湖南省株洲市2023~2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷[附解析]

这是一份湖南省株洲市2023~2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷[附解析]，文件包含数学试题卷docx、高一数学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设 z₁=2+i,z₂=3+4i,则 |z1z2|=
A. 15 B.55 C. 5 D.5 5
2.已知正方形ABCD 的边长为2，用斜二测画法画出它的直观图，则它的直观图的面积为
A. 2 B.4 C.2 D.162
3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论正确的是
A. A 与 B 相等 B. A 与 B 互斥
C.A 与B 的样本点个数不相等 D. A 与B 相互独立
4.已知θ为第三象限角,向量a=(sinθ,1),b=(csθ,2),且a 与b+2a共线,则 sinθ的值为
A.55 B.255 C.−55 D.−255
5.设m、n为空间中两条不同直线，α、β为空间中两个不同平面，下列命题正确的是
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B.若m 不垂直于α,n⊂α,则m 必不垂直于n
C.若m∥α,α∥β,则m∥β
D.若m、n是异面直线,m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α,则α∥β
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6.端午节是每年的五月初五，是我国汉族人民的传统节日，这一天必不可少的活动逐渐演变为吃粽子，赛龙舟，熏艾叶，挂菖蒲等.某学校组织学生进行包粽子比赛，包法有很多种，最常见的是三角粽和四角粽.已知小明只会这两种包法，每次包三角粽的概率为 34，每次包四角粽的概率为 14.包一个三角粽记1分，包一个四角粽记2分，每次的包法互不影响，则小明恰好获得3分的概率为
A.5164 B.4164 C.2764 D. 616
7.设△ABC 的外心为O,且 2AO=AB+AC,|AC|=|AO|,则向量 CA在向量 BC方向上的投影向量为
A.14BC B.34BC C.−14BC D.−34BC
8.在锐角△ABC中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=c—2acsB,则 12sin2A4sinA−sinC的取值范围为
A.22+∞ B.22+∞ C.223 D.(2 2 ,3)
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9.已知z=3-2i是关于x 的方程 x²+px+q=0pq∈R的一个根，下列说法正确的是
A. z=3-2i的实部为3,虚部为-2i
B. p=-6
C. q=13
D.若复数z₁ 满足 |z₁+z|=1,则|z₁|的最大值为 1+13
10.已知函数 fx=sin2x−3cs2x+3,则
A.f(x)的单调递增区间是 −π12+kπ512π+kπ,k∈Z
B. y=f(x)的图象可由函数y=2sin2x 的图象向右平移 2π3个单位，再向上平移3个单位得到
C. y=f(x)的图象关于直线 x=11π12对称
D.当 x∈−π12π2时,f(x)的取值范围是[1,5]
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11.在圆锥 SO中,C 是母线SA 上靠近点S的三等分点,SA=l,底面圆O 的半径为r,圆锥 SO 的侧面积为12π，则下列说法正确的是
A.当r=3时，过顶点S 和两条母线的截面三角形的最大面积为 37
B.当l═6时，从点 A 绕圆锥侧面一周到点 C 的最小长度为 213
C.当l=6时，圆锥 SO 的内切球的表面积为8π
D.当l=6时,棱长为 533的正四面体可以在圆锥SO 内任意转动
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分.
12.样本数据17,13,22,16,11,20,14,24的80%分位数为 .
13.如图，“六芒星”是由两个边长为3c m的正三角形组成，中心重合于点O，且三组对边分别平行，现将三角形 DEF 往垂直于平面ABC 的方向移动2cm，则此时空间几何体ABCDEF 的外接球的表面积为 cm².
14.设函数f(x)=(x-a) ln(x+b),若 f(x)≥0,且ab>0,则 1ab+ba的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广大客户对小米SU7的评价，令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按[20，30)，[30，40)，[40,50),[50,60),[60,70]分组,并绘制出了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计样本数据中用户年龄的众数与平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)销售部从年龄在[30，40)，[60，70)内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率.
16.(15分)如图,在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AD⊥DC,AD=AB=2,DC=2AB,M为AD 的中点,N 为DC 上靠近D 的四等分点,直线MC 与BN 交于点 P.
(1)求∠CPN 的余弦值;
(2)若 CP=λCM,求实数λ 的值.
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17.(15分)在△ABC中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,向量. m=a2b+c,n=csCcsA,且m⊥n,D 为线段BC 上一点、
(1)求角 A 的大小;
(2)若AD 为角A 的角平分线,a=7,△ABC 的周长为15,求 AD 的长.
18.(17分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA⊥平面ABCD,,且PA=AD=2,E 为线段 PD 上的动点.
(1)若E 为PD的中点,求三棱锥 D—AEC 的体积;
(2)若 ED=2PE,问AB 上是否存在点M，使得 PM‖平面AEC?若存在，请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由；
(3)求平面 PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.
19.(17分)已知函数 fx=alnx−x+1x−1,a>0.
(1)写出 f(x)的单调区间，并用单调性的定义证明；
(2)若 fe=0,解关于x 的不等式. fx>0;
(3)证明:f(x)恰有两个零点m,n(m2.
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