安徽省合肥市庐江县汤池镇初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省合肥市庐江县汤池镇初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共30页。试卷主要包含了 下列运算中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ）

A. 150B. 200C. 225D. 无法计算
5. 如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连结，若，，则为（ ）

A. 3B. 4C. 1D. 2
6. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A. B. 7C. D. 8
7. 如图，在中，，且分别是上的高，分别是的中点，若，则的长为（ ）

A. 10B. 12C. 13D. 14
8. 在长方形ABCD中，，，连接AC，的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（ ）
A. B. C. 3D. 4
9. 如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
10. 对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，下列四个结论中，不正确的结论是（ ）
A. A，B，C三点可能构成锐角三角形
B. A，B，C三点可能构成直角三角形
C. A，B，C三点可能构成钝角三角形
D. A，B，C三点可能构成等腰三角形
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11. 小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b正整数），则___________．
12. 如图，一根橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，其中A点坐标（0,0）,B点坐标（8,0），然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了_________cm.
13. 如图，为平行四边形对角线，，于点，于点，，相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．
14. 图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的的值为______；记图1中小正方形的中心为点，，，图2中的对应点为点，，．以大正方形的中心为圆心作圆，则当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为______．
三．解答题（共9小题，共9题，共90分）
15. 若x，y为实数，且，求的值．
16. 观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）=________；
（2）请你按照上面每个等式反映规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
17. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，平分交于点F，求证：．
18. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋干的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
19. 如图，已知四边形中，，，，，为边上的一点，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒．

（1）求长；
（2）若为直角三角形，求的值．
20. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）证明四边形是菱形．
21. 已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．求证：
（1）；
（2）．
22. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．
（1）如图，在中，，，，求中边的“中偏度值”；
（2）在中，，，边上的高，求中边的“中偏度值”．
23. 如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
（3）当与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
安徽省合肥市庐江县汤池镇初级中学2023-2024学年八年级数学下册
期中测试卷（人教版）
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0即可得解．
【详解】解：根据题意得，x＋3≥0，
解得．
故选：C．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．
2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了最简二次根式的定义．直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、，是最简二次根式，故此选项正确；
C、，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：B．
3. 下列运算中，正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则进行判断便可．
【详解】解：A、不是同类二次根式不能合并，选项错误；
B、不是同类二次根式不能合并，选项错误；
C、，选项正确；
D、，选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟记法则是解题的关键．
4. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ）

A. 150B. 200C. 225D. 无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理即可进行解答．
【详解】解：∵四边形和四边形为正方形，
∴， ，
∵在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
5. 如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连结，若，，则为（ ）

A. 3B. 4C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：，，，
，，
，
，
，，
∴是的中位线，
，
故选：D．
6. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A. B. 7C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
7. 如图，在中，，且分别是上的高，分别是的中点，若，则的长为（ ）

A. 10B. 12C. 13D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，，然后利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：如图：连接，

是的中点，，
，
是的中点，
，，
在中，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及勾股定理，作辅助线利用性质是解题的关键．
8. 在长方形ABCD中，，，连接AC，的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出斜边，再利用角平分线的性质求出，最后用等面积法列出方程，解方程即可．
【详解】如图，过点E作于点F
∵的角平分线交BC于点E，，
∴
∵
∴
∴
∴
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线性质及等面积法的应用，作辅助线是解题的关键．
9. 如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．连接．由，F是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即．
【详解】解：如图，连接．
∵，F是的中点，
∴．
在中，
∵，E是的中点，，
∴．
故选：D．
10. 对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，下列四个结论中，不正确的结论是（ ）
A. A，B，C三点可能构成锐角三角形
B. A，B，C三点可能构成直角三角形
C. A，B，C三点可能构成钝角三角形
D. A，B，C三点可能构成等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】不妨设，，，则，，，讨论，的值即可判定．
【详解】解：不妨设，，，则，，，
由，可知，即；
A.当时，无解，则不可能是锐角三角形，故A错误；
B.当，时，成立，此时为直角三角形，故B正确；
C.当时，为钝角，且成立，故C正确；
D.当，时，成立，此时为等腰三角形，故D正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体，考查新定义，解题的关键是理解新的定义，同时考查了学生的推理能力．
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11. 小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则___________．
【答案】73
【解析】
【分析】找出一系列等式的规律为（n≥1的正整数），令n=8求出a与b的值，即可求得a+b的值．
【详解】解：根据题中的规律得：（n≥1的正整数），
a=8，b=82+1=65，
则a+b=8+65=73．
故答案为：73．
【点睛】此题考查了数字类规律，找出题中的规律是解本题的关键．
12. 如图，一根橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，其中A点坐标（0,0）,B点坐标（8,0），然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了_________cm.
【答案】2
【解析】
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5（cm）；
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故答案是：2．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13. 如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】根据“”可证明，得到，，可对①进行判断；通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；因为，，由，推出，可对③进行判断；接着由平行四边形的性质得，则，可对④进行判断．
【详解】解：在和中，，
，
，
，
，
，故①错误；
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
，故②正确；
，，
，
，故③错误；
，，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
14. 图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的的值为______；记图1中小正方形的中心为点，，，图2中的对应点为点，，．以大正方形的中心为圆心作圆，则当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）先求出剪拼后大正方形的面积，得到其边长，再结合图2，求出图1中长方形的长边除去长为d部分的线段后，剩下的线段长刚好为大正方形的边长，最后用图1中的长方形的长减去图2中大正方形的边长即可完成求解；
（2）结合两图分别求出对应线段长，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出O点到、、之间的距离即可确定最小圆的半径，即可完成求解．
【详解】解：∵图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，
∴每个小正方形边长为2，图1和图2中整个图形的面积为，
所以图2中正方形的边长,如下图3所示；
∴图1中，；
分别连接、、，并分别过点、、向大正方形的对边作垂线，得到如图所示辅助线，
综合两图可知，,,,O点到大正方形各边距离为，
∴，,
∴;
综合两图可知：,,,
∴,,
∴；
继续综合两图可知：,
∴,
∴,
∵，
∴距离O点最远，
∴最小圆的半径应为，
∴圆的面积为；
故答案为：；．
【点睛】本题考查了正方形和长方形的基础知识、线段之间的和差关系、完全平方公式、勾股定理、圆的面积公式等内容，解决本题的关键是理解题意、读懂图形、找出两个图形之间的关联、能灵活运用勾股定理等公式求解线段的长等；本题要求学生对图形具有一定的感知能力，有较强的计算能力等，该题蕴含了数形结合等思想方法．
三．解答题（共9小题，共9题，共90分）
15. 若x，y为实数，且，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．
【详解】解：依题意得：，则，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
16. 观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）=________；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
【答案】（1）；
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；
（2）根据已知算式得出规律即可；
（3）原式先变形为，再根据得出的规律进行计算即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
【小问3详解】
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，解题的关键是能根据已知算式得出规律．
17. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，平分交于点F，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，注意证得是解题的关键．由平行四边形的性质和已知条件证明，根据证明，即可得到．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴．
∵平分交于点E，平分交于点F，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
18. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋干的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
【答案】
【解析】
【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得m，利用勾股定理可得，求解即可．
【详解】解：m，m，
m，
在中，，m，
设秋千的绳索长为m，则m，
故，
解得：，
答：绳索的长度是5m．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
19. 如图，已知四边形中，，，，，为边上的一点，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒．

（1）求的长；
（2）若为直角三角形，求的值．
【答案】（1）5 （2）当秒或秒时，为直角三角形．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分、两种情况，根据勾股定理计算．
【小问1详解】
解：，，
，
在中，；
【小问2详解】
解：当时，如下图：

，
，
，
四边形为矩形，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，
则（秒，
当时，如图：

由图：，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，，
当秒或秒时，为直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，及用分类讨论的思想进行解答．
20. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）证明四边形是菱形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力﹒
（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可；
（2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可．
【小问1详解】
解∶，
是的中点，
在与中，
【小问2详解】
由（1）可知，，
是的中点，
四边形是平行四边形，
又为直角三角形，D是的中点，
四边形是菱形．
21. 已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF=，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到DH=AB，进而结论得证；
（2）连接DF，证明，进而结论得证．
【小问1详解】
证明：∵AH是△ABC的高
∴
∵点D为AB中点
∴
∵E、F是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴
∴．
【小问2详解】
证明：如图，连接DF
由（1）得，同理，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、中位线、全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
22. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．
（1）如图，在中，，，，求中边的“中偏度值”；
（2）在中，，，边上的高，求中边的“中偏度值”．
【答案】（1）
（2）6，
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及应用，解答本题的关键是明确题意．
（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可．
（2）分两种情况：当高在内部时，当高在外部时分别计算即可．
【小问1详解】
解：作的中线，

，，，
，
，
，
，
为斜边上的中线，，
，
，
即点到的距离为，
则中边的“中偏度值”为；
小问2详解】
解：①当高在内部时，
作的中线，如下图：

，，，
，，
，
为的中线，
，
，
即点到的距离为，
则中边的“中偏度值”为；
②当高在外部时，
作的中线，如下图：

，，，
，，
，
为的中线，
，
，
即点到的距离为，
则中边的“中偏度值”为；
综上所述，中边的“中偏度值”为6或．
23. 如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
（3）当与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）作于，于，证明，得到；
（2）通过计算发现是中点，点与重合，是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形考虑问题即可；
【小问1详解】
证明：作于，于，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
【小问2详解】
解：如图2中，
在中．，
，
，
点与重合，此时是等腰直角三角形，易知．
小问3详解】
解：①当与的夹角为时，点在边上，，
则，
在四边形中，由四边形内角和定理得：，
②当与的夹角为时，点在的延长线上，，如图3所示：
，，
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．