（通用）2026高考数学重难点讲练－导数与函数的综合(基础)+巩固练习（附解析）

这是一份（通用）2026高考数学重难点讲练－导数与函数的综合(基础)+巩固练习（附解析），共21页。
1.函数在一点处导数的几何意义、切线的斜率、方程等常作为基础考察；
2.基本导数公式，两个函数和、差、积、商的求导法则要熟记并应用，
5.理科试卷中往往考察复合函数的求导法则；
6.函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，此为重点内容，也是重点考察的内容；
7.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，函数的极大值、极小值、最大值、最小值是考查重点；
8. 正确计算定积分，利用定积分求面积;
9．分类讨论的数学思想是本部分内容的重点考查内容，应熟练掌握这种数学思想。
【知识升华】
考点一、求切线方程的一般方法，可分两步：
（1）求出函数在处的导数；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。
要点诠释：
求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
考点二、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。
要点诠释：
①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。
②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
③要关注导函数图象与原函数图象间关系。
（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求导数；
(3) 在定义域内解不等式；
(4) 确定f(x)的单调区间。
考点三、求函数的极值与最值
（1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作y极小值=f(x0)。
极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
要点诠释：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。
⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)
考点四、求函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。
（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
考点四、定积分计算、微积分基本定理
1.定积分的性质
（1）（为常数），
（2），
（3）（其中），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数在区间上是奇函数，则；
若函数在区间上是偶函数，则.
2.微积分基本定理：.
【典型例题】
类型一：导数的几何意义
例1．已知曲线C：y=x2，点M(1,1)在C上
(1)求M点处切线的斜率及切线方程；
(2)求过点P(2,2)与曲线y=x2相切的直线方程。
【思路点拨】点M在C上，而点P不在曲线C上。
【解析】(1)由y=x2y'x=2xy'|x=1=2k=2
又点M为切点，M在曲线上，
则过点贩C的切线方程为：y-1=2(x-1) 即2x-y-1=0
(2)设切点为，则切线斜率为
又，则，
所求切线方程为：
【总结升华】
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线在点的切线，即在曲线上，且曲线在该点的切线的斜率就是函数在P点的导数。因此切线方程为（点斜式）：.
（2）关于曲线过某一点的切线
求曲线过点的切线，可以分两种情况：
= 1 \* GB3 ①切点为时，方法同（1）
= 2 \* GB3 ②切点不为时，可以设切点为，然后列出方程及，解得切点为后方法同（1）；
举一反三：
【变式1】曲线在点处的切线方程是_________。
【答案】3x-4y+4=0.
【变式2】已知曲线，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点的切线方程。
【解析】∵， 令，得x=4,
将x=4代入中得y=5
∴切点坐标是(4,5)， ∴切线方程为：.
即：x-2y+6=0。
类型二：函数的单调区间
例2．是否存在这样的k值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，∞）上递增，若存在，求出这样的k值；
【解析】
由题意，当时，当时，
∴由函数的连续性可知，即
整理得，，解得或
验证：
（Ⅰ）当时，
∴若，则；若， 则， 符合题意；
（Ⅱ）当时，
，
显然不合题意。
综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，∞）上递增。
举一反三：
【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。
【解析】
①若恒成立，
此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为(-∞，+∞)，不合题意；
②若
综上，a0时，证明不等式：
【证明】设
上单调减函数
成立
类型三：函数的极值
例3．求函数的极值。
【解析】，令,得
列表：
∴y极小.
举一反三：
【变式】求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值。
【解析】
令，解得x1=-1，x2=3
由于x