湖南省株洲市渌口区第五中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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A．1B．2C．3D．23
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，已知a=2，b=3，C=30°，
由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcsC=22+32−2×2×3×32=1，
所以c=1.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合余弦定理得出c的值.
2．（2024高一下·渌口期末）设集合A={x|x=2k+1,k∈Z},a=5，则有（ ）
A．a∈AB．−a∉AC．{a}∈AD．{a}⊇A
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：因为a=5=2×2+1∈A．
故答案为：A
【分析】利用已知条件和元素与集合的关系判断方法，从而找出正确的选项.
3．（2024高一下·渌口期末）如图，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞A做直线往复运动，连杆AB=4cm，曲柄CB=1cm，当曲柄CB从初始位置CB0按顺时针方向旋转60°时，活塞A从A0到达A的位置，则A0A=（ ）
A．11−612cmB．11−512cmC．9−612cmD．9−512cm
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：连接BB0，
因为∠BCB0=60°，所以△BB0C为等边三角形，
故∠BB0A=120°，BB0=BC=1cm，
在△ABB0中，AB=4cm，由余弦定理得cs120°=B0A2+B0B2−AB22B0A⋅B0B，
即B0A2+1−162B0A=−12，解得B0A=−1±612cm，负值舍去，
则A0A=A0B0−AB0=4−B0A=4−−1+612=9−612cm.
故答案为：C.
【分析】作出辅助线，根据题意和等边三角形的性质，从而得到∠BB0A=120°，BB0=BC=1cm，再由余弦定理得到B0A的值，从而作差得到A0A的值.
4．（2024高一下·渌口期末）函数y=11−x的图象与函数y=2sinπx−2≤x≤4的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令fx=11−x，f1+x=11−1+x=−1x,f1−x=11−1−x=1x，
所以f1+x=−f1−x，所以fx关于1,0对称.
令gx=2sinπx，g1=2sinπ=0，所以gx关于1,0对称.
画出函数y=11−x的图象与函数y=2sinπx−2≤x≤4的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有8个交点，且所有交点的横坐标之和等于82×2=8.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数图象的对称性以及函数y=11−x的图象与函数y=2sinπx−2≤x≤4的图象，从而得出函数y=11−x的图象与函数y=2sinπx−2≤x≤4的图象所有交点的横坐标之和.
5．（2024高一下·渌口期末）已知sin(α+π3)=12，则sin(2α+π6)的值为（ ）
A．12B．−12C．－32D．32
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】∵sin(α+π3)=12
∴sin(2α+π6)=sin[2(α+π3)−π2]=−cs2(α+π3)=−[1−2sin2(α+π3)]
=2sin2(α+π3)−1=2×(12)2−1=−12，
故答案为：B
【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.
6．（2024高一下·渌口期末）记max{p，q}=p，p≥qq，q>p，设函数f(x)=max{ex−2−1，−x2+mx−12}，若函数f(x)恰有三个零点，则实数m的取值范围的是（ ）
A．(−2，2)B．(−∞，−2)∪(2，94)
C．(−∞，−94)∪(2，94)D．(−∞，−2)∪(2，+∞)
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设g(x)=ex−2−1，h(x)=−x2+mx−12，
则函数g(x)在(−∞，+∞)上递增，且g(2)=0，且函数h(x)至多有两个零点，
当x>2时，g(x)>0，
若函数f(x)在(2，+∞)上有零点，则h(x)在(2，+∞)上有零点，不妨设零点为x0，则x0>2，
此时g(x0)>h(x0)=0，则f(x0)=max{g(x0)，h(x0)}=g(x0)>0，与题意矛盾，
故函数f(x)在(2，+∞)上无零点.
二次函数h(x)图象的对称轴为直线x=m2，
若m≤0，当Δ=m2−2>0，解得mb>0，a+3b=1，可得0