（通用）2026高考数学重难点讲练－不等式的综合应用(提高)+巩固练习（附解析）

这是一份（通用）2026高考数学重难点讲练－不等式的综合应用(提高)+巩固练习（附解析），共10页。
1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；
2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；
3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；
4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；
5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．
6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．．
【知识网络】
不等式的综合应用
解不等式问题
实际应用问题
不等式中的含参问题
不等式证明

【考点梳理】
考点一：不等式问题中相关方法
1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．
2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函
数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式
化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．
4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形
→判断符号(值)．
5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维
等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．
6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的
基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
考点二：不等式与相关知识的渗透
1．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
2．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：①审题，②建立不等式模型，③解数学问题，④作答。
要点诠释：⑴解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。
⑵解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
⑶不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
⑷根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
【典型例题】
类型一：不等式求解问题
例1．解关于的不等式．
【思路点拨】考虑转化为整式不等式。
解：不等式可化为．
1）当a=1时，原不等式的解集为；
2）当时，原不等式的解集为；
3）若，则原不等式可化为，
故当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【总结升华】分式不等式应移项、通分，转化为整式不等式。这是解决分式不等式的基本方法和思路。
举一反三：
【变式1】己知三个不等式：① ② ③
(1)若同时满足①、②的值也满足③，求m的取值范围；
(2)若满足的③值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围。
解：记①的解集为A，②的解集为B，③的解集为C。
解①得A=（-1，3）；解②得B=
（1）因同时满足①、②的值也满足③，ABC
设，由的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足
（2）因满足③的值至少满足①和②中的一个，因
此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而
【变式2】已知函数
（1）若的图像与x轴恰有一个公共点，求a的值；
（2）若方程至少有一个正跟，求a的范围。
解：（1）当时函数为一次函数，符合题意；
当时，函数为二次函数，则
，所以
综上，.
（2）当时，为一次方程，不符合题意；
当时， 为二次方程，显然
所以时有一正一负根，符合题意；
当时，
综上，a的范围.
类型二：不等式证明
例2．已知△ABC的三边长是，且为正数，求证：.
【思路点拨】寻找各项的统一性，可以从函数单调性方面来考虑。
证明：设，易知是的递增区间
，即
而
【总结升华】函数是高中数学的重要知识，很多问题都可以从函数的角度来思考和分析。
举一反三：
【变式1】设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.
(1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；
(2)求证：f(x)在R上单调递减；
(3)设集合A={ (x，y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围.
证明：令m＞0，n=0得：f(m)=f(m)·f(0).∵f(m)≠0，∴f(0)=1
取m=m，n=－m，(m＜0)，得f(0)=f(m)f(－m)
∴f(m)=，∵m＜0，∴－m＞0，∴0＜f(－m)＜1，∴f(m)＞1
(2)证明：任取x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)=f(x1)－f［(x2－x1)+x1］
=f(x1)－f(x2－x1)·f(x1)=f(x1)［1－f(x2－x1)］，
∵f(x1)＞0，1－f(x2－x1)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)在R上为单调减函数.
(3)由，由题意此不等式组无解，
数形结合得：≥1，解得a2≤3
∴a∈［－，］
类型三：不等式与相关知识的融合
例3.已知函数(其中常数m>0)
(1)当m=2时，求的极大值.
(2)时谈论在区间上的单调性
(3)当时，曲线上总存在相异两点，，使得曲线在点处的切线互相平行，求的取值范围.
【解析】(1)当m=2时，
令可得或
令解得
在和上单调递减，在单调递增
故的极大值为
(2)
= 1 \* GB3 ①当时，则故，；时，
此时在上单调递减，在上单调递增.
= 2 \* GB3 ②当时，故有恒成立，
此时在上单调递减
= 3 \* GB3 ③当时，
故时，；时
此时在上单调递减，在上单调递增.
(3)由题意，可得
即所以
由不等式性质可得恒成立又
即对恒成立
令易知在上单增
故
的取值范围为
举一反三：
【变式】已知，对，恒成立
(1)求的最小值；
(2)求的取值范围.
【解析】(1) 且
当且仅当时等号成立，又即时，等号成立
故的最小值为9.
(2)因为对使恒成立
所以
当时，
当时，
当时，
综上可知的取值范围是.
类型四：不等式相关应用题
例4．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？
（半个椭圆的面积公式为s=柱体体积为：底面积乘以高，，本题结果均精确到0.1米）
【思路点拨】显然本题是一个椭圆模型的实际问题，应该考虑从椭圆方面入手。
【解析】1)建立如图所示直角坐标系，则P（11，4.5）
椭圆方程为：
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程得
故隧道拱宽约为33.3米
2)由椭圆方程
故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.
【总结升华】在解决实际应用问题中，模型识别很重要，需要从题目给出的已知条件中辨别出正确的数学模型。
【巩固练习】
1．首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是 ( )
(A) (B) (C) (D)
2．在中，若，则的形状是（ ）
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C) 直角三角形 (D)正三角形
3.“”是“函数是增函数”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
4.在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则 （ ）
（A）（B）（C）（D）
5.已知奇函数恒有，则一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7．函数的定义域为
8．如果函数的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是
9. 若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
10. 已知直线和A（1，4），B（3，1），若直线和线段AB相交，则的取值范围是

11.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，f(1)＝1，且当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有
(1)若f(x)≤m2-2m+1，对所有x∈[-1，1]，恒成立，求实数m的取值范围；
(2)解不等式。
12.已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
（2）设a>0,数列满足，若对成立，试求a的取值范围。
13.若函数的值域为，求实数的取值范围。
14.设函数的值域为，求的值。
15. 设解不等式：
【参考答案与解析】
1 D，提示： ，
2B提示：
3.A 4. C 5. C 6. C
7.
8. 提示：
9.解析：先由已知不等式中分离出待求变量（或含变量的关系式）即：为了探求的最小值，现不妨设，由于是于是为所求。
10. 方法一（数形结合）由直线可知直线过定点，斜率为，当直线绕定点逆时针由点B旋转到点A时，其斜率由增大到而
方法二（构建不等式求解）线段AB所在直线的方程为由方程组解得交点的横坐标
11. 解:（1）是定义在[-1，1]上的奇函数，
任取且则，
函数f(x)在[-1，1]上是增函数。
f(x)≤m2-2m+1，对所有x∈[-1，1]，恒成立等价于f(x)max≤m2-2m+1，
又函数f(x)在[-1，1]上是增函数，
.
故实数m的取值范围是：。
（2）原不等式
不等式的解集为。
12. 解：（1），又，
是公比为的等比数列，
（2），
现证：时，对成立。
n=1时，成立;
假设n=k(k≥1)时，成立，则，
即n=k+1时，也成立，时，
a的取值范围是。
13.解：令，则须取遍所有的正实数，即，
而
14. 解：令
显然可以成立，当时，
而，是方程的两个实数根
所以。
15. 解：