2021-2022学年湖南省株洲市醴陵市第五中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年湖南省株洲市醴陵市第五中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．以下各几何体中， 是棱柱的是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定的条件，利用棱柱的定义直接判断作答.

【详解】对于A，几何体是三棱锥，不是棱柱，A不是；

对于B，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；

对于C，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；

对于D，几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，是棱柱，D是.

故选：D

2．已知点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解作答.

【详解】因为点，所以.

故选：B

3．已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量基底的意义，逐项判断即可作答.

【详解】是平面内两个不共线的向量，

对于A，，即向量共线，A不是；

对于B，，即向量共线，B不是；

对于D，，即向量共线，D不是；

对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是.

故选：C

4．在复平面内，复数 对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用虚数单位i的意义求出复数z即可判断作答.

【详解】依题意，复数，所以复数对应的点在第三象限.

故选：C

5．已知球 的表面积为 ， 则它的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.

【详解】球的表面积为 ，设球O的半径为R，则有，解得，

所以球的体积为.

故选：A

6．已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数 和 的值分别是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用复数的概念列式计算作答.

【详解】，复数 的实部和虚部分别为 和 4，

因此，解得，

所以实数 和 的值分别是.

故选：D

7．设是空间中的两条直线，是空间中的两个平面， 下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则与相交

C．若，则

D．若，则与没有公共点

【答案】D

【分析】ABC可举出反例，D选项可利用反证法得到证明.

【详解】A选项，若，则，或与异面，

如图1，满足，但与不平行，A错误；

B选项，若，则与平行或相交，

如图2，满足，但与平行，B错误；

C选项，若，则，或与异面，

如图3，满足，但不满足，C错误；

D选项，结合C选项的分析可知：若，则，或与异面，

即与没有公共点，

假设与有公共点，设公共点为，则，则，但，故矛盾，假设不成立，即与没有公共点，D正确.

故选：D

8．在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合平行四边形性质，用表示出即可求解作答.

【详解】平行四边形的对角线与交于点，如图，

则，而点为的中点，

有，由得：，

则有，

所以.

故选：C

二、多选题

9．已知 中，内角所对的边分别为， 且， 则的值可能是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解判断作答.

【详解】在中，，由余弦定理得：

，即，解得或，

所以的值可能是1或2.

故选：AD

10．下列四个命题中，真命题为（    ）

A．若复数满足，则 B．若复数满足，则

C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则

【答案】AB

【分析】根据复数实部和虚部特点，利用特值法依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，若复数，设，其中，则，则选项A正确；

对选项B，若设，其中，且，则，则选项B正确；

对选项C，若，设，则，但，则选项C错误；

对选项D，若复数，满足，设，，则，

而，则选项D错误.

故选：AB.

11．正四棱雉 的底面边长为 ， 外接球的表面积为 ， 则正四棱雉 的高可能是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】作图，根据图中几何关系求解.

【详解】依题意外接球的球心可能在锥内，也可能在锥外，如果在锥内如下图：

其中 是正方形ABCD的中心，O是外接球的球心，

∵ 是正四棱锥， 平面ABCD， ，

设外接球的半径为R，则 ， ，

在 中， ， ；

如果在锥外，如下图：

；

故选：CD.

12．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答.

【详解】

对于A，，，与不垂直，A不正确；

对于B，，有，B正确；

对于C，，有，C不正确；

对于D，，由选项C知，，D正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知复数,则_______

【答案】5

【分析】根据复数模的计算公式，即可求解，得到答案.

【详解】由题意知，复数，则，

故答案为5.

【点睛】本题主要考查了复数的模的计算，其中解答中熟记复数的模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于容易题.

14．如图， 是水平放置的斜二测直观图， 其中，， 则原图形 的面积是 _____________．

【答案】

【分析】根据图形可知：在中，，再利用斜二测画法可知：，，进而可求的面积.

【详解】因为与轴重合，与轴重合，所以，

所以在中，，故为直角三角形.

又由斜二测画法可知：在中，，，

所以，

故答案为：.

15．若复数满足，则 ___________．

【答案】##

【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求解作答.

【详解】复数满足，所以.

故答案为：

16．已知 ， 且 ， 则 与 的夹角 的余弦值 ______________________________．

【答案】##-0.5

【分析】利用，得到，根据，列出方程，可求出.

【详解】，，得

，

解得

故答案为：

四、解答题

17．如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积．

【答案】.

【分析】利用四面体表面积的意义直接计算作答.

【详解】因为四面体的各棱长均为，于是得四面体的四个面是全等的正三角形，

所以四面体的表面积.

18．若复数 为纯虚数， 求实数的值．

【答案】.

【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.

【详解】因为复数 为纯虚数，又，

于是得，解得，

所以实数的值为.

19．如图，在棱长为的正方体中，求三棱锥的体积．

【答案】.

【分析】根据正方体的结构特征，利用锥体体积公式求出体积作答.

【详解】在棱长为的正方体中，是三棱锥底面上的高，

所以三棱锥的体积.

20．如图， 正方形 中， 是 中点， 是 中点， 与 交于点 ， 求 的余弦值．

【答案】

【分析】运用平面向量数量积的方法求解.

【详解】设正方形ABCD的边长为2， ，

则有 ，  ，

，  ；

综上， .

21．已知复数 是方程 的一个根， 求 和 的值．

【答案】p=6，q=10

【分析】根据一元二次方程的根的性质和韦达定理求解.

【详解】由一元二次方程根的性质可知： 是方程 的另一个根，

由韦达定理知： ；

综上， .

22．在中，内角所对的边分别为，且．

(1)求．

(2)若 ， 求．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解作答.

（2）利用（1）结合余弦定理，求出，再利用三角形面积定理求解作答.

【详解】（1）在中，由正弦定理及得：，

即有，而，有，因此，又，

所以.

（2）由（1）知，，又，由余弦定理得，

，解得，

所以的面积.