山西省实验中学2024-2025学年八年级下学期期中测试数学试卷(含解析)

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一、单选题
1．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（ ）
A．B．C．D．
2．下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．B．C．D．1
4．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得，点的对应点在上（不与点，重合），则的度数是（ ）

A．B．C．D．
5．下列因式分解中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( )
A．2B．3C．4D．6
8．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应先假设这个直角三角形中（ ）
A．有一个锐角小于
B．每一个锐角都小于
C．有一个锐角大于
D．每一个锐角都大于
9．小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．一元一次不等式的最小整数解是 ．
12．已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是 ．
13．一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为 ．
14．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 ．
15．是边长为2的等边三角形，，点为上一个动点．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当是直角三角形时，的长为 ．

三、解答题
16．（1）因式分解：；
（2）下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程．
①该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
②该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？_______．（填“是”或“否”）
③请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
17．（1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：以上解题过程中，第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
任务二：请解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组：．
18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．
(1)画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标；
(2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标；
(3)若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标．
19．如图，在中，，是的角平分线，
(1)尺规作图：求作的高线；
(2)在（）的条件下，连接，求证：垂直平分．
20．电影《哪吒之魔童闹海》上映后广受欢迎，某影院为回馈观众，推出以下购票优惠：
**成人票**：每张30元
**儿童票**：每张20元（身高1.3米以下）
小明计划邀请家人们去观看该电影，小明的妈妈准备了200元用于购票，已知共去8人，且所有儿童均符合购票条件．在满足预算的前提下，小明一家最多可以购买多少张成人票？
21．如图，于E，于F，若，平分；
(1)求证：；
(2)已知，，，求四边形的面积．
22．春节结束后，为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式．
甲：按照次数收费：
乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次打折优惠．
设某人一年内去动物园的次数为次，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．
根据图中信息，解答下列问题．
(1)填空：
甲种收费的函数关系式是___________．乙种收费的函数关系式是___________．
(2)乐乐准备利用本学期的周末去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由．
23．如图与为等边三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点．
(1)如图，点与点重合时，点，分别在线段上，请直接写出和的数量关系；
(2)如图，当点在的延长线上时，，分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)点在线段上，若，当时，请直接写出的长．
解：设
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
．
去分母，得·············第一步
去括号，得··················第二步
移项，得·····················第三步
合并同类项，得···························第四步
两边都除以7，得··························第五步
《山西省实验中学2024-2025学年下学期八年级期中测试数学试卷》参考答案
1．D
解：由题意得：，故D正确．
故选：D．
2．B
解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
3．D
解：A、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意；
B、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意；
C、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意；
D、若，则有，进而可知成立，故本选项符合题意．
故选：D．
4．B
解：∵将绕点顺时针旋转得，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
5．B
解：A、，原写法错误，不符合题意；
B、，原写法正确，符合题意；
C、，原写法错误，不符合题意；
D、，原写法错误，不符合题意；
故选：B．
6．D
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
在数轴上表示如下：

故选：D．
7．C
解：∵，，
，
由题可得，，
，
，
解得．
故选：C．
8．D
解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设每一个锐角都大于．
故选：D．
9．C
解：根据题意列不等式为：，
故选：C．
10．D
解：连接，

∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的平分线，
∴点O是的外心，
∴，
∴，
∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，
∴，
∴，
在中，．
故选：D．
11．
解：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的最小整数解是．
故答案为：．
12．
解：∵，，
∴平移法则为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∵
∴，
故答案为：
13．
解：将代入一次函数得：，
∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的正半轴上，
将代入一次函数得：，
∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的负半轴上，
如图，一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，
∵不等式表示的是直线位于直线的下方，且两条直线的交点为，
∴结合函数图象可知，不等式的解集为，
故答案为：．
14．12
解：由作图可知垂直平分线段，
，
的周长．
故答案为：12．
15．或
解：连接，如图：

∵是边长为2的等边三角形，，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
①若，如图：

∴，
∴，
解得（负值已舍去）；
②若，如图：

∴；
综上所述，的长为或；
故答案为：或．
16．（1）；（2）①C；②否；③
解：（1）

（2）①由第二步得到，它是一个完全平方式，用完全平方公式即可分解为两数和的形式，即可用两数和的完全平方公式分解；
故选：C；
②由于是一个完全平方式，用完全平方公式可继续分解，所以不是最后分解的结果；
故答案为：否；
③设，
原式
．
17．（1）任务一：一；去分母时，常数项1漏乘10；任务二：，见解析；（2）
（1）任务一：一；去分母时，常数项1漏乘10；
任务二：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以7，得，
解集在数轴上表示如图

（2）解：，
解不等式①得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
18．(1)图见解析，
(2)图见解析，
(3)
（1）解：如图所示：
的坐标为；
（2）解：如图所示，
的坐标为；
（3）解：如图，
若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得．
19．(1)作图见解析
(2)证明见解析
（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）证明：由（）得是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵是的角平分线，
∴,
在和中,
，
∴，
∴，，
∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
20．
解：设小明一家最多可以购买张成人票，
，
解得，
小明一家最多可以购买张成人票．
21．(1)证明见解析
(2)128
（1）证明：∵于E，于F，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴．．
22．(1)，；
(2)当乐乐去动物园的次数小于8时，选择甲种购票方式更划算；当乐乐去动物园的次数等于8时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当乐乐去动物园的次数大于8时，选择乙种购票方式更划算，理由见解析
（1）解：设选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为；
设选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为，
将，代入，得：，
解得：，
∴选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为；
故答案为：，；
（2）解：联立，解得：，
∴直线与直线的交点为．
∴由图象可知当时，直线在直线的图象下方，即此时选择甲种购票方式更划算；
当时，直线与直线交于点，即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；
当时，直线在直线的图象上方，即此时选择乙种购票方式更划算；
当乐乐去动物园的次数小于8时，选择甲种购票方式更划算；当乐乐去动物园的次数等于8时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当乐乐去动物园的次数大于8时，选择乙种购票方式更划算.
23．(1)
(2)，理由见解析
(3)或或
（1）解：与为等边三角形，
，，
将射线绕点逆时针旋转，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作交于点，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
；
（3）解：作于点，
，，
，
如图中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时，
，
，
，
过点作，交于，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
如图中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时，
同法可证：，
，
；
如图中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时，
同法可证：，
，，
，
；
如图中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时，
同法可证：，
，
，
；
综上所述，满足条件的的值为或或．