2025高考数学专项讲义第16讲圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第16讲圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)，共66页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测，整体点评，方法点晴，名师点睛等内容，欢迎下载使用。
（4类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线切线的定义
2.理解、掌握圆锥曲线的切线问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习
知识讲解
1 过圆 x2+y2=r2 上一点 Mx0,y0 的切线方程:
xx0+yy0=r2
2. 设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1上的点, 则过该点的切线方程为:
xx0a2+yy0b2=1
3. 设 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1 上的点, 则过该点的切线方程为:
xx0a2−yy0b2=1
4. 设 Px0,y0 为抛物 线 y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为
yy0=px+x0
设 Px0,y0 为圆 x2+y2=r2 外一点, 则切点弦的方程为:
xx0+yy0=r2
6. 设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 A, B 则弦 AB 的方程为:
xx0a2+yy0b2=1
7. 过 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2= 的两支作两条切线, 则切点弦方程为
xx0a2−yy0b2=1
8. 设 Px0,y0 为抛物线 y2=2px 开口外一点, 则切点弦的方程为:
yy0=px+x0
考点一、椭圆中的切线方程和切点弦方程
1．（2022高三·全国·专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是 ．
2．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（ ）
A．或B．
C．D．或
3．（22-23高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
1．（2022·全国·高三专题练习）求过椭圆上一点的切线方程．
2．（22-23高三全国·课后作业）曲线上点到直线距离的最小值为 ．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线经过椭圆的一个顶点E和一个焦点F．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
4．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆过点和.
(1)求的离心率；
(2)若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程.
5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点．
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程．
考点二、双曲线中的切线方程和切点弦方程
1．（2024高三·全国·专题练习）求双曲线在点处的切线方程．
2．（2023高二·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
3．（2022高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条切线的斜率为2，求这条切线方程．
1．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；
（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．
2．（2020高三·江苏·专题练习）在双曲线上求一点，使到直线的距离最短．
考点三、抛物线中的切线方程和切点弦方程
1．（2022高三·全国·专题练习）抛物线过点的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022高三·全国·专题练习）过点作抛物线：的两条切线，切点分别为A，B，求直线的方程．
3．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则 .
4．（2024高三·全国·专题练习）已知M是直线上的动点，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B（与坐标原点O不重合），当时，直线AB的方程为 ．
1．（2023高三·全国·专题练习）过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 .
2．（21-22高二下·河南新乡·期末）过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为 ．
3．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ）
A．斜率为2B．斜率为C．恒过点D．恒过点
4．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2．
(1)求；
(2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求．
考点四、切线方程及切点弦方程的应用
1．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
2．（2021·全国·高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
1．（2024·四川德阳·三模）已知为抛物线：的焦点，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于不同的两点，若抛物线在两点处的切线相交于点，则 .
2．（2024·河南洛阳·模拟预测）（多选）过点向抛物线作两条切线，切点分别为为抛物线的焦点，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，曲线C：与直线交与M,N两点，
(1)当时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？说明理由.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
5．（2024·全国·模拟预测）设抛物线，直线与交于，两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点为上一点，过点作抛物线的两条切线，，设切点分别为，，试求直线，斜率之积的最小值．
6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点．求证：．
1．（2022高三·全国·专题练习）求过椭圆上一点的切线方程．
2．（2022高三·全国·专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程．
3．（2021高三·全国·专题练习）求与双曲线有共同的渐近线，且与直线相切的标准双曲线方程.
4．（22-23高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的方程为，抛物线的方程为，则两曲线的公共切线的其中一条方程为 ．
5．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ．
6．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024高三·全国·专题练习）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程．
8．（2020·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ．
9．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（ ）
A．0B．1C．-2D．-1
10．（2023高三·全国·专题练习）已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为 .
1．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ．
2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为 .
3．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知O为坐标原点，抛物线y2=2pxp>0上有异于原点的，两点，F为抛物线的焦点，以A，B为切点的抛物线的切线分别记为PA，PB，则（ ）
A．若，则A，F，B三点共线B．若，则A，F，B三点共线
C．若，则A，F，B三点共线D．若，则A，F，B三点共线
4．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知是抛物线上任一点，为的中点，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过点作曲线的两条切线，切点分别为，求点到直线的距离的最小值.
5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，离心率为，抛物线的焦点为．
(1)记椭圆与抛物线在第一象限的交点为，若，求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相切于第一象限，切点为，证明：直线经过点，且为线段的中点．
6．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，渐近线方程为，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作双曲线的切线与轴交于点，试判断与的大小关系，并给予证明．
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过与轴垂直的直线交于两点，且，离心率为.
(1)求的方程；
(2)已知圆上点处的切线方程是，利用类比思想可知双曲线上点处的切线方程为.过点分别作双曲线的左､右两支的切线，切点分别为，连接，并过线段的中点分别再作双曲线左､右两支的切线，切点分别为，证明：点在同一条直线上.
8．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知椭圆与双曲线的焦点与的焦点间的距离为.
(1)求与的方程；
(2)过坐标轴上的点可以作两条与的公切线.
（i）求点的坐标.
（ii）当点在轴上时，是否存在过点的直线，使与均有两个交点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由.
9．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且.
(1)求的方程；
(2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点.
10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围.
1．（福建·高考真题）如图，直线与抛物线相切于点.

（1）求实数的值；
（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.
2．（安徽·高考真题）设是抛物线的焦点．
（Ⅰ）过点作抛物线的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值．
3．（陕西·高考真题）已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
4．（广东·高考真题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
5．（广东·高考真题）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．
6．（福建·高考真题）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．
（1） 求抛物线E的方程；
（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点
7．（湖南·高考真题）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向
（ⅰ）若，求直线的斜率
（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形
8．（浙江·高考真题）如图，已知抛物线，圆，过点 作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆 相切，A，B为切点.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新Ⅱ卷，第10题,6分
过抛物线上的点与圆相切
切线长
根据抛物线方程求焦点
直线与抛物线交点相关问题
2020年新Ⅱ卷，第21题,12分
求椭圆的切线方程
根据椭圆过的点求标准方程
椭圆中三角形 (四边形)的面积
求椭圆中的最值问题
圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程
（高阶拓展、竞赛适用）
（4类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线切线的定义
2.理解、掌握圆锥曲线的切线问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习
知识讲解
1 过圆 x2+y2=r2 上一点 Mx0,y0 的切线方程:
xx0+yy0=r2
2. 设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1上的点, 则过该点的切线方程为:
xx0a2+yy0b2=1
3. 设 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1 上的点, 则过该点的切线方程为:
xx0a2−yy0b2=1
4. 设 Px0,y0 为抛物 线 y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为
yy0=px+x0
设 Px0,y0 为圆 x2+y2=r2 外一点, 则切点弦的方程为:
xx0+yy0=r2
6. 设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 A, B 则弦 AB 的方程为:
xx0a2+yy0b2=1
7. 过 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2= 的两支作两条切线, 则切点弦方程为
xx0a2−yy0b2=1
8. 设 Px0,y0 为抛物线 y2=2px 开口外一点, 则切点弦的方程为:
yy0=px+x0
考点一、椭圆中的切线方程和切点弦方程
1．（2022高三·全国·专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是 ．
【答案】
【分析】由导数的几何意义即可求得切线方程.
【详解】∵椭圆，
∴y>0时，，∴，
∴x＝1时，，即切线斜率，
∴椭圆上点P(1,1)处的切线方程是，
即．
故答案为：．
2．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（ ）
A．或B．
C．D．或
【答案】A
【分析】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，即可得到点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦的方程为，再根据离心率分类讨论分别求出椭圆方程，即可得到切点弦方程．
【详解】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，
①当切线斜率存在时, 设过点的切线方程为，
联立方程，得，
，即，
，
又，
把代入中，得，
，
化简得.
②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式.
综上，椭圆上一点的切线方程为：.
再证明若点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，
切点分别为，，则切点弦的方程为．
这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．
两切线都过点，所以得到了和，
由这两个“同构方程”得到了直线的方程；
因为椭圆，离心率为，
若焦点在轴，则，，所以，
所以，解得，所以椭圆，
所以过作椭圆的两条切线方程，
切点弦方程为；
若焦点在轴，则，，所以，
所以，解得，所以椭圆，
所以过作椭圆的两条切线方程，
切点弦方程为，即；
综上可得直线方程为或.
故选：A
3．（22-23高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题中所给的结论，求出过的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂直的直线之间斜率的关系求出过点且与直线垂直的直线的斜率，最后求出直线方程.
【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故选：B
【点睛】本题考查了求过点与已知直线垂直的直线方程，考查了数学阅读能力，属于基础题.
1．（2022·全国·高三专题练习）求过椭圆上一点的切线方程．
【答案】
【分析】令，利用伸缩变换求得椭圆和点M在新坐标系下的方程和坐标，然后由圆的切线方程和伸缩变换公式可得.
【详解】令，则椭圆在新坐标系下的方程是：，点在新坐标系下的坐标是：，
设过圆上的点的切线方程为（易得斜率必存在），
即代入
整理得
由题意可知，，整理得
即，所以切线方程为，即：
过椭圆上一点的切线的方程是：，即：．
2．（22-23高三全国·课后作业）曲线上点到直线距离的最小值为 ．
【答案】/
【分析】求曲线的切线方程，利用平行线的距离公式求所得直线与已知直线的距离，即可知最小距离.
【详解】令与相切，联立整理可得，
所以，可得，
当，此时与的距离，
当，此时与的距离，
所以曲线到直线距离的最小值为.
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线经过椭圆的一个顶点E和一个焦点F．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的性质求解，
（2）由导数的几何意义求解
【详解】（1）依题意可知：椭圆焦点在x轴上，
直线与坐标轴的交点为：，，
∴，F（2，0），∴，c＝2，，
∴椭圆的标准方程为．
（2）由（1）可知椭圆，在椭圆上，
求导，整理得：，
由导数的几何意义可知：椭圆在切线方程的斜率，
则直线的切线方程为：，整理得：，
∴过与椭圆相切的直线方程为．
4．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆过点和.
(1)求的离心率；
(2)若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆过点和，求得，进而求得，即可得到的离心率；
（2）联立和的方程，得到关于的一元二次方程，由，可求得，即可得到的一般式方程.
【详解】（1）因为椭圆过点和，
所以，解得，
由，得，
所以的离心率.
（2）

由（1）可得的方程为，，
联立，得，
由，得，
直线的一般式方程为：.
5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点．
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆定义得，，再结合关系即可得到答案；
（2）求出，设直线方程为，联立椭圆方程，利用即可.
【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为，
由椭圆的定义知，，
可得，所以，
所以椭圆的标准方程为:.
（2）已知，所以，设直线方程为，
由方程组消去，得，
该方程的判别式，
由，得，
此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:.
考点二、双曲线中的切线方程和切点弦方程
1．（2024高三·全国·专题练习）求双曲线在点处的切线方程．
【答案】
【分析】根据仿射变换可解.
【详解】设变换，则，
可将双曲线变换为圆，
于是点可化为，
显然在圆上，
易得切线方程为，即，
双曲线在点处的切线方程为.
2．（2023高二·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
【答案】
【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程.
【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，
则，联立方程，
消去得，
因为与双曲线相切，所以，
即，即，
即，
因为，所以，
代入可得，即，所以，
所以，即，
同理可得的方程为，
因为在切线上，所以，
所以满足方程，
又由两点确定一条直线，所以满足直线方程，
所以过的直线方程为.
故答案为：.
3．（2022高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条切线的斜率为2，求这条切线方程．
【答案】.
【分析】设出切线方程，与双曲线方程联立后用求出，从而求出切线方程.
【详解】设出切线方程为，
与联立得：，
由，
解得：，代入得切线方程为．
1．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；
（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由双曲线上一点的切线方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分别表示出直线的方程，再将点的坐标代入计算，即可得到结果.
【详解】
（1）由双曲线上一点处的切线方程为，
所以双曲线在点处的切线方程为，
化简可得.
（2）设切点，则，，
又点在直线上，代入可得，，
所以点均在直线上，
所以直线的方程为，即.
2．（2020高三·江苏·专题练习）在双曲线上求一点，使到直线的距离最短．
【答案】
【解析】将双曲线上一点到直线距离的最值问题转化找到平行于直线且与双曲线相切的直线问题,进而求得满足最值时的点坐标
【详解】设与直线平行且与双曲线相切的直线方程为：,
联立,化简得,
,
,
则当时,到直线的距离最短,此时切线方程为：,
代入双曲线方程中,即,解得,则该点为
【点睛】本题考查双曲线的切线方程,考查已知直线斜率求参问题,考查转化思想与数形结合思想
考点三、抛物线中的切线方程和切点弦方程
1．（2022高三·全国·专题练习）抛物线过点的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出切线方程，与抛物线联立，结合判别式，即得解
【详解】由于不为的切线，故切线斜率存在；
不妨设切线的斜率为，故切线的方程为
，即
故，解得
故切线方程为：
故选：D
2．（2022高三·全国·专题练习）过点作抛物线：的两条切线，切点分别为A，B，求直线的方程．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，结合切线过以及，分析即得解
【详解】抛物线可写成：且
设，则两条切线的斜率分别为
两条切线的方程为：
又两条切线过点，所以
所以直线AB的方程为：，即.
3．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则 .
【答案】5
【分析】设切线的方程为，将其代入，由可得 ，，同理可得，由此可知是方程的两根，由根与系数的关系代入MN化简即可得出答案.
【详解】由题意知，切线的斜率均存在，且不为0.
设切线的方程为，将其代入，
得，
由，得，
且点的纵坐标为，则点的横坐标为，故.
设切线的方程为，同理可得.
则是方程的两根，所以
所以.
故答案为：5.

4．（2024高三·全国·专题练习）已知M是直线上的动点，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B（与坐标原点O不重合），当时，直线AB的方程为 ．
【答案】
【分析】根据，结合定理1得到AB过定点，再由推论2.1得到顶点M在直线上和点M在上求解.
【详解】解：由，得．
因为，
所以根据专题12中的定理1可知AB过定点，
根据推论2.1可知顶点M在直线上，
又点M在上，
所以．
再由推论1.2即可求得直线AB的方程为，
化简得．
故答案为：
1．（2023高三·全国·专题练习）过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 .
【答案】
【分析】解法一：设切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，由，得，则切线方程可求.
解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率，再由点斜式方程求得答案.
【详解】解法一：由题意，切线方程一定存在，设切线方程为．
由⇒⇒，
由，得，
∴.
故切线方程为，即.
故答案为：.
解法二：由得，∴.
∴.
∴切线方程为，即.
故答案为：.
2．（21-22高二下·河南新乡·期末）过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为 ．
【答案】3
【分析】设切线方程为，再联立直线于抛物线的方程，令判别式为0求解即可
【详解】设切线方程为，与抛物线方程联立可得，由，解得或代入得．
故答案为：3
3．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ）
A．斜率为2B．斜率为C．恒过点D．恒过点
【答案】D
【分析】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点.
【详解】设，则，，
由于，故过点的切线方程为，
即，即，
同理可得过点的切线方程为，
设，过点的两切线交于点，
故，整理得，
同理，整理得，
故直线的方程为，
斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确.
故选：D
4．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2．
(1)求；
(2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据圆外一点到圆上的点的最小距离的求法确定的值.
（2）设过点的切线方程，带入抛物线方程，由直线与抛物线相切，可求切线斜率和切点坐标，利用两点间的距离公式求AB.
【详解】（1）因为（），则其到圆心距离减去半径为2，故.
（2）由（1）可知，抛物线的标准方程为：.
如图：

因为过点的切线一定有斜率，故设切线方程为：，即，
代入得：，整理得：.
因为直线与抛物线相切，所以或.
当时，由，所以切点；
当时，由，所以切点B2,1.
所以
考点四、切线方程及切点弦方程的应用
1．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；
（2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切.
2．（2021·全国·高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知，，设圆M上的点，则．
所以．
从而有．
因为，所以当时，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．
过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点在圆M上，则
．
故当时的面积最大，最大值为．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为，．
设，联立和抛物线C的方程得整理得．
判别式，即，且．
抛物线C的方程为，即，有．
则，整理得，同理可得．
联立方程可得点P的坐标为，即．
将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．
由弦长公式得．
点P到直线的距离为．
所以，
其中，即．
当时，．
【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得关于圆M上的点的坐标的表达式，进一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线AB的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到，，过P作y轴的平行线交于Q，则．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立直线AB和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；
1．（2024·四川德阳·三模）已知为抛物线：的焦点，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于不同的两点，若抛物线在两点处的切线相交于点，则 .
【答案】4
【分析】设Ax1,y1，，设直线，代入抛物线方程，消去得，根据韦达定理可得，，根据导数的几何意义可得切线方程，求出点的坐标，即可求出PF的值．
【详解】设Ax1,y1，，抛物线C在A、B两点处的切线为，

由,且直线AB的倾斜角为，
因此，设直线：，代入抛物线方程，消去得，，
则，，
，
由抛物线，可得对求导数，得到y′x，
则抛物线在两点处的切线的斜率为，切线的斜率为，
直线的方程为，即，①
则直线l2的方程为，即，②，
由①②解得，，
点P的坐标为，
根据两点间距离公式：，
故答案为：4．
【点睛】结论点睛：过抛物线焦点的直线与抛物线相交于不同的两点，抛物线在两点处的切线相交于点，则点的轨迹为抛物线的准线.
2．（2024·河南洛阳·模拟预测）（多选）过点向抛物线作两条切线，切点分别为为抛物线的焦点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2，利用导数的几何意义求出两切线斜率，即可求出两切线方程，然后根据韦达定理判断AB，根据焦半径公式化简求解判断CD.
【详解】设点为点，抛物线的方程为，即，则,
设Ax1,y1,Bx2,y2，则切线PA，PB的斜率分别为，
切线方程分别为，
将的坐标及代入，并整理得，
可得为方程的两个实数根，
由韦达定理得，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC
3．（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，曲线C：与直线交与M,N两点，
(1)当时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？说明理由.
【答案】(1)和．
(2)有，理由见解析
【分析】（1）先求出M，N的坐标，再利用导数求出M，N.
（2）先作判定，再利用设而不求思想．将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M，N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线，的斜率之和用表示出来，利用直线，的斜率为0，即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.
【详解】（1）由题设可得，，或，.∵，
故在处的导数值为，C在处的切线方程为
，即.
故在处的导数值为，C在处的切线方程为
，即.
故所求切线方程为或.
（2）存在符合题意的点，证明如下：
设为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为.
将代入C得方程整理得.
∴.
∴==.
当时，有=0，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，
故，所以符合题意.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，．
【分析】（1）根据条件得到关于的方程组，即可求解；
（2）首先利用点的坐标表示切线方程，并利用两点确定一条直线，确定直线的方程，再根据含参直线确定定点坐标.
【详解】（1）∵椭圆的离心率为，
椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1，
∴，
解得，
∴椭圆的方程为．
（2）证明：设切点为，则切线方程为，
∵两条切线都过上任意一点，
∴得到，
∴都在直线上，
又，
由，得，
即对任意的，直线始终经过定点．
∴动直线恒过一定点．
5．（2024·全国·模拟预测）设抛物线，直线与交于，两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点为上一点，过点作抛物线的两条切线，，设切点分别为，，试求直线，斜率之积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与方程可得与横坐标有关韦达定理，结合弦长公式计算即可得解；
（2）借助导数可得、，从而得到，结合韦达定理可表示出，结合圆的纵坐标的范围即可得解.
【详解】（1）设点，
由，可得，
则，，
，解得，
即抛物线；
（2）设点Px0,y0，，，其中，，
由，即，，
则，，
则有，
即，都在直线上，
化简得，
将直线的方程代入得，
则，，
则
，
又Px0,y0为的一点，则，故．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点．求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意得到的值，从而得到椭圆方程；
（2）根据题意设出直线的方程，点的坐标，由题干提示得到椭圆在点处的切线方程，联立方程得到点的坐标.根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，进一步证明与垂直.
【详解】（1）由题意得解得
所以椭圆的标准方程为．
（2）当直线的斜率为0时，分别为椭圆的左、右顶点，此时切线平行无交点，故不符合题意．
当直线的斜率不为0时，由（1）知F1−1,0，
设直线，
则椭圆在点处的切线方程为，在点处的切线方程为．
由，得，
代入①得，所以．
当时，直线的斜率不存在，直线的斜率为0，；
当时，直线的斜率为，直线的斜率为，所以．
综上，．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的设线技巧：
（1）当题干中直接或者隐含直线过定点时，可设点斜式
局限性：不能表示垂直于x轴的直线，需要单独讨论；
（2）当题干中含有过y轴上一定点时，或者在解题步骤中需要或，需要消掉y保留x时，设会简化解题步骤和计算量
局限性：不能表示垂直于x轴的直线，需要单独讨论；
（3）当题干含有过x轴上一定点时，或者在解题步骤中需要或，需要消掉x保留y时，设会简化解题步骤和计算量
局限性：不能表示垂直于y轴的直线，需要单独讨论.
1．（2022高三·全国·专题练习）求过椭圆上一点的切线方程．
【答案】
【分析】令，利用伸缩变换求得椭圆和点M在新坐标系下的方程和坐标，然后由圆的切线方程和伸缩变换公式可得.
【详解】令，则椭圆在新坐标系下的方程是：，点在新坐标系下的坐标是：，
设过圆上的点的切线方程为（易得斜率必存在），
即代入
整理得
由题意可知，，整理得
即，所以切线方程为，即：
过椭圆上一点的切线的方程是：，即：．
2．（2022高三·全国·专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程．
【答案】.
【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进一步求出切线的方程.
【详解】由可得，
根据题目条件，可知求曲线在点P处的切线的方程，
∴曲线在点P处的切线斜率为
∴曲线在点P处的切线方程为
化简得
∴双曲线C在点P处的切线的方程为．
3．（2021高三·全国·专题练习）求与双曲线有共同的渐近线，且与直线相切的标准双曲线方程.
【答案】
【分析】解法一：设所求双曲线的方程为，根据双曲线与直线相切，且该直线与其渐近线不平行，联立，利用判别式求解；解法二：设所求双曲线的方程为，设其与直线相切的切点为，
得到切线方程为，再根据与直线相切，由求解；解法三：设所求双曲线方程为，双曲线上一点的坐标为，得到切线方程为，再根据与直线相切，由两直线重合求解.
【详解】解法一：设所求双曲线的方程为.
此双曲线与直线相切，且直线与渐近线显然不平行，
由方程组消去x，得，
其判别式，解得.
故所求双曲线的标准方程为，即.
解法二：设所求双曲线的方程为，即，
设其与直线相切的切点为，
则切线方程为，
，
，.
代入双曲线方程中并化简得，
又，，
故所求双曲线的标准方程为.
解法三：设所求双曲线方程为，双曲线上一点的坐标为，
以此点为切点的双曲线的切线方程为，
化简得.
它和直线重合，
，即，
由等比定理得，
即，，
所以双曲线方程为.
4．（22-23高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的方程为，抛物线的方程为，则两曲线的公共切线的其中一条方程为 ．
【答案】
【分析】设切线方程，分别与圆的方程以及抛物线方程进行联立，利用各自的，即可求解.
【详解】设切线方程为：，分别联立方程得到和，
得和，
得和，
解得和，解得或，
所以，两曲线的公共切线的其中一条方程可为：
故答案为：
5．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ．
【答案】
【分析】由，消去得，由求出p，从而求得准线方程．
【详解】由，消去得，
由题意，解得，
则抛物线方程为：，
所以抛物线的准线方程为：，即．
故答案为：．
6．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由导数的几何意义列方程即可求解.
【详解】题述直线斜率为，所以切点不可能是原点（否则切线斜率不存在，与题意矛盾），
也不可能是斜率为0的直线与抛物线的交点（因为题述直线斜率为，它不等于0），
或，
当时，，
当时，，
综上所述，若切点的坐标为，则有，解得.
故选：B.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程．
【答案】
【分析】根据双曲线的切线方程（或切点弦方程）的结论直接代入即可得直线的方程.
【详解】如下图所示：
方法一：
根据题意，设切点坐标为Ax1,y1,Bx2,y2，
根据结论：若点在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程是．
则可得切线的方程分别为，；
又因为在切线上，可得，；
因此Ax1,y1,Bx2,y2在方程的两根，
可知直线的方程为，也即.
方法二：
可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是；
可得直线的方程为，也即
8．（2020·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ．
【答案】
【解析】求出与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程，根据椭圆的性质可得两条切线中与已知直线距离较远的那条直线上的点到直线的最大值．
【详解】解：设直线与椭圆相切
联解消去，得
，解得或
与直线平行且与椭圆相切的直线方程为
其中与直线距离较远的是，且距离为，
到直线的最大距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．
9．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（ ）
A．0B．1C．-2D．-1
【答案】A
【分析】设，利用导数的几何意义可得直线与直线的方程，进而得到点的坐标，结合点在直线上，得，即,根据数量积的坐标运算化简后即可得解．
【详解】设，由求导得，
则直线方程为，即，
同理可得直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得，
由点在直线上，得，即

故选：A．
10．（2023高三·全国·专题练习）已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为 .
【答案】/
【分析】
求出与直线平行的直线方程，离直线较远的直线与的距离即为所求．
【详解】
设直线y＝x＋m与椭圆相切，由得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，
∴Δ＝（18m）2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±，
切线方程为y＝x＋和y＝x－，与l距离较远的是y＝x－，
∴所求最大距离为d＝＝.
故答案为：
1．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ．
【答案】/
【分析】依题意，注意到点在椭圆上，由此得到椭圆在点处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案．
【详解】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为，
即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为．
故答案为：.
2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意设出过点M的切线方程，得出切线斜率之间的关系，求出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合面积公式可得结果.
【详解】设，的斜率分别为，且
过点M的切线方程为，联立，
解得，所以，
即，所以，
设切点Ax1,y1,Bx2,y2，由导数几何意义知，
所以，，所以直线，
即：且，所以：，
直线恒过定点，其到的距离为1，
联立得，
∴，，即，
∴，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，结合韦达定理，利用弦长公式，斜率公式，向量平行于垂直的等价条件转化求解.
3．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知O为坐标原点，抛物线y2=2pxp>0上有异于原点的，两点，F为抛物线的焦点，以A，B为切点的抛物线的切线分别记为PA，PB，则（ ）
A．若，则A，F，B三点共线B．若，则A，F，B三点共线
C．若，则A，F，B三点共线D．若，则A，F，B三点共线
【答案】BC
【分析】设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，化简整理为一元二次方程，根据根与系数的关系得到，，进而得到，，根据四个选项中的条件，逐一判断选项．
【详解】设直线AB的方程为，代入抛物线方程得，
则，，，
所以，．
选项A：若，则，得，故直线AB不一定经过焦点F，所以A错误．
选项B：若，则，得，故直线AB经过焦点F，所以B正确．
选项C：设在点Ax1,y1处的切线方程为，即，
与抛物线方程联立得，
，即，解得，
所以，即，
即切线PA的方程为，同理切线PB的方程为，
由，得，得，由B知直线AB经过焦点F，所以C正确．
选项D：因为，
则，
整理得，则，故直线AB不一定经过焦点F，所以D错误．
故选：BC.
4．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知是抛物线上任一点，为的中点，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过点作曲线的两条切线，切点分别为，求点到直线的距离的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，从而得到点的坐标为，再根据点是抛物线上任一点，代入方程，整理可得；
（2）设Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到，同理可得，从而得到直线的方程为，再由点到直线的距离公式及基本不等式计算可得.
【详解】（1）设，因为为的中点，所以点的坐标为，
又点是抛物线上任一点，所以，
整理得，即的方程为；
（2）设Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，则，，，
由抛物线的方程为，即，则，
所以的方程为，即，
所以，同理可得，
所以直线的方程为，
则点到直线的距离
，
当且仅当，即时取等号，
所以点到直线的距离的最小值为.
5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，离心率为，抛物线的焦点为．
(1)记椭圆与抛物线在第一象限的交点为，若，求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相切于第一象限，切点为，证明：直线经过点，且为线段的中点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）联立抛物线与椭圆方程可得,进而根据抛物线的焦半径公式可得，即可根据椭圆定义求解，
（2）联立直线与抛物线方程，根据判别式为0，解得斜率为1，进而根据的斜率得直线经过点，根据向量的坐标相等可证线段相等，即可求证中点关系.
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，所以抛物线．
因为离心率为，所以，即．
联立得，
解得舍去，
所以．
因为，
所以，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）证明：由题意可知直线有斜率，
设直线，
联立得①．
令，解得（舍去）．
直线的斜率为，与直线的斜率相等，
所以直线与直线重合，直线经过点．
将代入①，解得．
将代入直线的方程可得，所以，
所以，所以为线段的中点．
综上，直线经过点，且为线段的中点．
6．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，渐近线方程为，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作双曲线的切线与轴交于点，试判断与的大小关系，并给予证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由题意可列出方程组，解出方程组即可得解；
（2），首先求出直线的方程，进一步作关于的对称点为，只需证明，，三点共线即可得证.
【详解】（1）由已知，解之得，
所以双曲线的方程为.
（2）
.
证明如下：
令，
由，得，
由得，
所以.
令关于的对称点为，且与直线的交点为，
则，
解之得，即，
又因为，，所以，，三点共线，
因为为线段的垂直平分线，所以，
所以，.
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过与轴垂直的直线交于两点，且，离心率为.
(1)求的方程；
(2)已知圆上点处的切线方程是，利用类比思想可知双曲线上点处的切线方程为.过点分别作双曲线的左､右两支的切线，切点分别为，连接，并过线段的中点分别再作双曲线左､右两支的切线，切点分别为，证明：点在同一条直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知先表示AB，结合已知及双曲线性质即可求解；
（2）由已知直线与圆相切可求得直线与双曲线相切的方程，可求出的直线方程，联立直线与双曲线方程，进而可求出直线的方程，可得直线经过点，即可求解.
【详解】（1）在中，
令，得，
所以AB=2b2a，
则，解得.
所以的方程为.
（2）由类比思想可知双曲线在处的切线方程为，
同理，在处的切线方程为，
又因为两切线的交点为，
所以满足，
从而得到直线的方程为.
联立方程，整理可得，需满足
所以，
即可得线段的中点，
设，
根据已知可得在两点处的切线方程分别为
又两切线交点为，
所以，
可得直线的方程为，
整理得，
即，
直线恒过点，
所以点在同一条直线上.
【点睛】关键点睛：本题考查了直线与双曲线位置关系的应用，考查了方程思想的应用，属于中档题.
解题关键是把双曲线在处的切线方程设出来，结合两切线的交点,可把直线的方程求出来，联立双曲线方程，运用韦达定理可求出中点的坐标.同理把双曲线在处的切线方程设出来，结合交点可求出直线的方程，根据直线的方程，即可判断直线恒过点，即点在同一条直线上.
8．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知椭圆与双曲线的焦点与的焦点间的距离为.
(1)求与的方程；
(2)过坐标轴上的点可以作两条与的公切线.
（i）求点的坐标.
（ii）当点在轴上时，是否存在过点的直线，使与均有两个交点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）或或或；（ii）不存在，理由见解析
【分析】（1）由题意可得，求解即可求与的方程；
（2）（i）显然公切线的斜率存在且不为0，设公切线，分别与与的方程联立方程组，利用判别式等于0可求公切线方程，公切线的交点即点的坐标.
（ii）假设存在直线与均有两个交点，由（i）知，判断方程组有无解即可.
【详解】（1）由题意可得，解得.
所以.
（2）（i）显然公切线的斜率存在且不为0，设公切线，
联立得，
则，
即①
联立得，
则，即②
联立①②得，所以公切线为或.
公切线的交点即点的坐标，
由，解得，由，解得，
由，解得，，解得，
综上所述：或或或.
（ii）当点在轴上时，，
假设存在直线与均有两个交点，
由（i）知，不等式组无解，
所以不存在过点的直线与均有两个交点.
9．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且.
(1)求的方程；
(2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的定义即可求解，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据相切得判别式为0，可得，进而可得坐标，根据两点坐标可得直线的方程，即可根据交点在直线化简求解.
【详解】（1）因为，
所以曲线是以为焦点，以2为实轴长的双曲线，
所以实半轴长，半焦距，虚半轴长，
所以曲线的方程为.
（2）由题知切线斜率均存在，所以设过点所作的切线分别为，
由题意知且，由得，
因为与相切，
所以，且，整理得.
此时可得，即.
同理.
由得.
直线的斜率为，
所以的方程为，
令，得，
即经过定点.
【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点
10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，当时，存在两个点，使得为直角三角形，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，再利用面积的最大值可得出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）证明出抛物线在点Ax1,y1处的切线方程为，可得出抛物线在点处的切线方程，联立两切线方程，求出点的坐标为，设，其中，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）解：当轴时，存在两个点，使得为直角三角形，
当轴时，存在两个点，使得为直角三角形，
当时，由题意可知，存在两个点，使得为直角三角形，
设点，其中，则，可得，
且，，
则，可得，
由题意可知，，则，
当点为椭圆短轴的顶点时，到轴的距离最大，此时，的面积取最大值，
即，则，故，
因此，椭圆的方程为.
（2）解：设点Ax1,y1、Bx2,y2，先证明出抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，即，解得，
所以，抛物线在点处的切线方程为，
同理可知，抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，
所以，，则，即点，
因为点在轴左侧，则，即，
因为点在椭圆上，则，
设，其中，则，，
所以，
，
因为，则，则，
所以，，
因此，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
1．（福建·高考真题）如图，直线与抛物线相切于点.

（1）求实数的值；
（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，根据相切可知联立化简后的方程，即可求得的值；
（2）将（1）中所得的值代入联立后的方程，可求得切点坐标，由与抛物线的准线相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程.
【详解】（1）直线与抛物线相切于点.
则，得，（*）
因为直线与抛物线相切，
所以，
解得.
（2）由（1）可知，故方程（*）即为，
解得，代入，得.
故点，
因为圆与抛物线的准线相切，
所以圆的半径等于圆心到抛物线的准线的距离，
即，
所以圆的方程为.
【点睛】本题考查由直线与抛物线相切求参数，抛物线定义的简单应用及圆的标准方程求法，属于基础题.
2．（安徽·高考真题）设是抛物线的焦点．
（Ⅰ）过点作抛物线的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）32.
【分析】（Ⅰ）可设切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式等于零列方程即可得结果；（Ⅱ）直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、弦长公式可求得的值，从而可得四边形面积，利用基本不等式可得结果.
【详解】（Ⅰ）由题意可设切线方程为,联立方程得
由可得:
所求切线方程为:或
（Ⅱ）设, 不妨设直线的斜率为,则方程为
由:得∴
∴
又，∴直线的斜率为:，
同理可得：
∴
∴当时，等号成立，四边形面积的最小值为32
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
3．（陕西·高考真题）已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析．
（Ⅱ）存在，使．
【详解】（Ⅰ）如图，设.
把代入得，由韦达定理得.
∴，∴点的坐标为.
设抛物线在点处得切线的方程为，
将代入上式得，
∵直线与抛物线相切，
∴，∴，即.
（Ⅱ）假设存在实数，使，则.
又∵是的中点，∴.
由（Ⅰ）知.
∵轴，∴.
又
.
∴，解得，即存在，使.
点睛：本题考查的是抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，以及运用所学知识去分析问题解决问题的能力．求解第一问时联立直线与抛物线的方程组，运用斜率相等证明命题的成立；第二问求解的思路是先假设符合题设条件的参数存在，然后再依据题设条件进行分析探求，最终求出满足题设条件的在，使得问题获解．
4．（广东·高考真题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程.
（1）由题意知，且有，即，解得，
因此椭圆的标准方程为；
（2）①设从点所引的直线的方程为，即，
当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，
将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，
，
化简得，即，
则、是关于的一元二次方程的两根，则，
化简得；
②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.
综上所述，点的轨迹方程为.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.
5．（广东·高考真题）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)
【详解】试题分析：（1）设拋物线的方程为，利用点到直线的距离,求出,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线的方程；（3）由拋物线定义可知，联立直线与抛物线方程,消去,得到一个关于的一元二次方程,由韦达定理求得的值,还有,将表示成的二次函数的形式,再求出最值.
试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线的方程为，由结合，
解得，所以拋物线的方程为.
（2）拋物线的方程为，即，求导得，
设(其中)则切线的斜率分别为，
所以切线的方程为，即，即，
同理可得切线的方程为，
因为切线均过点，所以 ，，
所以为方程的两组解，
所以直线的方程为.
（3）由拋物线定义可知，
联立方程，消去整理得.
由一元二次方程根与系数的关系可得，
所以
又点在直线上，所以，
所以，
所以当时，取得最小值,且取得最小值为.
考点：1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.
【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线的方程,得出直线的方程;第三问先用抛物线定义把的值表示出来,联立直线与抛物线方程,得到的值, 将表示成的二次函数的形式,再求出最值.
6．（福建·高考真题）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．
（1） 求抛物线E的方程；
（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点
【答案】（1）（2）见解析
【详解】(1)依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°．
设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cs30°＝12．
因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2．故抛物线E的方程为x2＝4y．
(2)方法一：由(1)知y＝x2，y′＝x．
设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为
y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－．
由，得．
所以Q(，－1)．
设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝ (x0≠0)的点(x0，y0)恒成立．
由于＝(x0，y0－y1)，＝(，－1－y1)，
由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋＝0，
即(＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0 (*)．
由于(*)式对满足y0＝ (x0≠0)的y0恒成立，
所以，解得y1＝1．
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．
7．（湖南·高考真题）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向
（ⅰ）若，求直线的斜率
（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形
【答案】（1）；（2）（i），（ii）详见解析.
【详解】试题分析：（1）根据已知条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为即可求解；（2）（i）设直线的斜率为，则的方程为，由得，根据条件可知，从而可以建立关于的方程，即可求解；（ii）根据条件可说明，因此是锐角，从而是钝角，即可得证
试题解析：（1）由：知其焦点的坐标为，∵也是椭圆的一焦点，
∴ ①，又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，∴②，联立①，②，得，，故的方程为；（2）如图，，，，，
（i）∵与同向，且，∴，从而，即，于是③，设直线的斜率为，则的方程为，由得，而，是这个方程的两根，∴，④，由得，而，是这个方程的两根，∴，⑤，将④⑤带入③，得，即，
∴，解得，即直线的斜率为.

（ii）由得，∴在点处的切线方程为，即
，令，得，即，∴，而，于是
，因此是锐角，从而是钝角.，故直线绕点旋转时，总是钝角三角形.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.
【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此
类问题的关键：（1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，等；（2）当看到题目中出现
直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条
件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整
体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
8．（浙江·高考真题）如图，已知抛物线，圆，过点 作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆 相切，A，B为切点.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设定直线的方程，通过联立方程，判别式为零，得到点的坐标；根据圆的性质，利用点关于直线对称，得到点的坐标；（2）利用两点求距离及点到直线的距离公式，得到三角形的底边长与底边上的高，由此计算三角形的面积.
试题解析：（1）由题意可知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为.
所以消去，整理得：.
因为直线与抛物线相切，所以，解得.
所以，即点.
设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点，关于直线对称，故有，
解得.即点.
（2）由（1）知，，
直线的方程为，
所以点到直线的距离为.
所以的面积为.
考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新Ⅱ卷，第10题,6分
过抛物线上的点与圆相切
切线长
根据抛物线方程求焦点
直线与抛物线交点相关问题
2020年新Ⅱ卷，第21题,12分
求椭圆的切线方程
根据椭圆过的点求标准方程
椭圆中三角形 (四边形)的面积
求椭圆中的最值问题