湖南省株洲市渌口区第五中学2024-2025学年高一下学期第三次月考 数学试题

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时量:120分钟 满分:150分
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知z=2-i，则( )
A.6-2i B. 4-2i C.6+2i D. 4+2i
【答案】C
【解答】解：∵z=2−i，∴z=2+i，∴z(z+i)=(2−i)(2+i+i)=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i，
故选C．
已知平面α⊥平面β，直线，则“”是“”的( )
充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：∵平面α⊥平面β，直线l⊄α，当l⊥β时，则一定有l/​/α；
反之，当l/​/α时，l⊥β不一定成立;则“l/​/α”是“l⊥β”的必要不充分条件．
故选：B．
3．若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】由，得，
即，得，所以，
所以.
故选：D.
4. 在正四面体ABCD中，点E,F,G分别为棱BC,CD,AC的中点，则异面直线AE,FG所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解答】解：连接DE ，设正四面体ABCD 的棱长为2，
因为G，F 分别为AC，CD 的中点，则GF // AD ，所以异面直线AE ，FG 所成角为 ∠DAE (或其补角)，
在 ▵ADE 中，则 AE=DE= 3,AD=2 ，
由余弦定理可得 cs∠DAE=AD2+AE2−DE22AD⋅AE=4+3−32×2× 3= 33 ，
所以异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为 33 ．
故选：A．
5．已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．3
【答案】A
【解析】因为向量共线，所以，解得，
又，所以，，当且仅当时，等号成立.
故选：A.
蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】 取的中点为，连接，
因为平面，而平面，故，
故.
同理，而，平面，
故平面，而平面，故，
故，
综上，为三棱锥外接球的球心，
而，故外接球的半径为3，
故球的表面积为，
故选：C
7．已知函数fx的定义域为R，fx+y=fx+fy−2，则( )
A. f0=0B. 函数fx−2是奇函数
C. 若f2=2，则f2024=−2D. 函数fx在0,+∞单调递减
【答案】B
【解答】
解：对于A，令x=y=0，可得f0=f0+f0−2，解得f0=2，故A错误；
对于B，令y=−x，可得f0=fx+f−x−2，又f0=2，
则f−x−2=−fx+2=−fx−2，所以函数fx−2是奇函数，故B正确；
对于C，令y=2，得fx+2=fx+f2−2=fx，则fx是周期函数，周期为2，所以f2024=f0=2，故C错误；
对于D，令x=x1，y=x2−x1，且x2>x1>0，则fx1+x2−x1=fx1+fx2−x1−2，
即fx2−fx1=fx2−x1−2，而x>0时，fx与2大小不定，故D错误．
故选：B．
8. 如图，将绘有函数的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，此时A,B之间的距离为，则=( )
A. B. C． D．
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A. 设a，b为非零向量，若,则a，b的夹角为锐角
B. 设a，b，c为非零向量，则
C. 设a，b为非零向量，若，则
D. 若点G为△ABC的重心，则
10．在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且c−b=2bcsA，则下列结论正确的有( )
A. A=2B
B.
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
【答案】ABD
解：∵c−b=2bcsA，∴由正弦定理可得sinC−sinB=2sinBcsA，
又sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，∴sinAcsB+csAsinB−sinB=2sinBcsA，
即sinAcsB−sinB=sinBcsA，∴sinAcsB−csAsinB=sin(A−B)=sinB，
∵A，B，C为锐角，∴A−B=B，即A=2B，故选项A正确；
∵0