安徽省合肥市庐江县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份安徽省合肥市庐江县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分．请将每小题唯一正确选项前的代号填入下面的答题栏内．）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，6，7
3. 甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 将正比例函数的图象向下平移2个单位，则平移后所得直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是
A. ，B. ，
C. ，D. ，
7. 如图，直线交坐标轴于A、B两点，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，△ABC的周长为20，点D,E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=8，则MN的长度为（）

A. B. 2C. D. 3
9. 点P是矩形内一点，且满足，，，则的值为（ ）
A. 3B. 5C. D.
10. 如图（1），四边形中，，，P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图象如图（2）所示，当P运动时间秒时，的面积为（ ）

A. B. C. 4D. 5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如果有意义，那么x的取值范围是__________．
12. 写一个y关于x一次函数解析式，它的图象不经过第三象限，这个解析式为__________．
13. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为__________．
14. 如图，在中，，，，E为斜边边上的一动点，以，为边作平行四边形．
（1）长为________．
（2）线段长度的最小值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 在数学活动课上，于老师要求学生在的正方形网格中（小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，画出两个图形，并使其斜边为（所画图形全等的只算一种）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图所示，在平行四边形中，，垂足分别．求证：．
18. 已知中，，，边上的高，求边的长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 观察下列等式，解决下列问题：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：……
（1）第四个等式为： ；
（2）请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明．
20. 某商店销售一种产品，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
六、（本题满分12分）
21. 在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1000名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成如图的条形统计图：
（1）这50个样本数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）求这50个样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估算该校1000名学生大约有多少人参加了不少于4次的实践活动．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于F，，．
（1）如图（1），求证：四边形是菱形；
（2）如图（2），若，连接求证：是等边三角形；
（3）如图（3），若，M是的中点，连接求的值．
八、（本题满分14分）
23. 已知，如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴于点A，交y轴于点B，线段垂直平分线分别交x轴于点C，交y轴于点D，交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）平面内是否存在点F，使得以B、C、D、F为顶点四边形是平行四边形，若存在，直接写出点F的坐标．
2023～2024学年度第二学期期末教学质量抽测
八年级数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分．请将每小题唯一正确选项前的代号填入下面的答题栏内．）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解题关键是正确理解最简二次根式的概念．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、是最简根式，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：C．
2. 以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，6，7
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析判断即可．
【详解】 不能构成直角三角形，故A选项错误；
可以构成直角三角形，故B选项正确；
不能构成直角三角形，故C选项错误；
不能构成直角三角形，故D选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3. 甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解，熟知方差的意义是解题的关键．
【详解】解：∵，，，，
又∵，
∴最小，
∴射击成绩最稳定的是乙，
故选：B．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查二次根式的加法和乘法运算，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则．
各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】A． 原式不能合并，不符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，不符合题意；
D． ，符合题意，
故选D．
5. 将正比例函数的图象向下平移2个单位，则平移后所得直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，由函数平移的规律，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
【详解】解：∵将正比例函数的图象向下平移2个单位，
∴平移后所得直线的解析式为，
故选：A．
6. 已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】平行四边形的判定定理:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形,(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形,(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形,根据平行四边形的判定即可解答.
【详解】A选项, ,,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,能判定四边形ABCD是平行四边形,
B选项 ,不能判定四边形是平行四边形,
C选项,,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,能判定四边形ABCD是平行四边形,
D选项,,根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形,
故选B.
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理,解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的判定定理.
7. 如图，直线交坐标轴于A、B两点，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值小于0的解集是轴下方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．
看在轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
【详解】由图象可以看出，轴下方的函数图象所对应自变量的取值为，
故不等式的解集是．
故选A．
8. 如图，△ABC的周长为20，点D,E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=8，则MN的长度为（）

A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA）
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∴DE＝BE＋CD−BC＝BA＋CA−BC＝20−8−8＝4，
∵AN＝NE，AM＝MD，
∴MN＝DE＝2，
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9. 点P是矩形内一点，且满足，，，则的值为（ ）
A. 3B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
过点向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为，根据题意，设，则有勾股定理，分别求得，根据已知数据以及，进而即可求得的长．
【详解】过点向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为，如图，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
设，
则，
，
，，，
．
故选：D．
10. 如图（1），四边形中，，，P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图象如图（2）所示，当P运动时间秒时，的面积为（ ）

A. B. C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，根据题意可得，，，根据图象可求出的长，当时，求得，设点在上运动时，S关于t的函数解析式为：，把点，代入，S关于t的函数解析式为：，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得：四边形是梯形，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴时，，
设点在上运动时，S关于t的函数解析式为：，
把点，代入得：
，
解得：，
∴S关于t的函数解析式为：，
∴当时，，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如果有意义，那么x的取值范围是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求解，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
故答案为：．
12. 写一个y关于x的一次函数解析式，它的图象不经过第三象限，这个解析式为__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据不经过第三象限的图象特征即可求解，关键是掌握一次函数中各系数对函数图象的影响．
【详解】解：设y关于x的一次函数解析式为：，
∵关于的一次函数的图象不经过第三象限，
∴，
∴这个一次函数可以：，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
【详解】解：∵大正方形面积是14，
∴，
∴，
∵小正方形的面积是2，
∴直角三角形的面积为，
又∵直角三角形的面积为，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，，E为斜边边上的一动点，以，为边作平行四边形．
（1）的长为________．
（2）线段长度的最小值为______．
【答案】 ①. 10 ②.
【解析】
【分析】（1）直接根据勾股定理即可求解；（2）过点C作CFDE交AB于F，则四边形DCFE是平行四边形，CF⊥AB时，CF的值最小，即DE最小．
【详解】（1）在Rt△ABC中，，，，
∴ ．
故答案为:10．
（2）过点C作CFDE交AB于F，
∵四边形是平行四边形
∴DCAB
∴DCEF
∴四边形DCFE是平行四边形
∴DE=CF
当CF⊥AB时，CF的长度最小，
∵
∴即
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，运用“点到直线的距离垂线段最小”是解题的关键，另外本题用到等面积法，是初中数学常用方法．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，再计算二次根式的乘法与加减法即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【详解】解：
．
16. 在数学活动课上，于老师要求学生在的正方形网格中（小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，画出两个图形，并使其斜边为（所画图形全等的只算一种）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据勾股定理及其逆定理，并利用数形结合的思想画出图形即可．
【详解】解：如图，△ABC，△DEF，△GHI即为所求．
理由：在△ABC中，
，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
在△DEF中，
，
∴，
∴△DEF为直角三角形；
在△GHI中，
，
∴，
∴△GHI为直角三角形．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图所示，在平行四边形中，，垂足分别为．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形性质、三角形全等的判定与性质等知识，先由平行四边形的性质得到相关边与角度的关系，再由三角形全等的判定与性质即可得证，熟练掌握平行四边形性质、三角形全等的判定与性质等知识是解决问题的关键．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
18. 已知中，，，边上高，求边的长．
【答案】的长为或．
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况讨论：①当为锐角三角形时，②当为钝角三角形时，根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当为锐角三角形时，如图：
∵，
∴，
∵，，
在中，，
在中，，
∴；
②当为钝角三角形时，如图：
∵，
∴，
∵，，
在中，，
在中，，
∴，
综上所述，的长为或．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 观察下列等式，解决下列问题：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：……
（1）第四个等式为： ；
（2）请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明．
【答案】（1）
（2）；证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简及应用，实数的规律探索；
（1）根据题目规律直接得出答案即可；
（2）由题意得第n个等式为：，然后根据二次根式的性质化简证明即可；
准确找出运算规律及熟练二次根式的化简是关键．
【小问1详解】
解：由题意得第四个等式为：
故答案为：
【小问2详解】
第n个等式：
20. 某商店销售一种产品，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，
根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线、的函数关系式，联立两函数关系式成方程组可求出点的坐标，结合点的横坐标，即可找出与之间的函数关系式；
利用待定系数法求出每段线段所在直线的表达式是关键．
【详解】解：设直线的函数关系式为，
将代入，
得：，
解得：．
直线的函数关系式为．
设直线的函数关系式为，
∵线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．
∴第25天的日销量是325件
故直线经过点
将、代入，
，
解得：，
直线的函数关系式为．
联立两函数解析式成方程组，
，
解得：，
点的坐标为．
与之间的函数关系式为．
六、（本题满分12分）
21. 在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1000名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成如图的条形统计图：
（1）这50个样本数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）求这50个样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估算该校1000名学生大约有多少人参加了不少于4次的实践活动．
【答案】（1）3，4 （2）3.3
（3）460
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
（1）根据众数的定义和中位数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；
（3）利用样本估计总体的方法，用百分比即可．
【小问1详解】
∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是4次．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，次，
∴这组数据的中位数是3次；
【小问2详解】
观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数：次；
【小问3详解】
（人）
∴该校学生共参加4次活动约为460人．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于F，，．
（1）如图（1），求证：四边形是菱形；
（2）如图（2），若，连接求证：是等边三角形；
（3）如图（3），若，M是的中点，连接求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再证明四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出，再判断出，进而得出是等边三角形；
（3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解．
【小问1详解】
解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形为菱形；
【小问2详解】
证明：如图2，连接
四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
由（1）知，四边形是菱形，
，，
，，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形；
【小问3详解】
如图3中，连接，，
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，
，
四边形为正方形．
，
，
为中点，
，
，
在和中，
，
，
，
．
，
是等腰直角三角形．
设，
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
八、（本题满分14分）
23. 已知，如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴于点A，交y轴于点B，线段的垂直平分线分别交x轴于点C，交y轴于点D，交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）平面内是否存在点F，使得以B、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点F的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或或．
【解析】
【分析】（1）首先求出，，然后得到点E是的中点，然后利用中点坐标公式求解即可；
（2）设，根据垂直平分，得到，然后列方程求出，得到，然后利用待定系数法求解即可；
（3）首先求出，设，然后根据题意分3种情况讨论，分别根据平行四边形性质列方程组求解即可．
【小问1详解】
∵
∴当时，
∴
∴当时，
∴
∴
∵垂直平分
∴点E是的中点
∴点E的坐标为；
【小问2详解】
∵点C在x轴上
∴设
∴，
∵垂直平分
∴
∴
解得
∴
∴设直线的解析式为
∴
解得
∴直线的解析式为；
【小问3详解】
∵直线的解析式为，点D在y轴上
∴当时，
∴
∵以B、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，，
∴设
当，C是以B、C、D、F为顶点的平行四边形的对角顶点时，
∴，解得
∴；
当D，C是以B、C、D、F为顶点的平行四边形的对角顶点时，
∴，解得
∴；
当B，D是以B、C、D、F为顶点的平行四边形的对角顶点时，
∴，解得
∴；
综上所述，点F的坐标为或或．
【点睛】此题考查了一次函数和几何综合题，垂直平分线的性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．