山西省实验中学2024-2025学年下学期八年级期中测试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份山西省实验中学2024-2025学年下学期八年级期中测试数学试卷（原卷版+解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级 数学
公众号：中学知识资讯
（本试卷满分100分，考试时间90分钟）
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D. 1
4. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得，点的对应点在上（不与点，重合），则的度数是（ ）

A. B. C. D.
5. 下列因式分解中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 不等式组1-3x>73x≥-15解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
8. 用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应先假设这个直角三角形中（ ）
A. 有一个锐角小于
B. 每一个锐角都小于
C 有一个锐角大于
D. 每一个锐角都大于
9. 小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 一元一次不等式的最小整数解是_______．
12. 已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是_______．
13. 一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为______．
14. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 _______．
15. 是边长为2等边三角形，，点为上一个动点．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当是直角三角形时，的长为_________．

三、解答题（本题共8个小题，共55分）
16. （1）因式分解：；
（2）下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程．
①该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
②该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？_______．（填“是”或“否”）
③请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
17. （1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：以上解题过程中，第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
任务二：请解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．
（1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标；
（2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标；
（3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标．
19. 如图，在中，，是的角平分线，
（1）尺规作图：求作的高线；
（2）在（）的条件下，连接，求证：垂直平分．
20. 电影《哪吒之魔童闹海》上映后广受欢迎，某影院为回馈观众，推出以下购票优惠：
**成人票**：每张30元
**儿童票**：每张20元（身高1.3米以下）
小明计划邀请家人们去观看该电影，小明的妈妈准备了200元用于购票，已知共去8人，且所有儿童均符合购票条件．在满足预算的前提下，小明一家最多可以购买多少张成人票？
21. 如图，于E，于F，若，平分；
（1）求证：；
（2）已知，，，求四边形的面积．
22. 春节结束后，为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式．
甲：按照次数收费：
乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次打折优惠．
设某人一年内去动物园的次数为次，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．
根据图中信息，解答下列问题．
（1）填空：
甲种收费的函数关系式是___________．乙种收费的函数关系式是___________．
（2）乐乐准备利用本学期周末去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由．
23. 如图与为等边三角形，点为射线上动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点．
（1）如图，点与点重合时，点，分别在线段上，请直接写出和的数量关系；
（2）如图，当点在的延长线上时，，分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点在线段上，若，当时，请直接写出的长．
山西省实验中学
2024—2025学年第二学期期中质量监测（卷）
八年级 数学
公众号：中学知识资讯
（本试卷满分100分，考试时间90分钟）
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查不等式定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，故D正确．
故选：D．
2. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
3. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质分析判断即可．
【详解】解：A、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意；
B、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意；
C、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意；
D、若，则有，进而可知成立，故本选项符合题意．
故选：D．
4. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得，点的对应点在上（不与点，重合），则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，由旋转知，，，从而得出是等腰直角三角形，即可解决问题．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
5. 下列因式分解中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了公式法、提公因式法分解因式，运用提公因式法时，注意各项符号的变化，运用公式法的时候，注意公式的结构特征．根据完全平方公式和平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意；
B、，原写法正确，符合题意；
C、，原写法错误，不符合题意；
D、，原写法错误，不符合题意；
故选：B．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、再数轴上表示解集等知识点，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先分别求出每个不等式的解集，然后再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：1-3x>7①3x≥-15②
解不等式①，得，
解不等式②，得，
在数轴上表示如下：

故选：D．
7. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题；
【详解】解：∵，，
，
由题可得，，
，
，
解得．
故选：C．
8. 用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应先假设这个直角三角形中（ ）
A. 有一个锐角小于
B. 每一个锐角都小于
C 有一个锐角大于
D. 每一个锐角都大于
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反证法．熟练掌握反证法的第一步，假设结论不成立，是解题的关键．用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设每一个锐角都大于．
故选：D．
9. 小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可．
【详解】解：根据题意列不等式为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找出题目中的数量关系是解此题的关键．
10. 如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，再求出，判断出点O是的外心，根据三角形外心的性质可得，得到，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，根据三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：连接，

∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的平分线，
∴点O是的外心，
∴，
∴，
∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，
∴，
∴，
在中，．
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 一元一次不等式的最小整数解是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先移项，合并同类项，然后系数化为1，得出不等式的解，最后得出最小整数解即可．
【详解】解：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的最小整数解是．
故答案为：．
12. 已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是图形的平移法则，掌握点的平移与坐标变化规律：左减右加，上加下减，是解题的关键．
首先根据点A和点的坐标得出平移的方向和平移的数量，然后根据平移法则得出点的坐标．
【详解】解：∵，，
∴平移法则为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∵
∴，
故答案为：
13. 一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出两个一次函数与轴的交点坐标，再根据不等式表示的是直线位于直线的下方，结合函数图象即可得．
【详解】解：将代入一次函数得：，
∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的正半轴上，
将代入一次函数得：，
∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的负半轴上，
如图，一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，
∵不等式表示的是直线位于直线的下方，且两条直线的交点为，
∴结合函数图象可知，不等式的解集为，
故答案为：．
14. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 _______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长，可得结论．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，
，
的周长．
故答案为：12．
15. 是边长为2的等边三角形，，点为上一个动点．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当是直角三角形时，的长为_________．

【答案】或
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形判定与性质，等边三角形的性质及应用等知识，连接，由是边长为2的等边三角形，为的高，可得，，根据将绕点A顺时针旋转得到，知，故，可证，从而，①若，得，；②若．
【详解】解：连接，如图：

∵是边长为2的等边三角形，，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
①若，如图：

∴，
∴，
解得（负值已舍去）；
②若，如图：

∴；
综上所述，的长为或；
故答案为：或．
三、解答题（本题共8个小题，共55分）
16. （1）因式分解：；
（2）下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程．
①该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
②该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？_______．（填“是”或“否”）
③请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）；（2）①C；②否；③
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法并正确进行分解是解题的关键；
（1）先提取公因式，再用平方差公式分解即可；
（2）①读懂每一步即可完成；
②根据因式分解必须分解到再也不能分解为止即可作出判断；
③模仿小亮同学的分解方法进行即可．
【详解】解：（1）

（2）①由第二步得到，它是一个完全平方式，用完全平方公式即可分解为两数和的形式，即可用两数和的完全平方公式分解；
故选：C；
②由于是一个完全平方式，用完全平方公式可继续分解，所以不是最后分解的结果；
故答案为：否；
③设，
原式
．
17. （1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：以上解题过程中，第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
任务二：请解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）任务一：一；去分母时，常数项1漏乘10；任务二：，见解析；（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
（1）任务一：根据运算法则求解即可；
任务二：根据运算法则求解并在数轴上表示即可．
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分即可确定不等式组的解集．
【详解】（1）任务一：一；去分母时，常数项1漏乘10；
任务二：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以7，得，
解集在数轴上表示如图

（2）解：，
解不等式①得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．
（1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标；
（2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标；
（3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图-旋转变换、平移．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、，再顺次连接即可；
（2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再顺次连接即可；
（3）作和垂直平分线，它们的交点P满足条件．
【小问1详解】
解：如图所示：
的坐标为；
【小问2详解】
解：如图所示，
的坐标为；
【小问3详解】
解：如图，
若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得．
19. 如图，在中，，是的角平分线，
（1）尺规作图：求作的高线；
（2）在（）的条件下，连接，求证：垂直平分．
【答案】（1）作图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了经过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，掌握以上知识点是解题的关键．
（）过点作的垂线即可；
（）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证；
【小问1详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问2详解】
证明：由（）得是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵是的角平分线，
∴,
在和中,
，
∴，
∴，，
∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
20. 电影《哪吒之魔童闹海》上映后广受欢迎，某影院为回馈观众，推出以下购票优惠：
**成人票**：每张30元
**儿童票**：每张20元（身高13米以下）
小明计划邀请家人们去观看该电影，小明的妈妈准备了200元用于购票，已知共去8人，且所有儿童均符合购票条件．在满足预算的前提下，小明一家最多可以购买多少张成人票？
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式解实际应用，准确掌握数量关系是解题的关键．根据等量关系列出不等式即可得到答案．
【详解】解：设小明一家最多可以购买张成人票，
，
解得，
小明一家最多可以购买张成人票．
21. 如图，于E，于F，若，平分；
（1）求证：；
（2）已知，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）128
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）根据角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明；
（2）先求出，，再由全等三角形的性质得到，证明，得到，则，即可得到．
【小问1详解】
证明：∵于E，于F，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得，，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴．．
22. 春节结束后，为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式．
甲：按照次数收费：
乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次打折优惠．
设某人一年内去动物园的次数为次，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．
根据图中信息，解答下列问题．
（1）填空：
甲种收费的函数关系式是___________．乙种收费的函数关系式是___________．
（2）乐乐准备利用本学期的周末去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由．
【答案】（1），；
（2）当乐乐去动物园的次数小于8时，选择甲种购票方式更划算；当乐乐去动物园的次数等于8时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当乐乐去动物园的次数大于8时，选择乙种购票方式更划算，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，两直线的交点问题．利用待定系数法正确求出一次函数解析式是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出两直线交点，结合图象即可解答．
【小问1详解】
解：设选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为；
设选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为，
将，代入，得：，
解得：，
∴选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：联立，解得：，
∴直线与直线的交点为．
∴由图象可知当时，直线在直线的图象下方，即此时选择甲种购票方式更划算；
当时，直线与直线交于点，即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；
当时，直线在直线的图象上方，即此时选择乙种购票方式更划算；
当乐乐去动物园的次数小于8时，选择甲种购票方式更划算；当乐乐去动物园的次数等于8时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当乐乐去动物园的次数大于8时，选择乙种购票方式更划算.
23. 如图与为等边三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点．
（1）如图，点与点重合时，点，分别在线段上，请直接写出和的数量关系；
（2）如图，当点在的延长线上时，，分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点在线段上，若，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）或或
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，易得，由“”可证，即可得证；
（2）过点作交于点，可证是等边三角形，可得，，由“”可证，可得，即可得；
（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【小问1详解】
解：与为等边三角形，
，，
将射线绕点逆时针旋转，
，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，过点作交于点，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
；
【小问3详解】
解：作于点，
，，
，
如图中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时，
，
，
，
过点作，交于，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
如图中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时，
同法可证：，
，
；
如图中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时，
同法可证：，
，，
，
；
如图中，当点在线段上，点在线段延长线上，点在线段上时，
同法可证：，
，
，
；
综上所述，满足条件的的值为或或．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
解：设
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
．
去分母，得·············第一步
去括号，得··················第二步
移项，得·····················第三步
合并同类项，得···························第四步
两边都除以7，得··························第五步
解：设
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
．
去分母，得·············第一步
去括号，得··················第二步
移项，得·····················第三步
合并同类项，得···························第四步
两边都除以7，得··························第五步