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湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二数学下学期期末联考试题（Word版附答案）
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这是一份湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二数学下学期期末联考试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了以下说法正确的是，爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春等内容，欢迎下载使用。
武汉市部分重点中学2022—2023学年度下学期期末联考
高二数学试卷
考试时间：2023年6月27日下午14:00-16:00
试卷满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.样本数据的平均数，方差，则样本数据的平均数､方差分别为（ ）
A.4，1 B.9，2 C.9，4 D.2，1
2.某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记-1分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（ ）
A.30 B.26 C.20 D.36
3.从中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A.的数据较更集中
B.
C.甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D.
5.若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左､右焦点分别为，点为第一象限内一点，且点在双曲线的一条渐近线上，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机把大果笑选为小果的概率为，把小果篮选为大果的概率为.经过一轮笑选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥的高为，且，其各个顶点在同一球面上，且该球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.以下说法正确的是（ ）
A.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
B.若两组数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强
C.决定系数越小，模型的拟合效果越差
D.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是
10.爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春.除夕夜里小光用投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹､放烟花､辞旧岁､迎新春”4个环节.小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次.假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则（ ）
A.事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B.“放烟花”､“迎新春”环节均表演成功的概率为
C.表演成功的环节个数的期望为3
D.在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
11.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则（ ）
A.若，则
B.以为直径的圆与准线相交
C.设，则
D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
12.如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面，若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A.存在某个位置，使得
B.面积的最大值为
C.三棱锥体积最大是
D.当为锐角时，存在某个位置，使得
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是__________.
14.某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间
1
2
3
4
5
销售量（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
若与线性相关，且线性回归方程为，则__________.
15.已知函数，若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是__________.
16.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则__________，__________（第二空精确到0.01）.
四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知正项等比数列的前项和为，且，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列的前项和，正数恒成立，求的取值范围.
18.国内某企业，研发了一款环保产品，为保证成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价（单位：元/件）与月销售量（单位：万件）的情况如下表所示：
售价（元/件）
52
50
48
45
44
43
月销售量（万件）
5
6
7
8
10
12
（1）求相关系数（结果保留两位小数）；
（2）建立关于的经验回归方程，并估计当售价为55元/件时，该产品的月销售量约为多少件？
参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
19.某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的台新能源汽车车主，统计得到以下列联表，经过计算可得.
喜欢
不喜欢
总计
男性
女性
总计
（1）完成表格并求出值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
（2）采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取12人，再从抽取的12人中抽取4人，设被抽取的4人中属于不喜欢新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.
21.王老师打算在所教授的两个班级中举行数学知识竞赛，分为个人晋级赛和团体对决赛.个人晋级赛规则：每人只有一次挑战机会，电脑随机给出5道题，答对3道或3道以上即可晋级.团体对决赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这2个小组至少有一个小组闻关成功则该班级挑战成功.
（1）甲同学参加个人晋级赛，他答对前三题的概率均为，答对后两题的概率均为，求甲同学能晋级的概率；
（2）在团体对决赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由.
22.已知函数.
（1）若，证明：当时；
（2）当时，，求的取值范围.
武汉市部分重点中学2022-2023学年度下学期期末联考
高二数学试卷参考答案及评分标准
一､二选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
D
C
D
B
A
ACD
BCD
ACD
BC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.120 14.0.28 15. 16.；
四､解答题：共70分.解答题：
17.（10分）
（1）设等比数列的公比为，因为，
故，解得或（舍），故，
因为，故，
（2）因为，
故，
又是单调增函数，
又当时，，故.
18.（12分）解：
（1）；
（2）件
（1），
，
则相关系数.
（2）设关于的经验回归方程为.
则关于的经验回归方程为，
当时，（万件）.
故当售价为55元/件时，该产品的月销售量约为25000件.
19.（12分）解：（1）补充表格数据如下：
喜欢
不喜欢
总计
男性
女性
总计
根据数表可得，又，得；
由题意，，
故有的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
（2）抽取喜欢新能源汽车有：9人抽取不喜欢新能源汽车有：3人
由题的可能值为：
所以的分布列为：
0
1
2
3
的数学期望.
所以的数学期望1
20.（12分）
（1）设椭圆的焦距为，因为的周长为6，面积为，
所以，由①得：，将此式代入②得：，
所以，所以或
当时，，所以不满足题意；
当时，，所以满足题意.
所以椭圆的方程为.
（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知，设直线/的方程为，
则联立，消去，整理得：，
设，则，
又，则，
由可得，所以，同理可得，
所以
所以为定值.
21.（12分）
（1）设甲同学成功晋级为事件，事件发生有以下三种情况1､前三题全对；2､前三题对两题后两题至少答对一题；3､前三题答对一题后两题全对.
所以.
（2）设选择方式一､二的班级团队挑战成功的概率分别为.
当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为，则两人中至少有一人回答正确的
概率为，所以.
当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为，则一个小组闯关不成功的概率为
所以.
所以.
设，则
.
因为，则，从而，所以，
即，所以单调递增.
因为，而，所以，从而，
即，所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛
22.（12分）
（1）当时，，所以即证：，
先证左边：，令，
在单调递增，，即.
再证右边：，令，
，
在上单调递增，
，即，
时，.
（2），
令，
因为，所以题设等价于在恒成立，
由（1）知，当时，，于是：
①当时，恒成立；
②当时，等价于，
（i）当时，，
令，因为在上递增，
且，所以存在，使，
所以当，即，不合题意；
（ii）当时，
令，
则，
，
所以在上单调递增，
所以，所以，所以.
武汉市部分重点中学2022—2023学年度下学期期末联考
高二数学试卷
考试时间：2023年6月27日下午14:00-16:00
试卷满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.样本数据的平均数，方差，则样本数据的平均数､方差分别为（ ）
A.4，1 B.9，2 C.9，4 D.2，1
2.某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记-1分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（ ）
A.30 B.26 C.20 D.36
3.从中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A.的数据较更集中
B.
C.甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D.
5.若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左､右焦点分别为，点为第一象限内一点，且点在双曲线的一条渐近线上，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机把大果笑选为小果的概率为，把小果篮选为大果的概率为.经过一轮笑选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥的高为，且，其各个顶点在同一球面上，且该球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.以下说法正确的是（ ）
A.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
B.若两组数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强
C.决定系数越小，模型的拟合效果越差
D.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是
10.爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春.除夕夜里小光用投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹､放烟花､辞旧岁､迎新春”4个环节.小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次.假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则（ ）
A.事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B.“放烟花”､“迎新春”环节均表演成功的概率为
C.表演成功的环节个数的期望为3
D.在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
11.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则（ ）
A.若，则
B.以为直径的圆与准线相交
C.设，则
D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
12.如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面，若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A.存在某个位置，使得
B.面积的最大值为
C.三棱锥体积最大是
D.当为锐角时，存在某个位置，使得
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是__________.
14.某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间
1
2
3
4
5
销售量（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
若与线性相关，且线性回归方程为，则__________.
15.已知函数，若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是__________.
16.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则__________，__________（第二空精确到0.01）.
四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知正项等比数列的前项和为，且，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列的前项和，正数恒成立，求的取值范围.
18.国内某企业，研发了一款环保产品，为保证成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价（单位：元/件）与月销售量（单位：万件）的情况如下表所示：
售价（元/件）
52
50
48
45
44
43
月销售量（万件）
5
6
7
8
10
12
（1）求相关系数（结果保留两位小数）；
（2）建立关于的经验回归方程，并估计当售价为55元/件时，该产品的月销售量约为多少件？
参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
19.某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的台新能源汽车车主，统计得到以下列联表，经过计算可得.
喜欢
不喜欢
总计
男性
女性
总计
（1）完成表格并求出值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
（2）采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取12人，再从抽取的12人中抽取4人，设被抽取的4人中属于不喜欢新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.
21.王老师打算在所教授的两个班级中举行数学知识竞赛，分为个人晋级赛和团体对决赛.个人晋级赛规则：每人只有一次挑战机会，电脑随机给出5道题，答对3道或3道以上即可晋级.团体对决赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这2个小组至少有一个小组闻关成功则该班级挑战成功.
（1）甲同学参加个人晋级赛，他答对前三题的概率均为，答对后两题的概率均为，求甲同学能晋级的概率；
（2）在团体对决赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由.
22.已知函数.
（1）若，证明：当时；
（2）当时，，求的取值范围.
武汉市部分重点中学2022-2023学年度下学期期末联考
高二数学试卷参考答案及评分标准
一､二选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
D
C
D
B
A
ACD
BCD
ACD
BC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.120 14.0.28 15. 16.；
四､解答题：共70分.解答题：
17.（10分）
（1）设等比数列的公比为，因为，
故，解得或（舍），故，
因为，故，
（2）因为，
故，
又是单调增函数，
又当时，，故.
18.（12分）解：
（1）；
（2）件
（1），
，
则相关系数.
（2）设关于的经验回归方程为.
则关于的经验回归方程为，
当时，（万件）.
故当售价为55元/件时，该产品的月销售量约为25000件.
19.（12分）解：（1）补充表格数据如下：
喜欢
不喜欢
总计
男性
女性
总计
根据数表可得，又，得；
由题意，，
故有的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
（2）抽取喜欢新能源汽车有：9人抽取不喜欢新能源汽车有：3人
由题的可能值为：
所以的分布列为：
0
1
2
3
的数学期望.
所以的数学期望1
20.（12分）
（1）设椭圆的焦距为，因为的周长为6，面积为，
所以，由①得：，将此式代入②得：，
所以，所以或
当时，，所以不满足题意；
当时，，所以满足题意.
所以椭圆的方程为.
（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知，设直线/的方程为，
则联立，消去，整理得：，
设，则，
又，则，
由可得，所以，同理可得，
所以
所以为定值.
21.（12分）
（1）设甲同学成功晋级为事件，事件发生有以下三种情况1､前三题全对；2､前三题对两题后两题至少答对一题；3､前三题答对一题后两题全对.
所以.
（2）设选择方式一､二的班级团队挑战成功的概率分别为.
当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为，则两人中至少有一人回答正确的
概率为，所以.
当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为，则一个小组闯关不成功的概率为
所以.
所以.
设，则
.
因为，则，从而，所以，
即，所以单调递增.
因为，而，所以，从而，
即，所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛
22.（12分）
（1）当时，，所以即证：，
先证左边：，令，
在单调递增，，即.
再证右边：，令，
，
在上单调递增，
，即，
时，.
（2），
令，
因为，所以题设等价于在恒成立，
由（1）知，当时，，于是：
①当时，恒成立；
②当时，等价于，
（i）当时，，
令，因为在上递增，
且，所以存在，使，
所以当，即，不合题意；
（ii）当时，
令，
则，
，
所以在上单调递增，
所以，所以，所以.
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