与g(x)的图象是存在 公切线，其中一条公切线的方程为 ．
【思路点拨】
由函数f(x)与g(x)的图象存在公切线，设公切线与函数f(x)=x2−2、g(x)=4ln x−2上的切点分别为x1,x21−2，x2,4lnx2−2，由导数的几何意义分别求得切线的方程，由公切线的意义及两直线重合的条件列方程组，消元后将问题转化为x21−4lnx1+4ln2−4=0(x1>0)有解，构造函数mx=x2−4lnx+4ln2−4，（x>0），根据导数研究函数的单调性，可判断函数m(x)在0,+∞上有两个零点，函数f(x)与g(x)的图象存在两条公切线，结合m(2)=0，x1=2，可得其中一条公切线的方程．
练1(2024·河北省·模拟题)已知直线l：y=x+b为曲线f(x)=ex的切线，若直线l与曲线g(x)=−12x2+mx−72也相切，则实数m的值为 ．
练2(2024·湖南省·模拟题)已知函数f (x)=ax3+3x2−6ax−11，g(x)=3x2+6x+12和直线m：y=kx+9，且f′(−1)=0．
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y=f (x)的切线，又是曲线y=g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
含参变量的切线问题
题设情境是讨论三次多项式型函数单调性和极值，已知函数切线条数求参变量的取值范国.第（1）问应用导数研究函数单调性和极值的基本方法，通过分类与整合思想求解；第（2）应用导数的几何意义求得过点P的切线方程,应用参变分离方法和数形结合思想,探究存在三条切线的充分条件,从而求得实数m的取值范围.
例2已知函数fx=13x3−12ax2+a−1x+2a∈R.
（1）求函数fx的单调区间和极值；
（2）若函数fx满足fx+f−x=4，且过点m≠43可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围.
【思路点拨】
第（1）问由题设求得f'x=x2−ax+a−1=x−1x−a+1，由f'(x)=0可知得x=1或x=a−1两个根，然后a−1与1的大小关系分类讨论函数f(x)的单调性，便可得到函数f(x)的极值；第（2）问首先由fx+f−x=4求出参数a的值，从而可求得过点P的切线方程y−13x03−x0+2=x02−1x−x0，由切线过点P1,m得m=−23x03+x02+1，构造新函数gx=−23x3+x2+1，应用导数研究函数gx的性质，借助函数gx的图象推导曲线有三条切线时，求实数m的取值范围.
练3(2024·福建省三明市·月考试卷)已知函数f(x)=−x3+2x2−x，若过点P1,t可作曲线y=fx的三条切线，则t的取值范围是( )
A. (0,130)B. (0,129)C. (0,128)D. (0,127)
练4 (2025·湖北省·模拟题)若过点P(1,m)可以作三条直线与曲线C:y=xex相切，则m的取值范围是( )
A. −5e2,0B. −5e2,eC. 0,+∞D. −3e2,−1e
练5(2024·四川省雅安市·模拟题)已知函数fx=ax+1ex，其中a∈R.
(1)当a