（预习）人教A版高二数学暑假自主学习讲义07 直线的倾斜角与斜率（2份，原卷版+解析版）

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1直线的倾斜角
(1) 定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0∘.
解析
① 每条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等；
② 倾斜角表示直线的倾斜程度.
【例】如图，直线l的倾斜角为 ( )
A．60° B．120° C．30° D．150°
解析 105°+45°=150°，选D.
(2) 范围
直线l倾斜角α∈[0∘ , 180∘).
l与x轴垂直时， α=90∘.
2 直线的斜率
(1) 定义
直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作k=tan α(α≠ 90∘) .
当直线l与x轴平行或重合时，α=0∘ ， k=tan 0∘=0;
当直线l与x轴垂直时， α=90∘ , k不存在.
(2) 倾斜角α与斜率k之间的关系
k=tan α，α∈[0∘ , 180∘).
【例】 若直线l的斜率为−1，则其倾斜角是 .
解析 ∵k=tanα=−1，∴α=3π4.
(3) 斜率公式
经过两点P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2)(x1≠ x2)的直线的斜率公式是 k=y2−y1x2−x1.
使用斜率公式的时候要注意x1≠ x2的前提条件.
【例】 已知点A(1,5)，B(2,m)，而直线AB的斜率为−2，则m=____．
解析 直线AB的斜率kAB=5−m1−2=m−5=−2，所以m=3.
(4)求斜率的方法
(i)已知直线上两点，根据斜率公式k==y2−y1x2−x1(x1≠ x2)求斜率；
(ii)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k=tan α(α≠ 90∘)来求斜率.
(5) 斜率的几何意义
形如y−bx−a的代数式可以理解为过点M(a,b)与点N(x,y)直线的斜率kMN.
如 y+2x−1的代数式可以理解为过点M(1,−2)与点N(x,y)直线的斜率kMN.

【题型一】 直线倾斜角与斜率的概念
【典题1】 （多选）下列叙述正确的是( )
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．直线倾斜角α的取值范围是0°≤α0，∴k3>k1>k2．故选：A．
4.若过点(a,－2)和(4,a)的直线斜率不存在，则a=__________．
答案 4
【题型二】 直线倾斜角与斜率
【典题1】 已知点A(－m,5)，B(1,3m)，且直线AB的倾斜角为135°，则实数m=__________．[
解析 kAB=3m−51+m，kAB=tan135°=−1，则3m−51+m=−1，解得m=1.
【典题2】 若直线l的斜率k的变化范围是[－1,3]，则它的倾斜角的变化范围是 .
解析：设直线的倾斜角为α，则α∈[0,π)，由－1≤k≤3，即－1≤tanα≤3，∴α∈[0,π3]∪[3π4,π)；
【典题3】设点A(2,－3),B(－3,－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围为 .
解析 设直线l与线段AB交于点C，当PC⊥x轴时直线l与线段AB交于点D，如图所示，当点C在AD上运动时，所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 当点C在DB上运动时，k≤kPA，即 k≥1+21+3=34 或 k≤1+31−2=−4，∴k≥34或k≤－4，即直线的斜率的取值范围是k≥34或k≤－4．
变式练习
1.若直线经过两点A(m,2)，B(－m,2m－1)且倾斜角为45°，则m的值为( )
A．34 B．1 C．2 D．12
答案 A
解析 经过两点A(m,2)，B(－m,2m－1)的直线的斜率为k=2m−1−2−m−m．又直线的倾斜角为45°，∴2m−1−2−m−m=tan45°=1，即m=34．故选：A．
2.斜率为2的直线经过点(3,5)，(a,7)，(－1,b)三点，则a,b的值是( )
A．a=4，b=0 B．a=－4，b=－3
C．a=4，b=－3 D．a=－4，b=3
答案 C
3. 已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为32，则BC的斜率可能为( )
A．33B．34C．−35D．32
答案 C
解析 设AB的倾斜角α，BC的倾斜角β，则β=α+π3或β=2π3+α，tanα=32，当β=α+π3时，tanβ=tan(α+π3)=32+31−32×3=−33，当β=2π3+α时，tanβ=tan(α+2π3)=32−31+32×3=−35．
故选：C．

4.直线l经过点A(2,1),B(3,t2)，(−2≤t≤2)，则直线l倾斜角的取值范围是 .
答案 [0,π4]∪[3π4,π)
解析 ∵直线l经过点A(2,1),B(3,t2)，∴kl=t2−13−2=t2−1，∵−2≤t≤2，∴0≤t2≤2，
则t2－1∈[－1,1]，设直线l的倾斜角为θ(0≤θ