福建莆田第一中学2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[学生卷]

这是一份福建莆田第一中学2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[学生卷]，共8页。
必修一、二、选择性必修一
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是
A. B. 1C. D.
5. 在中，内角，，对应的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
6. 如图是正方体展开图，则在这个正方体中，下面命题不正确的是（ ）
A. 与是异面直线；B. 与平行
C 与成角；D. 与平行
7. 圆锥底面半径为，高为，在此圆锥内有一个内接正方体，则此正方体的棱长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方体的棱长为2，、、分别是棱、和的中点，过点、、作正方体的截面，则以该截面为底面，为顶点的几何体体积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每道题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 设向量，，则（ ）
A. B.
C. 与的夹角为D.
10. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（ ）
A. 底面边长为6米B. 侧棱与底面所成角的余弦值为
C. 侧面积为平方米D. 体积为立方米
11. 函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图像关于直线对称
C. 的图像关于点对称
D. 在上单调递增
12. 如图，已知二面角棱l上有A，B两点，，，，，若，，则（ ）
A. 直线AB与CD所成角为45°
B. 二面角的大小为60°
C. 三棱锥的体积为
D. 直线CD与平面所成角的正弦值为
三．填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______．
14. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，对下列命题：
①若，则．
②若，则且．
③若，则．
④若，则．
其中正确的命题是__________．（填序号）．
15. 已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________．
16. 在正四棱台中，，，，则该四棱台的表面积为_________；该四棱台外接球的体积为__________．
四．解答题（本大题共6大题，共70.0分）
17. 如图，四边形为矩形，且，，平面，，为的中点．
（1）求证：；
（2）若点为上的中点，证明平面．
18. 已知函数.
（1）求的值；
（2）将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
20. 如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.
21. 如图①，一条宽为1的两平行河岸有村庄和供电站，村庄与的直线距离都是2， 与河岸垂直，垂足为．现要修建电缆，从供电站向村庄供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元、4万元．
（1）已知村庄与原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值；
（2）如图②，点在线段上，且铺设电缆的线路为．若，试用表示出总施工费用 (万元)的解析式，并求的最小值．
22. 如图1，在矩形中，，，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，，如图2.
（1）若点在线段上，且，证明：；
（2）记平面与平面的交线为.若二面角为，求与平面所成角的正弦值.