湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题（Word版附解析）

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命题单位：武钢三中数学学科组
审题单位：圆创教育研究中心 武汉市第一中学
本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.
考试时间：2025年6月26日下午14:00—16:00
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再由补集运算求出，最后交集运算即可.
【详解】集合A=x∣2x>4=x∣x>2，所以，
且，
所以.
故选：D
2. 已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案.
【详解】根据题意，或，
是的充分不必要条件，
所以且，
则
故选：D
3. 某校高二年级有1000名同学，某次数学期中考试成绩，则数学成绩在120分以上人数约为（ ）
（参考数据：随机变量，则，）
A. 159B. 318C. 23D. 46
【答案】A
【解析】
【分析】应用正态分布三段区间的概率及其对称性求，进而估计人数.
【详解】由题设，则，
所以数学成绩在120分以上人数约为人.
故选：A
4. 当今，人工智能技术飞速发展，软件是我国一款基于人工智能深度求索软件.现将单词中的字母重新排列，则仅有2个字母相邻而另外2个字母不相邻的不同排法种数为（ ）
A. 240B. 720C. 480D. 1440
【答案】B
【解析】
【分析】先将除字母外的四个字母排序，则从5个空中选一个放两个，再从剩下的4个空中选2个放另外两个，利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】先将除字母外的四个字母排序有种排法，
则从5个空中选一个放两个，有种排法，
再从剩下的4个空中选2个放另外两个，有种排法，
根据分步乘法计数原理共有种排法，
故选：B.
5. 某产品的广告费用与销售利润的统计数据如下表，由表中数据用最小二乘法求得广告费用与销售利润满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ）
A. 与有正相关关系
B.
C. 当时，残差为-0.5
D. 当广告投入金额为10万元时，该产品的销售利润大约为29万元
【答案】C
【解析】
【分析】由回归系数，可判定A正确；求得样本中心，代入回归直线方程，求得，可判定B正确；当时，求得，求得残差值，可判定C错误；令，求得万元，可判定D正确.
【详解】对于A中，由回归方程，可得回归系数，所以与有正相关关系，所以A正确；
对于B中，由表格中的数据，可得，，所以数据的样本中心为，
将代入回归方程，可得，解得，所以B正确；
对于C中，当时，可得，所以残差为，所以C错误；
对于D中，当广告投入金额为10万元时，可得万元，所以D正确.
故选：C.
6. 从中随机选择三个不同的数组成一个三位数，则该数能被3整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.
【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；
要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，
所以数字为1，2，3时，有种；
数字为1，3，5时，有种；
数字为2，3，4时，有种；
数字为3，4，5时，有种；共24种.
所以该三位数能被3整除的概率为.
故选：B
7. 为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出结果.
【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为，
市民开私家车出行迟到的概率为，
市民骑行或步行出行迟到的概率为，
则这名市民迟到的概率为，
故所求的概率为.
故选：C.
8. 已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】可先求出函数的单调性与极值，再令，将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，最后结合函数图象求解实数的取值范围．
【详解】已知，其定义域为，
则，
令，即，则，解得．
当或时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
所以在处取得极小值，也是最小值，．
令，则，
函数恰有个不同的零点，
即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，，
且其中一个根为，另一个根．
则，解得 .
实数的取值范围是．
故选：A．
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 已知随机变量服从正态分布，若，则
B. 两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于1
C. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高
D. 一组数的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差不变
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正态分布的概率计算、线性相关系数意义、正态分布参数的意义、方差的计算公式可依次判断各选项.
【详解】对于A，若，则，则，故A错误；
对于B，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1，故B正确；
对于C，根据正态分布参数的意义，当不变时，越小，表示随机变量的分布越集中，
则该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故C正确；
对于D，设的方差为，若再插入一个数，则平均数仍为，
则这个数的方差，故D错误.
故选：BC.
10. 甲袋中有3个黑球，2个白球，乙袋中有5个黑球，3个白球.这些球大小、形状完全相同.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，记事件为“取出的是黑球”，事件为“取出的是白球”；再从乙袋中随机不放回取出两个球，记事件B为“取出的两球都是黑球”，事件C为“取出的两球为一黑一白”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知写出对应概率值，再应用条件概率公式、全概率公式计算相关概率判断各项正误.
【详解】由题设，，，，，，
所以，，.
故选：ABD
11. 已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】设，求得为奇函数，且，得到是周期为4的周期函数，由，求得，结合，可判定A正确；由，求得，可判定B错误；求得，令，求得，再由，结合，可判定C正确；由，得到，得到，结合，可判定D正确.
【详解】由题意，设，可得函数的定义域为，
则，所以函数为奇函数，
又由，可得，即，
又由，则有，即，
可得，所以是周期为4的周期函数，
对于A中，由，可得，
又由，即，所以，所以A正确；
对于B中，由，可得，
即，所以B不正确；
对于C中，由，可得，
令，可得，解得，
又由，可得，所以是周期为4的周期函数，
可得，所以C正确；
对于D中，由，则由，，
则有，即，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在的展开式中，含项的系数为__________.
【答案】30
【解析】
【分析】首先式子变形为，再根据项的生成过程，结合组合数公式，即可求解.
【详解】，
中含项，
中含项为中含的项，为，
综上可知，含项的系数为.
故答案为：30
13. 分会场模式是央视春晚的长期传统，旨在扩大节目覆盖面，增加观众互动性，同时展示各城市独特的历史人文亮点，今年央视春晚的四个分会场分别是武汉､重庆､无锡和拉萨，中央电视台选派6名记者去四个分会场进行现场报道，每个分会场至少分配一名记者，则所有不同的分配方案有__________种.
【答案】1560
【解析】
【分析】先将6名记者分成4组，再分配到四个会场，利用分步分类计数原理即可得解.
【详解】先将6名记者分成4组，有和两种分法，
共种，
再将4组分配到四个会场，共种，
则有种.
故答案为：1560
14. 2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________.
【答案】##
【解析】
【分析】问题化为9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种分组，且并应用古典概型的概率求法求对应概率，进而求期望.
【详解】若三个年级人数分别为，则，又每个年级至少一个名额，
所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种，
由题意，则，且各年级人数为，
其中的情况有一种情况，即，
的情况有、、、、、、、、九种情况，即，
所以，
综上，.
故答案为：
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 为了刺激消费，拉动经济增长，便于家庭团聚和旅游出行，2025年五一黄金周假期调休时间为5月1日至5日.假期期间，某地游客较平时出现了大幅增长，该地旅游部门统计了五天假期游客的数量如下表：
（1）计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程.
参考公式：
参考数据：.
【答案】（1）0.98，可以认为两者的相关性很强.
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求和，再根据相关系数公式，计算数据，即可求解；
（2）根据（1）的结果，求解参考公式的数据，即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以
，
，
，
所以，
由此可以认为两者的相关性很强.
【小问2详解】
由（1）知.
所以.
因为，
所以回归方程为.
16. 2025年1月1日起，在全国实施渐进式延迟法定退休年龄政策，通过延长劳动者的工作年限，相应缩短领取养老金的年限，从而在一定程度上减轻养老金的支付压力，有助于养老制度的可持续发展.为了了解民众对这一政策的支持态度，某社保部门随机抽取了100位市民进行问卷调查.调查后，结果统计如下表：
（1）请根据列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为民众对延迟退休政策的支持态度与性别有关联？
（2）现从上述样本支持的市民中，按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人作进一步的详细调查，设抽取的3人中女性的人数为，求的分布列和数学期望.
附：.
【答案】（1）认为市民是否支持延迟退休的态度与性别有关联
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据的列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，得到的所有可能取值为，结合超几何分布的概率，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的计算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：零假设：市民是否支持延迟退休的态度与性别无关联
可得，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为市民是否支持延迟退休的态度与性别有关联，此推断犯错的概率不大于.
【小问2详解】
解：由题意知从支持的70位市民中分层抽样取得7人中，男性有3人，女性有4人，
所以的所有可能取值为，
则，
，
所以的分布列为
所以.
17. 某单位食堂有两个餐厅，员工每天中午必须在其中一个餐厅就餐.员工小王第一天午餐时随机选择一个餐厅，如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.7；如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.4.
（1）小王第二天选择餐厅就餐的概率；
（2）若餐厅拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小王从这些菜品中随机选择3种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值；
（3）设员工小王第天选择餐厅就餐的概率为，求.
【答案】（1）0.45
（2）最大值为，或4.
（3）
【解析】
【分析】（1）抽象为全概率公式，结合题意，代入数据，即可求解；
（2）首先根据组合数公式，结合古典概型概率公式，得到，设最大，则，列式求解；
（3）首先根据全概率公式，列出的递推关系式，利用构造法求通项公式.
【小问1详解】
根据题意，设“第i天在餐厅就餐”为事件，设“第i天在餐厅就餐”为事件，
则
【小问2详解】
可能的取值为，
大为，
令，
设最大，则
即
所以，因为正整数，
所以当，
故的最大值为，此时或4.
【小问3详解】
根据题意，设，
则，
则有
，
则有，即，
变形可得，
又由，则，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以，
故.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）求得，分类讨论，即可求得函数的单调区间；
（2）由题意，转化为对任恒成立，记，求得，令，求得，得到在上单调递增，且，，得到存在，使得，的得到得到单调性和，求得，再令，得到函数单调递增，进呢人得到，即可求解.
小问1详解】
由函数，可得，
①若时，此时，当时，在上单调递增，当，即在上单调递减；
②若时，令，可得或，
函数在，单调递增；
令，可得，函数在单调递减；
③若时，，函数在上单调递增；
④若时，令，可得或，
函数在，单调递增；
令，可得，函数在单调递减.
【小问2详解】
不等式在上恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
记，则，
记，则，
可得在上恒成立，所以在上单调递增，
且，，
存在，使得，且当时，即，
所以函数在上单调递减；
当时，即，故在上单调递增，
所以，即，
又因为，故，即，
令，因为xex'=ex+xex>0在上恒成立，
所以函数在上单调递增，且值域为，
因为，所以，
综上，实数的取值范围是.
19. 在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与对应坐标差的绝对值之和，即为.基本事实：①在三维空间中，以单位长度为棱长的立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中；②在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，并称其为“维立方体”，其中.请根据以上定义和基本事实回答下面问题：
（1）若该“维立方体”为三维立方体，以单位长度为边长，从该立方体所有顶点中随机任取不同两点，求该两点曼哈顿距离为3的概率；
（2）记随机变量为“维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，
①时，求的最大值及此时相应的的值；
②求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）①，；②分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率公式，即可求解；
（2）①根据曼哈顿距离的定义可知，，代入，即可求解；
②首先确定的取值，再结合的公式，即可求解分布列，代入期望公式，利用倒序相加法，即可求解.
【小问1详解】
记随机变量为“维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，
时，顶点坐标分别为，，，，，，，共8个，
其中能满足曼哈顿距离为3的有和，和，和，和，共4对，
所以.
【小问2详解】
①由题意得，可取，
当时，对于点与点，
其中使的i的个数为，则满足的的个数为，
此时所对应情况数为，
则，
故时，则，
所以时，则，
②由①知，
故的分布列为
数学期望，
又①，
所以②，
①+②可得，，
所以.
5
7
8
9
11
16
22
24
27
31
（日）
1
2
3
4
5
（万人）
45
50
60
65
80
支持
不支持
合计
男性
30
20
50
女性
40
10
50
合计
70
30
100
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
0
1
2
3
1
2