福建泉州鲤城北大培文学校2024~2025学年高一下册期末数学试题[含解析]

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高一年级数学科目试题
I（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 单位向量都相等B. 若与都是单位向量，则
C. D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的定义和性质判断即可.
【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，单位向量只是模相等，故A错误；
对于B，，与的夹角不确定，故B错误；
对于C，由向量数乘定义可知正确；
对于D，，说明与垂直，故D错误；
故选：C.
2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【详解】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.
详解：的共轭复数为
对应点为，在第四象限，故选D.
点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.
3. 下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据选项中的展开图，依次分析沿着折线折起来的几何体的机构特征，判断是否为棱锥即可.
【详解】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确；
对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确；
对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确；
对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确；
故选：B.
4. 设向量，且，则（ ）
A. 0B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示计算即可.
【详解】因为向量且，
所以，解得，
经检验，符合题意；
故选：D
5. 在中，已知C=45°，，，则角B为（ ）
A. 30B. 60C. 30或150D. 60或120
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理，求得，结合，即可求解.
【详解】在中，由正弦定理可得，
又因为，可得，即，所以.
故选：A.
6. 某病患者8人的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的50百分位数为（ ）
A. 4或7B. 4C. 7D. 5.5
【答案】D
【解析】
【分析】50百分位数即为中位数，现将这组数从小到大排列，中奖2个数的和的一半即为中位数.
【详解】将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8,，10，18，50百分位数即为中位数，这组数的中位数为 .
故选：D
7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据线线，线面，面面的位置关系依次判断选项即可.
【详解】若，则可能平行，可能相交，故A错误；
若，则，又，所以，故B正确；
若，则可能平行，也可能异面，故C错误；
若，则可能含于，可能与平行，也可能相交但不垂直，故D错误；
故选：B.
8. 阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.其墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，在该图中圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，问：球的体积与圆柱的体积的比值和球的表面积与圆柱的表面积的比值分别为（ ）
A. ，1B. ，1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理运算即可得到结果．
【详解】解：由题意，圆柱底面半径球的半径，
圆柱的高，则
，
．
．
，
．
．
故选：D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．）
9. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列成立的是（ ）
A.
B. 若，则是等腰三角形
C.
D. 若 则是钝角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.利用正弦定理即可；
B.两个角的正弦值相等，那么这两个角 或，可得三角形为等腰三角形或直角三角形；
C. ，利用诱导公式可得；
D.利用正弦定理将角转化为边，结合余弦定理可得 ，即角C为钝角；
【详解】A.根据正弦定理 可得，故A对；
B. ，那么 或，即 或，那么三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错；
C.因为 ,即，利用诱导公式可得，故C对；
D. ，利用正弦定理可得 ，即，
那么 ，即角C为钝角，那么是钝角三角形，故D对；
故选：ACD
10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）
A. 样本中女生人数多于男生人数B. 样本中层人数最多
C. 样本中层次男生人数为6人D. 样本中层次男生人数多于女生人数
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.
【详解】样本中女生人数为：，男生数为，正确；
样本中层人数为：；样本中层人数为：；
样本中层人数为：；样本中层人数为：；
样本中层人数为：；故正确；
样本中层次男生人数为：，正确；
样本中层次男生人数为：，女生人数为，错误.
故选：.
【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11. 八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合正八边形的特点，分为8个全等的三角形，将圆周角分为8份，每个圆心角为 .
结合向量计算法则，即可得出结果.
【详解】A.正八边形ABCDEFGH中， ，那么，故A对；
B. ，故B对；
C. 与夹角为 ，故，故C对；
D. ，故D错；
故选：ABC
12. 在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 与BD所成的角为D. 与平面ABCD所成的角为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据，，判断A；根据平面判断B；根据是与BD所成的角判断C；根据是与平面所成的角判断D．
【详解】连接，则，，，故A正确；
又因为，所以平面所以，B正确；
因为，所以是与BD所成的角，
又三角形为正三角形，所以，
即与BD所成的角为，C正确；
平面，平面，
是与平面所成的角，，，故错误．
故选：ABC．
第II卷（非选择题）
三．填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．）
13. 甲、乙两人进行5轮投篮训练，每轮投篮10次，每轮投进的次数如下：
甲：7，7，9，7，8；
乙：4，5，7，9，9．
若甲的中位数为a，乙的众数为b，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】分别求出的值，即可得的值.
【详解】由题意得，则．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了求众数和中位数，属于基础题.
14. 向量，，则__________，向量在向量上的投影为__________.
【答案】 ①. ； ②. ；
【解析】
【分析】根据向量的数量积和投影的坐标表示分别计算即可.
【详解】因为向量，，
所以：
所以：，
故向量在向量上的投影为，
故答案为：；；
15. 一个水平放置的正方形ABCO如图所示，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为，则在用斜二测画法画出的正方形直观图中，顶点B对应直观图中的B'点到x'轴的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出直观图，利用直观图中的边角关系求解即可．
【详解】解：在直观图中，，，
故点到轴的距离为．
故答案为：．
16. 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】在△CBA中根据余弦定理得，再利用正弦定理求解即可
【详解】在△CBA中，AB=40，AC=20，∠BAC=，由余弦定理得
由正弦定理得，，
三、解答题（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17. （1）已知球表面积为64π，求它的体积；
（2）已知球的体积为π，求它的表面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由球的表面积公式求得半径，再由球的体积公式求得答案；
（2）由求得体积公式求得半径，再由求得表面积公式求得答案.
【详解】（1）设球的半径为r，则由已知得4πr2＝64π，r＝4.
所以球的体积：V＝×π×r3＝π；
（2）设球半径为R，由已知得πR3＝π，所以R＝5，
所以球的表面积为：S＝4πR2＝4π×52＝100π.
【点睛】本题考查求球的表面积与体积，属于基础题.
18. 已知复数z1＝3＋i及复数z2＝4＋3i
（1）求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义；
（2）求.
【答案】（1）；几何意义见解析；（2）.
【解析】
【分析】根据复数的运算性质即可求出，，然后根据复数的向量表示在直角坐标系中画出即可.
【详解】解：（1），
复数、对应的坐标分别为、，复数对应的坐标为，
在复平面内用向量表示出其运算的几何意义如图所示；
（2）.
19. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可求得实数的值；
（2）利用平面向量数量积的定义结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，进而可解得实数的值.
【详解】（1）因为，所以，，解得；
（2）由已知可得，，
由平面向量数量积的定义可得，即，整理得，
解得或，
，所以，或都符合题意.
20. 如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）求证：平面平面PAC；
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）三角形中位线定理可得，结合线面平行的判定定理得答案；
（2）推导出，，从而面，由此能证明平面平面
【详解】（1）证明：连接，
在ABCD是正方形中，O是正方形的中心，
是的中点，
是的中点，，
又平面，平面，
平面；
（2）证明：底面，，
又，且，平面，
而平面，平面平面.
21. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.
试题解析：（1）由已知可得
（2）
又
，
的周长为
考点：正余弦定理解三角形.
22. 新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制.为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有120000人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100人的成绩进行统计，其中成绩分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：
（1）求的值；
（2）成绩不低于90分的人就能获得积分奖励，求所有参赛者中获得奖励的人数；
（3）根据频率分布直方图，估计这次知识竞赛成绩的平均分.
【答案】（1）；（2）人；（3）分.
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出．
（2）成绩在，之间的距离为0.05，由此能求出所有参赛者中获得奖励的人数．
（3）由频率分布直方图的性质能求出平均数的估计值．
【详解】解：（1）由，解得.
（2）成绩在之间的频率为.
故可估计所有参赛者中获得奖励的人数约为人.
（3）平均分的估计值为：分.
【点睛】本题考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．