湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）

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命题单位：武汉六中数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心 武汉市第一中学
本试卷共 4 页，19 题.满分 150 分.考试用时 120 分钟.
考试时间：2025 年 4 月 15 日下午 14:00－16:00
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题
卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题所给的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知函数 在 处可导，且 ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的定义即可求值.
【详解】由导数的定义知 .
故选：D.
2. 二项式 的展开式中 的系数为（ ）
A. 60 B. C. D. 12
【答案】C
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【解析】
【分析】化简通项，令 的指数为 4 求出 ，代回通项可得答案.
【详解】 展开式的通项 ，
令 ，解得 ，所以 ，即 的系数为 .
故选：C
3. 从 0－9 这 10 个数字中任意取出 3 个数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数
是（ ）
A. 648 B. 720 C. 504 D. 1000
【答案】A
【解析】
【分析】利用间接法，可求用 0 到 9 这 10 个数字任意取出 3 个数组成没有重复数字的三位数的个数减去 0
放首位时组成没有重复数字的三位数的个数即可
【详解】因为 0 不能作首位，
所以用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数为 ，
故选：A
4. 已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导后令导数小于等于零，分离参数再由二次函数性质求解.
【详解】由 得 ，
由函数 单调递减可得 恒成立，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
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5. 已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件和复合函数的导数公式，求 ，以及 ，再根据到底几何意义写出切线方程.
【详解】令 ，则 ，得 ，
， ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
故选：B
6. 某校 6 名同学打算去武汉旅游，现有黄鹤楼、古德寺、湖北省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至
少有 1 名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案 种数为（ ）
A 180 B. 360 C. 540 D. 670
【答案】C
【解析】
【分析】分类考虑前往每个景区的人数，求出每种情况的方案数，即可得答案.
【详解】由题意，当每个景区都有 2 名同学前往时，此时方案有 种；
当按分别有 1，2，3 名同学前往景区时，此时方案有 种；
当按分别有 1，1，4 名同学前往景区时，此时方案有 种；
故不同方案的种数为 （种），
故选：C
7. 如图，湖面上有 4 个相邻的小岛 ，现要建 3 座桥梁，将这 4 个小岛连通起来，则建设方案有
（ ）
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A. 12 种 B. 16 种 C. 20 种 D. 24 种
【答案】B
【解析】
【分析】确定可以建设桥梁的位置有几个地方，进而求出建设 3 个桥梁的所有可能选法，去掉不符合题意
的选法，即可得答案.
【详解】由题意知要将 4 个相邻的小岛 A，B，C，D 连接起来，
共有 个位置可以建设桥梁，
从这 6 个位置中选 3 个建设桥梁，共有 种选法，
但选出的 3 个位置可能是仅连接 或 或 或 三个小岛，不合题意，
故要建 3 座桥梁，将这 4 个小岛连接起来，共有 （种）不同的方案.
故选：B.
8. 函数 的两个极值点 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据极值点为导函数零点，整理变形得 ，然后令 代入后表示出 ，代入目标
式转化为关于 的函数，利用导数求最值即可.
【详解】由题知， 的定义域为 ， ，
因为 有两个极值点 ，所以 ，则 ①，
令 ，因为 ，所以 ，
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将 代入①整理可得 ，
所以 ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以
故选：D
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分）
9. 函数 ，则（ ）
A. B. 在 上单调递增
C. 没有零点 D. 最大值为 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据导数运算法则求导函数可判断 A 正确，结合指数函数性质求解函数单调区间可判断 B 正确，
结合函数单调性及最小值可知 C 正确，D 错误.
【详解】 的定义域为 ，因为 ，所以 ，故 A 正确；
令 得 ，即 ，令 得 ，即 ，
因此 在 单调递增，在 单调递减，且 ，
因此 没有零点，即 BC 正确，D 错误.
故选：ABC
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10. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，则下列
说法正确的有（ ）
A. 数列 为等比数列 B. 数列 为等差数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据递推公式，结合等比数列和等差数列的定义，即可判断 AB，再利用累加法，判断 C，最
后根据通项公式求和，判断 D.
【详解】A.由条件 ，可知， ，
且 ，则 ，所以数列 为等比数列，故 A 正确；
B.由条件可知， ， ， ， ， ，
数列 的前 3 项 2,5,14 不能构成等差数列，
所以数列 不是等差数列，故 B 错误；
C.由 A 可知， ，所以 时， ，
， 也适合，故 C 正确；
D.由 C 可知， ，
所以 ，故 D 正确.
故选：ACD
11. 已知函数 .若曲线 恰有三条过点 的切线，其中实数 的所有取值组成集
合 的所有取值组成集合 ，则下列说法正确的有（ ）
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A. B. 若 ，则
C. 直线 上存在满足要求的点 D. 直线 上存在满足要求的点
【答案】BD
【解析】
【分析】由题意将问题转化为过点 的切线方程 存在 3 个切点，
根据选项，列式求解.
【详解】A. ，则 ，设切点 ， ，
所以切线方程为 ，切线过点 ，
所以 ，则 ，则 ，此时只有唯一切点，所以过点
的切线只有 1 条，不满足条件，故 A 错误；
B.若点 ，在由 A 可知， ，整理为
，设 ， ，
得 或 ，当 ，得 或 ， ，得 ，
所以函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ，
所以函数 的极大值是 ，极小值是 ，
所以 与 轴有 3 个交点，即方程 有 3 个实数根，即有个切点，所以过点 的
切线有 3 条，满足条件，故 B 正确；
C. 设 ，则 ，整理为
，得 ，设 ，
，所以 单调递增，
则 与 只有 1 个交点，即方程 只有 1 个实数根，即只有 1 个切点，1 条切线，
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所以直线 上不存在满足要求的点 ，故 C 错误；
D. 设 ，则 ，整理为
，得 ， ，设 ，
，
得 或 ，
，得 或 ，
，得 ，或 或 ，
所以函数 的增区间是 和 ，
减区间是 和 和
如图画出函数的图象，由图象可知， 与 存在 3 个交点，即方程 存在 3 个
实数根，故 D 正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由切线个数转化为切点个数，即转化为方程实数根问题.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 除以 26 所得余数为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由二项式定可得 ，即可得出结论.
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【详解】
，
因为 都能被 26 整除，
所以 除以 26 所得余数为 1.
故答案为：1
13. 已知函数 ，若方程 有三个相异的实根，则实数 的取值范围为
______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数以及二次函数的性质，可得函数的单调区间，并作图，根据方程与函数的关系，可得答
案.
【详解】当 时， ，求导可得 ，
令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，
易知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
可作图如下：
由方程 存在三个根，等价于直线 与函数 的图象存在三个交点，
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则 .
故答案为： .
14. 已知 ， ，…， 是 ， ，…， （ ， ）满足下列性质 的一个排列，性质 ：排列
， ，…， 中有且仅有一个 ，满足性质 的数列 ， ，…， 的个数
________．
【答案】
【解析】
【分析】由 ， ， 的值，猜想出结论 ，再证明
，结合累加法即可得解．
【详解】当 时，由 构成的排列不满足性质，故 ；
当 时，由 ， 构成的排列有 ， ，其中排列 满足性质 ，故 ；
当 时，由 ， ， 构成的所有排列为： ，
其中满足性质 的排列有： ，所以 ；
同理可得： ， ， ，由此归纳出 ，
证明：∵在 1，2，…，n 的所有排列 中，
若 ，从 个数 1，2，3，…， 中选 个数，
将所选数值按从小到大的顺序排在 的前面，即 ﹐
再将余下的数按从小到大的顺序排列在 的后面，
则该排列满足性质 ，∴满足题意的排列个数为 ， ，
若 ，则只需将 排列成满足性质 的排列，在其后面加上 即可得到满足条件的排列，
满足题意的排列个数为 ，
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综上： ，即 ，
∴
，
所以 ．
故答案为：
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据
此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，
透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万
变才是制胜法宝.
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 高二某班计划从 4 名男生、3 名女生中选拔 4 人负责本周校会.
（1）若要求选出的 4 人中同时包含男生和女生，有多少种不同的组合方式？（写出必要的数学式，结果用
数字作答）
（2）已经按照（1）中要求选出甲、乙、丙、丁四人，现要从已选择 4 人中安排 1 人担任校会主持，1 人
进行国旗下的讲话，2 人负责升旗仪式，有多少种不同的职务分配方案？（写出必要的数学式，结果用数字
作答）
（3）在完成（2）的职务分配后，校会结束后这 4 位同学和班主任共 5 人需合影留念，要求两位升旗手必
须相邻站立，有多少种不同的排列方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答）
【答案】（1）34 （2）12
（3）48
【解析】
【分析】（1）结合组合数利用间接法列式计算即可；
（2）结合组合数根据分步乘法原理求解即可；
（3）利用捆绑法结合分步乘法原理求解即可.
【小问 1 详解】
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如果选出的 4 人中同时包含男生和女生，先从所有 7 人中选 4 人，去掉只有男生的情况，故有
种组合方式.
【小问 2 详解】
先选出的 4 人中安排 1 人担任校会主持，再从剩余 3 人中安排 1 人进行国旗下的讲话，
最后让剩余 2 人负责升旗仪式，共有 种职务分配方案
【小问 3 详解】
将两位升旗手看成一个整体，与其它的 3 人排列有 种情况，
再排两位升旗手有 种情况，共有 种排法.
16. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；
（2）利用导数求得 的最小值，从而得到关于 的不等式，解之即可得解.
【小问 1 详解】
当 时， ， ，
故 ， .
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
【小问 2 详解】
第 12页/共 18页
，
因为 ，所以由 ，得 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ，
因为 恒成立，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
17. 若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列”.已知数列 中， ，点
在函数 的图象上，其中 为正整数.
（1）证明：数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ；
①求 ；
②若 恒成立，求实数 的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②16
【解析】
【分析】（1）由题意 ，配方得 ，利用“平方递推数列”定义即可证
明，两边取对数，根据等比数列的定义即可证明；
（2）①求出 ，然后利用错位相减法求和即可；
②将原不等式恒成立转化为 恒成立，分离参数 恒成立，利用基本不等式
求解最值即可得解.
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【小问 1 详解】
点 在函数 的图象上，
， ，
数列 是“平方递推数列”，
因为 ，
对 两边同时取对数得 ，
数列 是以 1 为首项、2 为公比的等比数列；
【小问 2 详解】
①由（1）知 ，所以 ，
则 ，
.
两式相减可得 ，
；
② 恒成立，
恒成立，
恒成立， 恒成立，
又 ，当且仅当 时，取到等号，
，即 .
18. 已知函数 ， . 的导函数为 .
（1）当 时.求函数 最小值；
（2）若 .
①证明： 恰有 3 个零点；
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②证明： 的所有零点之和为定值.
【答案】（1）0 （2）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数导数，利用导数判断函数单调性求出极值得解；
（2）①由题设 ，由导数知识结合零点存在性定理可得 在 R 上的零点情况，进而可得
单调性，最后再由零点存在性定理可完成证明；
②令 ，可利用奇函数性质证明该函数零点之和为 0，再由图象
平移得证.
【小问 1 详解】
由题意 ，
令
当 时， ， 在 上为增函数；
当 时， ， 在 上为减函数.
；
【小问 2 详解】
①
令 ；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ，
又 ，所以 ，且当 时， ； 时， ；
所以 在 与 上各有一个零点，不妨分别记为 ，
所以 时， 单调递增；
时， 单调递减；
第 15页/共 18页
时， 单调递增；
且 ，所以 ；
则 ， ，又当 时， ； 时， ；
所以 在 与 上各有一个零点，且 ，
所以 有且仅有三个零点.
②令
令 ， ， .
令 ，
为奇函数.因为奇函数的图象关于原点对称，所以 所有零点和为 0；
所有零点和为 0.
由于 的图象可由 向右平移一个单位长度得到，
所以 所有的零点和为定值 3.
19. 对于正整数 和正整数 ，现定义函数 .
（1）当 时，分别计算 在 处的取值；
（2）为了研究函数 的单调性，现定义差分比 ；
①证明：当 时， ；
②对于任意正整数 ，当 取到最大值时，求正整数 .
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【答案】（1） ， ， ，
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据题意依次计算 ；
（2）①根据题意得 ，即可证明；
②由①可知，对于任意正整数 ， 在 时，严格递减，在 时，严格递增，接着分 为偶
数和奇数进行研究即可.
【小问 1 详解】
由题意， ， ， ，
.
【小问 2 详解】
①
， 即
当 时， .
②由①可知，对于任意正整数 ， ，
即 在 时，严格递减.
当 时， ， ，
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即 在 时，严格递增.
故对于任意正整数 ， 总在 附近取到最大值.
当 为偶数时，设 ，此时 ，故仅比较 与 的大小，
，
当 时， 取到最大值；
②当 为奇数时，设 ，此时 ，
当 时，仅比较 与 的大小，
，
当 时，仅有 .
故当 时， 取到最大值；
综上，当 取到最大值时， .
【点睛】方法点睛：对于新定义题型，一般分为以下几步：
（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；
（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求临近的知识点，明确它们的共同点与
不同点；
（3）对新定义中提取的知识进行变换，有效的输出；假如是新定义的运算，直接依据运算法则计算即可；
假如是新定义的性质，一般要判断性质的合用性，可否利用定义的外延.
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