初中数学人教版（2024）九年级上册实际问题与一元二次方程第3课时学案

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册实际问题与一元二次方程第3课时学案，共10页。学案主要包含了学习目标，基础知识，巩固练习等内容，欢迎下载使用。
学案
一、学习目标
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会一元二次方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.
2.能根据几何图形的周长、面积，通过建立一元二次方程来解决问题，会检验所得结果是否合理.
3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程进行描述.
二、基础知识
如图，要设计一本书的封面，封面长为27 cm，宽为21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
1.根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推.
2设上、下边衬的宽均为9x cm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？
3.解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？
4.方程的哪个根符合实际意义？为什么？
5.如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解，你的解法是什么？
6.如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？
结论：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．
7.如图，要利用一面墙（墙足够长）建羊圈，用58 m的围栏围成面积为200 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC各是多少米？
结论：围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解．需要注意联系实际问题选择合适的解．
三、巩固练习
1.如图，在一块边长为，的菱形空地ABCD上，修三条同样宽度且与菱形的边平行的道路(阴影部分)，剩下的部分进行绿化，绿化面积为.设，则可列方程为( )
A.B.
C.D.
2.某展览馆计划将长60m，宽40m的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是面积为的一个矩形展览区，四周留有等宽的通道（如图所示），求通道的宽.设通道的宽为xm，根据题意列方程正确的是( )
A.B.
C.D.
3.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”.意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多_________步.
4.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米.停车场内车道的宽都相等.停车位总占地面积为288平方米.设车道的宽为x米，可列方程为___________.
5.将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程：___________（不必化简）.
6.如图,已知.一动点N从C点出发沿方向以
1 cm/s的速度向B点运动,同时另一动点M由点A沿方向以2 cm/s的速度也向B点运动,其中一点到达B点时另一点也随之停止,当的面积为时,运动的时间t为_______s.
7.如图1，将一张长，宽的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒底面积为，求该有盖纸盒的高.(单位：)
8.如图，在中，.现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动.如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动的时间为，求:
(1)用含t的代数式表示的面积S;
(2)当时，两点之间的距离是多少?
(3)当t为多少秒时，?
答案
基础知识
1.设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是.
2.列出的方程为整数式，方便计算
3.原方程可化为，
，.
4.符合实际意义.
当时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况.
5.设中央矩形的长为9x cm，则宽为7x cm.
列方程得，即，
解得，（舍去）.
所以上、下边衬的宽为（cm），
左、右边衬的宽为（cm）.
6.法一：解：设道路的宽为x m，可列方程.
整理，得，
解得，.
当时，，不合题意，舍去.
.
答：道路的宽为2 m.
法二：解：设道路的宽为x m.
可列方程，
整理，得，
解得，.
当时，，不合题意，舍去.
.
答：道路的宽为2 m
7.解：设AB长是x m.
则，
即.
解得，.
当时，；
当时，.
答：羊圈的边长AB和BC各是25m，8m，4m，50m.
巩固练习
1.答案：B
解析：由题意可将道路平移到如图所示的位置，可知，，四边形PHCM是平行四过形，.过点P作于点Q，则，故可列方程为.故选B.
2.答案：A
解析：设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为米，宽为米，根据题意得：，故选A.
3.答案：6
解析：设矩形田地的长为x步，则宽为步，依题意得：，整理得：，解得：，.当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意，舍去.长比宽多6步.故答案为：6.
4.答案：
解析：依题意得，
故答案为：.
5.答案：
解析：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：，
则根据题意，列出关于x的方程为：
.
故答案为：.
6.答案：2
解析：根据题意可知,.
的面积为,,整理得,解得(不合题意,舍去).故答案为2.
7.解析：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得，
化简，得：，
解得：，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
答：若纸盒的底面积是，纸盒的高为.
8.解析：(1)运动的时间，则，，
.
又
.
的面积.
(2)当时，,,
(3)依题意得,整理得,
解得.
为2 s或3 s时，.