人教A版必修第一册高一数学上册期末模拟试卷四（2份，原卷版+解析版）

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1．已知实数集，集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用集合的补集、交集运算求解.
【详解】因为，所以或，所以.
故选：C
2．已知命题，.若为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求得命题为真时参数的取值范围，再求其补集即可.
【详解】若命题为真，则，解得，则当命题为假命题时，，故的取值范围是.故选：C.
3．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则图像的对称中心可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图像变换求得的解析式，再求得的对称中心.
【详解】函数的图像向右平移个单位长度，得到函数，所以，
令，即的对称中心为，
令，求得的一个对称中心为.故选：D
4．函数 ，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用三角函数、对数函数的图像和性质，画出函数的图像，再利用图像数形结合即可发现、、间的关系和范围，最后求得所求范围.
【详解】函数的图像如图所示：
设，由函数图像数形结合可知：，，．
故选：C．
5．函数在的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】判断函数的奇偶性，可判断A；取特殊值，根据特殊值的函数值可判断,可得答案.
【详解】由题意函数，，则，故为奇函数，其图像关于原点对称，故A错误；
又因为，,可判断B错误，
，故错误，只有D中图像符合题意，故D正确，故选：D
6．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度T满足，其中是环境温度，h称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至75℃开始大约还需要等待（ ）（参考数据：，，）
A．3分钟B．5分钟C．7分钟D．9分钟
【答案】B
【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.
【详解】根据题意，，即设茶水从降至55℃大约用时t分钟，则，即，即两边同时取对数：
解得.故选：B.
7．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先判断的范围，利用和判断出，，再结合正切函数判断出，即可求解.
【详解】由，可得，故，即，，即，又时，，，故，综上.
故选：D.
8．已知函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设（），即，结合条件得到：，
再由的奇偶性和单调性得到：，即可求解.
【详解】由题意得，函数，
设（），则，
由，得，
又因为，
所以是上的奇函数，即，
又有，
因为是上的增函数，是上的增函数，
所以是上的增函数；
则，即，
整理得：，解得：或，
所以实数a的取值范围为，
故选：B.
二、多项选择题：
9．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.【详解】，A错误；
，B错误；，C正确；，D正确．故选：CD
10．下列函数中,最小值为4的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据基本不等式以及其取等条件即可判断选项A,B的正误,根据,可判断选项C的范围,进而判断正误,对二次函数进行配方即可得二次函数的最小值,进而判断选项D的正误.
【详解】解:由题知关于选项A:
,,当且仅当,即时取等,
,故等号取不到,所以选项A错误;
关于选项B:
,,当且仅当,即时取等,,所以选项B正确;
关于选项C:
,,所以最小值取不到4,所以选项C错误;
关于选项D:
,当时,,所以选项D正确.故选:BD
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的定义域为
C．D．在上单调递减
【答案】AC
【分析】根据正切函数的周期性、定义域、特殊角的正切值和单调性依次判断选项即可.
【详解】对于A：函数的最小正周期，故A正确；
对于B：由，，得，，所以函数的定义域为，故B错误；对于C：，，
所以，故C正确；对于D：当时，，
因为在单调递增，所以在上单调递增，故D错误.故选：AC.
三、填空题：
12.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】转化为恒成立，分与两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围.
【详解】由题意得：恒成立，当时，，解得：，定义域为不是R，舍去；当时，要满足，解得：，综上：实数a的取值范围是.
故答案为：.
13.若函数是定义在上的偶函数，是奇函数，，则_______.
【答案】
【分析】由奇函数的定义，是奇函数，所以有，分别令取和，即可求出与的值，再利用为偶函数，可求出与的值，然后代入式中求解即可.
【详解】∵是奇函数，∴，
令，得，即，∴，
令，得，即，
∵是定义在上的偶函数，∴，，
∴.故答案为：.
14.已知函数为偶函数，点是函数图象上的两点，若的最小值为3，则__________.
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性确定，再根据的最小值为3确定函数最小正周期，求得，即得函数解析式，即可求得答案.
【详解】因为函数为偶函数，
故，即，
所以，不恒等于0，故，而，则，
点是函数图象上的两点，的最小值为3，
则的最小正周期为6，则 ，故，故，
故答案为：
四、解答题：
15.（1）计算；
（2）已知，且是第二象限的角，求.
（3）计算：.
【答案】（1）；（2）；；（3）
【分析】（1）根据指数计算规则计算；
（2）根数三角函数同角三角函数的商数关系和平方关系进行计算；
（3）根据诱导公式化简计算.
【详解】（1）；
（2）
根据可得，因为是第二象限的角，所以，则
（3）
16.已知函数．
(1)请用“五点法”列表并画出函数在上的图象；
(2)若函数的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数的图象，求的单调增区间．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）根据五点作图法步骤找到五点并用光滑曲线连接即可；
（2）根据题意对三角函数平移变换得到的解析式，再整体代入得到的单调增区间.
【详解】（1）列表如下：
函数在上的图象如下：
（2）函数的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到再向右平移个单位，得到，
令，解得
所以的单调增区间为
17.已知函数
(1)证明函数在上为减函数；
(2)当时，解关于的不等式
【分析】（1）设，由，根据单调性定义可得结论；
（2）利用奇偶性定义可知为奇函数；利用诱导公式可化简所求不等式右侧部分为，结合奇偶性得到；根据单调性可得自变量大小关系，通过对于范围的讨论，解一元二次不等式求得结果.
【详解】（1）设，且，
则；
，，，在上为减函数.
（2）定义域为，，
为定义在上的奇函数，即；
，
，
原不等式可化为，即；
由（1）知：在上为减函数，，
即；
①当时，由得：或；
②当时，由得：；
③当时，由得：或；
综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
18.已知函数.
(1)求函数的严格单调递增区间；
(2)求函数在区间的值域；
(3)已知函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）首先化简，根据正弦型函数的单调性列出不等式即可；
（2）根据范围求出范围，即可得到其值域；
（3）分离参数得，利用诱导公式和二倍角余弦公式得，再结合范围，即可求出右边最小值，即得到答案.
【详解】（1），
令，,得，,
故严格单调递增区间为.
（2）当时，，所以，故值域为.
（3）由题意得
设，当时，则，则
所以.
19.已知函数（且）.
(1)试判断函数的奇偶性；
(2)当时，求函数的值域；
(3)已知，若，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)函数是偶函数(2)(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义可判断出结果；
（2）根据基本不等式以及对数函数的单调性可求出结果；
（3）将，使得，转化为，
利用换元法求出，分类讨论，利用函数的单调性求出的最小值，代入可求出结果.
【详解】（1）因为且，所以其定义域为R，
又，所以函数是偶函数；
（2）当时，，因为,,当且仅当，即时取等，
所以,所以函数的值域为.
（3），，使得，等价于，
令，，，
令，则在上的最小值等于在上的最小值，
在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，所以.
因为为偶函数，所以在上的最小值等于在上的最小值，
设，则，
任取，，
因为，所以，，，，，
所以，，所以在上为单调递增函数，
当时，函数在上为单调递减函数，
所以，所以，得（舍）；
当，函数在上为单调递增函数，
所以，所以，.
综上得：实数的取值范围为.0
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