安徽省合肥市庐阳区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份安徽省合肥市庐阳区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，三月份共生产90台，设二，八年级航天知识竞赛，校务处在七等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 有一个实根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A B. C. D.
4. 若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ）
A. 正五边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形
5. 已知、和的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（ ）个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
6. 某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C D.
7. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ）
A. 中位数为17B. 众数为26C. 平均成绩为20D. 方差为0
8. 如图，在中，于点D，E是中点，且交于点F，已知，，连接，则长（ ）
A. 4B. 5C. D.
9. 如图所示，点O是平行四边形的对称中心，，E，F是边的三等分点；G，H是边的四等分点．若，分别表示和的面积，则下列关系式正确的是（ ）
A B. C. D.
10. 点E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，点P在延长线上，则为（ ）
A. 2B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____________．
12. 若m是方程的一个根，则的值为______．
13. 矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则______．
14. 菱形中，，E是中点，连接，点F是上一动点，G为中点，连接．
（1）______；
（2）若，则的最小值为______．
三、（本大题共2题，每小题8分，共16分）
15. 计算：
16. 解方程：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）判断形状，并说明理由；
（2）求边上的高．
18. 观察下列各式的规律：①；②；③……
（1）按照此规律写出第4个等式：______；
（2）猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性；（的整数）
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 已知关于的一元二次方程
（1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
20. 年月日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，校务处在七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分．单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：．，．，．，．．E．）．
【收集、整理数据】
七年级学生竞赛成绩分别为：
．
八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：．
绘制了不完整的统计图．
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示：
【问题解决】
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，上述表中________，________，八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为___________度；
（2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由；
（3）如果该校七年级有名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数．
六、（本题12分）
21. 已知平行四边形的边延长至点E，使得．连接相交于点O，
（1）当满足什么条件时，四边形为菱形？
（2）求证：当时，四边形为矩形；
七、（本题12分）
22. 合肥某水果店在5月份准备了一批西山枇杷，每盒利润为30元，平均每天可卖50盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利3000元，则每盒枇杷应降价多少元？
八、（本题14分）
23. 正方形，E是的中点，F为射线上一点（不与点B，C重合），连接并延长到点G，使得，连接．过点C作的垂线交直线于点H．
（1）如图①，当点F在线段上时，求证：；
（2）如图②，当点F在线段上时，试说明之间的数量关系；
（3）如图③当点F在的延长线上时，直接写出线段之间的数量关系：______．
2023—2024学年度第二学期八年级质量检测
数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数列出不等式，然后解不等式即可得出答案．
【详解】解：根据题意，得：，
解得：．
故选：B．
2. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 有一个实根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵，
∴，，
故选：D．
3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤，进行配方，判断即可．
【详解】解：，
∴，
∴；
故选B．
4. 若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ）
A. 正五边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形
【答案】C
【解析】
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【详解】解：这个正多边形的边数：360°÷45°=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
5. 已知的、和的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（ ）个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查直角三角形判定，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，以及勾股定理逆定理，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形；故①正确；
∵，
设，
∵，
∴是直角三角形；故②正确；
∵，，
∴，
∴是直角三角形；故③正确；
∵，
∴，
∴是直角三角形；故④正确；
∵，，，
∴，
∴是直角三角形；故⑤正确；
故选D．
6. 某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关系式：原有台数×(1+增长率)=现有台数，可分别求得二、三月份的机器台数，从而可得方程．
【详解】由题意知，二月份生产机器台数为：20(1+x)台，三月份生产机器台数为：20(1+x)2台，根据二、三月份计划共生产90台可得方程：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握好关系式：原有台数×(1+增长率)=现有台数．
7. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ）
A. 中位数为17B. 众数为26C. 平均成绩为20D. 方差为0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、平均数和方差概念．根据中位数、众数、平均数和方差概念即可解答．
【详解】解：A选项：将这组数据从小到大排列为：17、19、22、26、26、30、35，
从中可以看出，一共7个数据，第4个数据为26，所以这组数据的中位数为26；
B选项：这组数据中26出现的次数最多，所以这组数据的众数为26；
C选项：（个），所以这组数据的平均数为25；
D选项：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于0时，这组7个数据应相同，不符合题意；
故选：B．
8. 如图，在中，于点D，E是中点，且交于点F，已知，，连接，则长（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查斜边上的中线，三线合一，勾股定理．斜边上的中线得到，，得到，三线合一，结合勾股定理，进行求解即可．
【详解】解：∵，E是中点，，
∴，，
∴，
∴；
故选B．
9. 如图所示，点O是平行四边形的对称中心，，E，F是边的三等分点；G，H是边的四等分点．若，分别表示和的面积，则下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据三等分点可得，；再结合点是的对称中心可得 ，即可求解．
【详解】解：连接，则必过点，如图所示：
∵，是边的三等分点，
∴，
∵G，H是边的四等分点，
∴，
∵点O是的对称中心，
∴
∴，
∴；
故选A．
10. 点E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，点P在延长线上，则为（ ）
A 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作，交于点，交于点，易得四边形，四边形均为矩形，，均为等腰直角三角形，得到，证明，得到，进而得到，即可得出结果．
【详解】解：过点作，交于点，交于点，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，
∴，均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义：几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式叫做同类二次根式，进行计算即可．
【详解】解：，
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：；
故答案为：2．
【点睛】本题考查同类二次根式的定义．熟练掌握同类二次根式的定义，是解题的关键．
12. 若m是方程的一个根，则的值为______．
【答案】2025
【解析】
【分析】根据m是方程的一个根，可得，据此即可解答．
【详解】解：m是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用方程的根求代数式的值，得到是解决本题的关键．
13. 矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据矩形和折叠的性质，得到四边形为正方形，求出，设，在中，利用勾股定理求出的值，进一步求出的长即可．
【详解】解：∵矩形第一次沿折叠得到四边形，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∵第二次沿折叠，使得点C与点F重合，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：．
14. 菱形中，，E是中点，连接，点F是上一动点，G为中点，连接．
（1）______；
（2）若，则的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）连接，证明为等边三角形，三线合一，即可得出结果；
（2）取的中点，的中点，连接，，根据三角形的中位线定理，推出点在上运动，当时，最小，进行求解即可．
【详解】解：（1）连接，
∵菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵E是中点，
∴平分，
∴；
故答案为：；
（2）取中点，的中点，连接，
则：，，
∴三点共线，
∴点在线段上运动，
∴当时，最小，
∵菱形，
∴，，，
由（1）知：为等边三角形，
∵E是中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同法可得：，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的运动轨迹，是解题的关键．
三、（本大题共2题，每小题8分，共16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘除运算，去绝对值运算，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式．
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【详解】解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求边上的高．
【答案】（1）是直角三角形；理由见解析
（2）边上的高为2
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理：
（1）勾股定理求出三边长，勾股定理逆定理，判断三角形形状即可；
（2）等积法求高即可．
【小问1详解】
解：是直角三角形；理由如下：
由勾股定理，得：，
∴，
∴是直角三角形；
【小问2详解】
设边上的高为，
∵，
∴，
∴；
即：边上的高为2．
18. 观察下列各式的规律：①；②；③……
（1）按照此规律写出第4个等式：______；
（2）猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性；（的整数）
【答案】（1）
（2），说明见解析
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究：
（1）根据题干给定的等式，写出第四个等式即可；
（2）根据给定的等式，猜想出第个等式，再证明即可
【小问1详解】
解：，
，
，
∴第4个等式为：；
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）可知：，证明如下：
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 已知关于的一元二次方程
（1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
【答案】（1）见解析 （2），另一个根为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系；
（1）通过计算判别式的值得到，从而可判断方程根的情况；
（2）把代入方程可求的值，根据根与系数的关系得到方程的另一个根．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
当时，，
解得，
根据根与系数的关系可得：，
∵，
∴
20. 年月日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，校务处在七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分．单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：．，．，．，．．E．）．
【收集、整理数据】
七年级学生竞赛成绩分别为：
．
八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：．
绘制了不完整的统计图．
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示：
【问题解决】
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，上述表中________，________，八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为___________度；
（2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由；
（3）如果该校七年级有名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数．
【答案】（1）补图见解析，，，；
（2）七年级学生成绩好，理由见解析；
（3）名．
【解析】
【分析】（）根据频数分布直方图求出，即可补全频数分布直方图，根据中位数、众数的定义即可求出的值，求出八年级学生成绩在组的人数，用乘以其占比即可求解；
（）根据平均数、中位数、众数判定即可；
（）用乘以七年级竞赛成绩不低于分的学生人数的占比即可求解；
本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键．
【小问1详解】
解：七年级抽取的名学生的竞赛成绩在组的人数为：名，
∴补全频数分布直方图如图：
八年级在组的学生有名，
∵八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：，
∴第名和第名学生的竞赛成绩为，
∴，
∵七年级中抽取的名学生的竞赛成绩中分的最多，
∴，
∵八年级学生成绩在组的学生数为名，
∴八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：七年级学生成绩好．
理由：七年级学生成绩平均数、中位数、众数均高于八年级学生成绩，所以七年级学生成绩好．
【小问3详解】
解：，
答：估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数为名．
六、（本题12分）
21. 已知平行四边形的边延长至点E，使得．连接相交于点O，
（1）当满足什么条件时，四边形菱形？
（2）求证：当时，四边形矩形；
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）先证明四边形为平行四边形，根据，结合平行线的性质，推出，即可得出四边形为菱形；
（2）先根据平行线的性质，得到，进而得到，三角形的外角，推出，得到，进而得到，即可得证．
【小问1详解】
当时，四边形为菱形，理由如下：
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵平行四边形的边延长至点E，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形；
【小问2详解】
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形．
七、（本题12分）
22. 合肥某水果店在5月份准备了一批西山枇杷，每盒利润为30元，平均每天可卖50盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利3000元，则每盒枇杷应降价多少元？
【答案】每盒枇杷应降价元．
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每盒枇杷应降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设每盒枇杷应降价元，由题意，得：
，
解得：或，
∵尽快减少库存，
∴；
答：每盒枇杷应降价元．
八、（本题14分）
23. 正方形，E是的中点，F为射线上一点（不与点B，C重合），连接并延长到点G，使得，连接．过点C作的垂线交直线于点H．
（1）如图①，当点F在线段上时，求证：；
（2）如图②，当点F在线段上时，试说明之间的数量关系；
（3）如图③当点F在的延长线上时，直接写出线段之间的数量关系：______．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
（1）过点作，先证明，得到，再证明，即可得出结论；
（2）过点作，证明，得到，，再证明，得到，根据结合等量代换即可得出结论；
（3）过点作，同法（2）即可得出结论．
【小问1详解】
证明：过点作，则：，
∵正方形，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
过点作，则：，
同（1）法可证：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
过点作，
同法可证：，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．年级
平均数
中位数
众数
七年级
八年级
年级
平均数
中位数
众数
七年级
八年级