（通用）2026高考数学重难点讲练－导数的综合应用(提高)+巩固练习（附解析）

这是一份（通用）2026高考数学重难点讲练－导数的综合应用(提高)+巩固练习（附解析），共20页。
1.了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数；
2.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；
3.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；
4．提高应用知识解决实际问题的能力。
【知识网络】
导数的应用
极值与最值问题
函数的单调性问题
切线斜率、方程
【考点梳理】
考点一、求切线方程的一般方法
（1）求出函数在处的导数；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。
要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
考点二、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。
要点诠释：①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。
②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
③要关注导函数图象与原函数图象间关系。
（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数；
③在定义域内解不等式；
④确定f(x)的单调区间。
要点诠释：函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。
考点三、函数的极值
（1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
①如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作y极小值=f(x0)。
极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
要点诠释：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。
⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)
要点诠释：函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f＇(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f＇(x)的符号产生变化。
考点四、函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。
（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
要点诠释：①函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。
②在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。
【典型例题】
类型一：函数的切线问题
例1.求曲线的分别满足下列条件的切线：
（1）在点的切线；（2）过点的切线；
【解析】
（1）时，在点的切线的切线的斜率，
∴在点的切线为，即.
（2）当切点为点时，切线为
当切点不是点时，设切点为，
则， 解得或（舍去）
∴切点为的切线为，即，
故过点的切线为或.
举一反三：
【变式1】设函数的图象与直线相切于点（1，－11）,求a，b的值.
【解析】
∵的图象与直线相切于点（1，－11）.
∴，即
解之得a=1，b=－3.
类型二：函数单调性问题
例2． 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求的单调区间.
【解析】 （ = 1 \* ROMAN I）
∴
∵曲线在点处的切线方程为
∴，
即 = 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②解得：，
（ = 2 \* ROMAN II）由（ = 1 \* ROMAN I）可知：，
令，
∴
∴的最小值是
∴的最小值为
即对恒成立
∴在上单调递增，无减区间.
举一反三：
【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
【解析】
（1）当时，则恒成立，
此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；
（2）当时，
，
∴当时，函数有三个单调区间，
增区间为：；
减区间为：，.
【变式2】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-f(x), 试问：是否存在实数，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
【解析】假设存在实数满足题设.
F(x)=g(x)-f(x)=(x4+2x2+2)-(x2+1)=x4-(-2)x2+(2-),
F(x)=4x3-2(-2)x,
令4x3-2(-2)x=0,
（1）若≤2，则x=0.
当x∈(-∞,0)时，F(x)0.
∴F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设.
（2）若>2，则x=0或，
当时，F(x)0；
当时，F(x)0.
∴F(x)的单调增区间是，，
单调减区间是，.
要使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，
则，即=4.
故存在实数=4，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
类型三：函数的极值问题
例3. 已知函数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值.
【解析】
依题意，，
即
∴，
令，得x=-1或x=1，
当x变化时，与的变化情况如下表：
∴在处取得极大值，在处取得极小值.
【总结升华】利用“在处取得极值，则必有导数”是本题的破题关键.
举一反三：
【变式1】已知函数，其中a∈R.
（1）当a=1时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当a≠0时，求函数的单调区间与极值.
【解析】（1）当a=1时，，，
又，.
所以，曲线在点处的切线方程为，
即6x+25y－32=0.
（2）.
由于a≠0，令，得到x1=a，，
以下分两种情况讨论.
①当a＜0时，当x变化时，，的变化情况如下表：
所以在区间（－∞，a），内为增函数，在区间内为减函数.
函数在处取得极小值且.
函数在x=a处取得极大值，且.
②当a>0时，当x变化时，，的变化情况如下表：
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数.
函数在处取得极小值且.
函数在x=a处取得极大值，且.
类型四：函数的最值问题
例4.已知函数
（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值。
【解析】（1），
由题意：
（2）令
令
令
令
所以函数的单调增区间是，
单调减区间是
结合函数单调性的草图知：
当即时，
在上单调增，
当即时，
在上单调增，在上单调减，
当即时，
由题意得，则
综上，当时，
当时，.
举一反三：
【变式1】设函数求的最小值;
【解析】函数f（x）的定义域为（0，1）


令
当时，, ∴在区间是减函数；
当时，, ∴在区间是增函数.
∴在时取得最小值且最小值为
【变式2】求函数在[0，2]上的最大值和最小值.
【解析】，
令，化简为x2+x－2=0.
解得x=－2（舍去）或x=1.
，又因为，，
，
所以为函数在[0，2]上的最小值，
为函数在[0，2]上的最大值.
例5）. 已知函数 其中 ．
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)如果对于任意 ，，且 ，都有 ，求 的取值范围．
【解析】 (1) 由题意，得： 时，，
所以 ．
又因为 ，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ．
(2) 先考察函数 ， 的图象，
配方得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ．
因为对于任意 ，，且 ，都有 成立，
所以 ．
以下考察函数 ， 的图象：
令 ，解得 ．
随着 的变化， 和 的变化情况如下：


即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ．
因为对于任意 ，，且 ，都有 成立，
所以 ．
因为 （即 ），
所以 的取值范围为 ．
举一反三：
【变式】【2014 海淀一模】已知曲线 ．
(1)若曲线 在点 处的切线为 ，求实数 和 的值；
(2)对任意实数 ，曲线 总在直线 的上方，求实数 的取值范围．
【解析】 (1) ，因为曲线 在点 处的切线为 ，所以
解得
(2)对于任意实数 ，曲线 总在直线 的上方，等价于 ，都有 ，即 ， 恒成立．令 ，
① 若 ，则
所以实数 的取值范围是 ；
② 若 ，，由 得 ，， 随 变化而变化的情况如下：
所以 的最小值为 ，所以实数 的取值范围是 ．
综上，实数 的取值范围是 ．
例6．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
【解一】令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，
即当a＞1时，对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
综上，a的取值范围是（－∞，1]．
【解二】令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立
即为g(x)≥g(0)成立
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．
举一反三：
【变式1】已知函数f(x)=x3-ax2-3x
（1）若f(x)在x∈[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最小值和最大值.
【解析】（1）f′(x)=3x2-2ax-3.
∵f(x)在x∈[1，+∞)上是增函数，
∴x∈[1，+∞)时，f′(x)=3x2-2ax-3≥0恒成立，
即对x∈[1，+∞)恒成立，
当x≥1时，.
∴为所求。
（2）f′(3)=0，即27-6a-3=0，∴a=4.
∴f(x)=x3-4x2-3x，f′(x)=3x2-8x-3.
令f′(x)＝0得（舍去）或x=3.
∵f(3)=-18，f(1)=-6，f(4)=-12
∴f(x)在x∈[1，a]上的最小值是f(3)=-18，最大值是f(1)=-6。
【变式2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
【解析】（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），
函数f（x）的单调区间如下表：
所以函数f（x）的递增区间是（－，－）与（1，＋），递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，
当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，
解得c－1或c2。
【巩固练习】
1.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A. 3 B. 2 C.1 D.
2．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）
3．已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B.
C. D.
5．设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是（ ）

6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个
B．个
C．个
D．个
7．若函数在处有极大值，则常数的值为_________；
８.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数.当时，，且，则不等式的解集是 .
9．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是____________。
10．设，当时，恒成立，则实数的取值范围为 。
11．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是
12.设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求函数的极值.
13.已知函数．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 ，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．
14．设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
15．已知,，是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由.
16.已知函数满足满足;
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值.
【参考答案与解析】
1.【答案】A
【解析】设切点的横坐标为
曲线的一条切线斜率为
解得或(舍去)，即切点的横坐标为3.故选Ａ．
2．A
【解析】对称轴，直线过第一、三、四象限
3．B
【解析】在恒成立，
4．C
【解析】当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有
得
5．A
【解析】由题设知：不妨设，点的坐标分别为：
，其中，
由于，分别是点，处的切线，而，
得：的斜率为，的斜率为；
又与垂直，且，可得：
，
写出与的方程分别为： = 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
此时点的坐标为，的坐标为，
由此可得：
= 1 \* GB3 ①、 = 2 \* GB3 ②两式联立可解得交点的横坐标为
的面积为：
，
当且仅当即时等号成立，而，所以.
故选A.
6．A
【解析】极小值点应有先减后增的特点，即
7．
【解析】，时取极小值
8.【答案】
【解析】令，依题意在上位奇函数.
= 1 \* GB3 ①当时，，在上单调递增
即
= 2 \* GB3 ②当时，由为奇函数可知在上单调递增.且
的解集为
不等式的解集为
9．
【解析】当时，，则.又因为为偶函数，所以
，所以，则切线斜率为，所以切线方程
为，即.
故答案为.
10．
【解析】时，
11．
【解析】 ，
令，求出切线与轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前项和
12. 【解析】(1)因,故
由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即,
从而,解得
(2)由(1)知,


令,解得(因不在定义域内,舍去),
当时,,故在上为减函数;
当时,,故在上为增函数;
故在处取得极小值.
13.【解析】由题得：．
（Ⅰ）由已知，得且，∴a2﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2．
（Ⅱ）当0＜a≤2时，∵，∴，
∴当时，．又，
∴f'（x）≥0，故f（x）在上是增函数．
（Ⅲ）a∈（1，2）时，由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为，
于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式恒成立．
记，（1＜a＜2）
则，
当m=0时，，∴g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）＜g（1）=0，
由于a2﹣1＞0，∴m≤0时不可能使g（a）＞0恒成立，
故必有m＞0，∴．
若，可知g（a）在区间上递减，在此区间上，有g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0恒成立矛盾，故，
这时，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求，
∴，即，
所以，实数m的取值范围为．
14．【解析】（I）由题意，
①当时，，，在上单调递减.
②当时，，由，得
当时，；
当时，.
故在上单调递减，在上单调递增.
（II）原不等式等价于在上恒成立.
一方面，令，
只需在上恒大于0即可.
又∵，故在处必大于等于0.
令，，可得.
另一方面，
当时，
∵故，又，故在时恒大于0.
∴当时，在单调递增.
∴，故也在单调递增.
∴，即在上恒大于0.
综上，.
15．【解析】设
∵在上是减函数，在上是增函数
∴在上是减函数，在上是增函数.
∴ ∴ 解得
经检验，时，满足题设的两个条件.
16. 【解析】(1)
令得:

得:
在上单调递增

得:的解析式为
且单调递增区间为,单调递减区间为
(2)
得
= 1 \* GB3 ①当时,
在上单调递增
时,与矛盾
= 2 \* GB3 ②当时,

得:当时,

令;则

当时,
当时,的最大值为.
极小值
1
(1，+∞)
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
（－∞，a）
a
＋
0
－
0
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
）
－
0
＋
0
－
↘
极小值
↗
极大值
↘
+
0
-
0
+
↗
极大
↘
极小
↗
x
（－，－）
－
（－，1）
1
（1，＋）
f（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）

极大值

极小值
