（通用）2026高考数学重难点讲练－导数与函数的综合(提高)+巩固练习（附解析）

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【高考展望】
1.函数在一点处导数的几何意义、切线的斜率、方程等常作为基础考察；
2.基本导数公式，两个函数和、差、积、商的求导法则要熟记并应用，
5.理科试卷中往往考察复合函数的求导法则；
6.函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，此为重点内容，也是重点考察的内容；
7.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，函数的极大值、极小值、最大值、最小值是考查重点；
8. 正确计算定积分，利用定积分求面积;
9．分类讨论的数学思想是本部分内容的重点考查内容，应熟练掌握这种数学思想。
【知识升华】
考点一、求切线方程的一般方法，可分两步：
（1）求出函数在处的导数；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。
要点诠释：
求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
考点二、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。
要点诠释：
①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。
②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
③要关注导函数图象与原函数图象间关系。
（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求导数；
(3) 在定义域内解不等式；
(4) 确定f(x)的单调区间。
考点三、求函数的极值与最值
（1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作y极小值=f(x0)。
极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
要点诠释：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。
⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)
考点四、求函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。
（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
考点四、定积分计算、微积分基本定理
1.定积分的性质
（1）（为常数），
（2），
（3）（其中），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数在区间上是奇函数，则；
若函数在区间上是偶函数，则.
2.微积分基本定理：.
【典型例题】
类型一：导数的几何意义和物理意义
举一反三：
例1．在曲线C：上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C关于该点对称。
【思路点拨】注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。
【解析】（1）
∴当时，取得最小值-13
又当时，
∴斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；
（2）证明：设为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为
且有 ①
∴将代入的解析式得


，
∴点坐标为方程的解
∴
举一反三：
【变式1】已知曲线，其中，且均为可导函数，
求证：两曲线在公共点处相切。
【证明】注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，
设上述两曲线的公共点为，则有
，，∴ ，
∴，∴，
∴
于是，对于有； ①
对于，有 ②
∴由①得，
由②得


∴，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，
∴两曲线在公共点处的切线重合，∴两曲线在公共点处相切。
【变式2】求曲线的分别满足下列条件的切线：
（1）在点的切线；（2）过点的切线；
【解析】
（1）时，在点的切线的切线的斜率，
∴在点的切线为，即.
（2）当切点为点时，切线为
当切点不是点时，设切点为，
则，
解得或（舍去）
∴切点为的切线为，即，
故过点的切线为或.
【变式3】运动曲线的方程为：，求t=3时的速度，加速度。
【解析】运动曲线的速度为：
t=3时的速度：
运动曲线的加速度为：

t=3时的加速度：
类型二：函数的单调区间
例2．是否存在这样的k值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，∞）上递增，若存在，求出这样的k值；
【解析】
由题意，当时，当时，
∴由函数的连续性可知，即
整理得，，解得或
验证：
（Ⅰ）当时，
∴若，则；若， 则， 符合题意；
（Ⅱ）当时，
，
显然不合题意。
综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，∞）上递增。
举一反三：
【变式1】当x>0时，证明不等式：
【证明】设
上单调减函数
成立
例3（2015 淮安模拟）已知函数f（x）=x3﹣x2+mx+2，若对任意x1，x2∈R，均满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则实数m的取值范围是 ．
【答案】[，+∞）
【解析】对任意x1，x2∈R，均满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，
即函数f（x）在R上为增函数，
即有f′（x）≥0在R上恒成立．
由f（x）=x3﹣x2+mx+2的导数为f′（x）=3x2﹣2x+m，
由3x2﹣2x+m≥0恒成立，
可得判别式△=4﹣12m≤0，
解得m≥，则所求m的范围是[，+∞）．
举一反三：
【变式1】已知a＞0，函数f（x）=lnx+在[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是 ．
【答案】[1，+∞）
【解析】f′（x）=﹣=，若函数f（x）=lnx+在[1，+∞）上是增函数，（a＞0），
则ax﹣1≥0在[1，+∞）恒成立，即：a≥=1，
类型三：函数的极值
例4．已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值。
(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程。
【解析】(1)
依题意，，
即
∴，
令，得x=-1，x=1，
若x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，则，
故f(x)在(-∞，-1)上是增函数，f(x)在(1，+∞)上是增函数
若x∈(-1,1)，则，故f(x)在(-1,1)上是减函数
所以，f(-1)=2是极大值；f(1)=-2是极小值；
(2)曲线方程为y=x3-3x，点A(0,16)不在曲线上
设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足
，
故切线的方程为
注意到点A(0,16)在切线上，有，
,解得x0=-2
所以切点M(-2，-2)，切线方程为9x-y+16=0
举一反三：
【变式1】已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.
（1）求常数的值；
（2）求的极值。
【解析】（1），令得方程
∵在处取得极值
∴或为方程的根，
故有
∴，即 ①
∴

又∵仅当时取得极值，
∴方程的根只有或，
∴方程无实根，
∴ 即
而当时，恒成立，
∴的正负情况只取决于的取值情况
当x变化时，与的变化情况如下表：

∴在处取得极大值，在处取得极小值。
由题意得,整理得 ②
于是将①，②联立，解得
（2）由（1）知，
例5．已知函数在与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；
（2）若对x[－1，2]，不等式恒成立，求c的取值范围。
【解析】（1），
由，得
，b＝－2
∴，
函数f（x）的单调区间如下表：
所以函数f（x）的递增区间是与；
递减区间是
（2），x[－1，2]，
当时，为极大值，
而，则为最大值
要使（x[－1，2]）恒成立，
只需,解得.
举一反三：
【变式1】设是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）,
由，得 ，即得，
令，得或，
由于x＝3是极值点，所以，
当，即时，
在区间上，， 为减函数；
在区间上，，为增函数；
在区间上，，为减函数。
当，即时，
在区间上，， 为减函数；
在区间上，，为增函数；
在区间上，，为减函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
所以f (x)在区间[0，4]上的值域是
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是，
由于，
所以只需且，解得