安徽省合肥市部分学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省合肥市部分学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
亲爱的同学，你拿到的试卷共四大题，满分150分，时间120分钟．希望你仔细审题，认真作答，遇到困难时请不要轻易放弃相信你一定会取得好成绩．
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列式子有意义的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 估算的结果在（ ）
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
4. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C D.
5. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）．
A. B. C. D.
6. 以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A 3，4，6B. 12，18，22
C. ，，D. 8，15，17
7. 如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（ ）
A B. C. D.
8. 把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（ ）
A B.
C. D.
10. 如图1，在中，．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线的最低点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
11. 某市实施科技强市的战略，为加强科技基础研究能力，逐步加大了对科研经费的投入，2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为______．
12. 若两个最简二次根式与可以合并，则________．
13. 如图，已知，则数轴上点B所表示的数是____________．
14. 有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为______．
三、计算题（本大题共2小题，共16分）
15. 解一元二次方程：.
16. 计算：．
四、解答题（本大题共7小题，共74分）
17. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
①使三角形的三边长分别为3、、（在图1中画一个即可）；
②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图2中画一个即可）．
18. 如图，是的高，．求的长和的面积．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值．
20. 如图，四边形中，，，，．求的度数．
21. 某超市将进货价为20元的玻璃杯以25元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种玻璃杯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月5500元的销售利润，超市决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种玻璃杯的售价应定为多少元?
22. 【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方；
（2）请运用小明的方法化简：．
【变式探究】（3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值．
23. 如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒．
（1）求的长；
（2）用含t的代数式表示的长；
（3）在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积；
（4）点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值．
2023﹣2024学年度第二学期八年级期中考试数学试题卷
温馨提示：
亲爱的同学，你拿到的试卷共四大题，满分150分，时间120分钟．希望你仔细审题，认真作答，遇到困难时请不要轻易放弃相信你一定会取得好成绩．
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列式子有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数，逐项排除即可，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
【详解】解：、无意义，此选项不符合题意；
、无意义，此选项不符合题意；
、原式，此选项符合题意；
、无意义，此选项不符合题意；
故选：．
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、是二次根式，故本选项符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
3. 估算的结果在（ ）
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，先利用二次根式的乘法法则进行计算，然后再估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴估算的结果在和之间．
故选：C．
4. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．本题根据一元二次方程的定义解答．
【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、不是整式方程，故错误．
C、方程二次项系数可能为，故错误；
D、方程含有两个未知数，故错误；
故选A
5. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项、再配方即可解答；掌握配方法的步骤是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
．
故选B．
6. 以下列各组数为边长三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，6B. 12，18，22
C. ，，D. 8，15，17
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、，故不是直角三角形，不符合题意；
B、，故不是直角三角形，不符合题意；
C、，故不是直角三角形，不符合题意；
D、，故是直角三角形，符合题意．
故选：D．
7. 如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
为中点，且交于点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
8. 把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，整式的加减运算，二次根式加减运算等知识，根据题意列出关系式，去括号合并同类二次根式即可得到结果，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
【详解】解：设图1小长方形卡片的长为，宽为，根据题意得，
则图2中两块阴影部分周长和是
，
故选：D．
9. 已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算．
【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，，
∴方程变形为：，
即或，
解得：或，
故选：D．
10. 如图1，在中，．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线的最低点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．作，当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时，当动点P运动到点时，运动结束，此时，根据直角三角形的性质结合勾股定理求解即可．
【详解】解：作，垂足为，
当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时点P运动的路程为，即，
当动点P运动到点时，运动结束，线段的长度就是的长度，此时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：C．
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
11. 某市实施科技强市的战略，为加强科技基础研究能力，逐步加大了对科研经费的投入，2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率的应用，解题的关键是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
【详解】解：设科研经费投入的年平均增长率为，
∵2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为x，
根据题意可列方程为，
故答案为：．
12. 若两个最简二次根式与可以合并，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，同类二次根式的定义，根据两个二次根式可以合并，可得，再解方程即可．
详解】解：由题意，得，
解得．
故答案为：
13. 如图，已知，则数轴上点B所表示的数是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数轴上的实数，勾股定理，根据勾股定理求出的长，利用，即可得到的长，进而得出最后结果．
【详解】解：如图，

，
，
，
，
，
，
则数轴上点B所表示的数是，
故答案为：．
14. 有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，小虫沿着的路线爬行时路程最短．
在直角中，，
∴
∴最短路线长为cm.
故答案为：．
三、计算题（本大题共2小题，共16分）
15. 解一元二次方程：.
【答案】，.
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法，得，即可作答．
【详解】解：，
，
或，
解得，.
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，按照二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
四、解答题（本大题共7小题，共74分）
17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
①使三角形的三边长分别为3、、（在图1中画一个即可）；
②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图2中画一个即可）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）利用数形结合的思想作出，使得，，即可；
（2）作出底为2，高为4的钝角三角形即可．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求．
．
18. 如图，是的高，．求的长和的面积．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，三角形的面积的计算，先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：是的高，
，
在Rt中，由勾股定理得
即
，
，
，
，
的面积为：．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）若一元二次方程两根为，，且满足，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）5或
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根,还考查了一元二次方程根与系数关系．
（1）利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把，转换为，然后利用前面的等式即可得到关于的方程，解方程即可求出结果．
【小问1详解】
证明：△
；
又，
，
无论取任何实数，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：，，，
，
，
整理得，
解得：，
故的值为5或．
20. 如图，四边形中，，，，．求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，计算即可．本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．
【详解】连接，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
21. 某超市将进货价为20元的玻璃杯以25元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种玻璃杯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月5500元的销售利润，超市决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种玻璃杯的售价应定为多少元?
【答案】这种玻璃杯的售价应定为元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程在营销问题上的应用，解题的关键在于列出售价与利润之间的关系式，但是要注意，题意中的要求，为了扩大销售量，减少库存，所以在相同利润的情况下，应选取售价较低，销售量较高的方案．
【详解】解：设这种玻璃杯的售价应定为元，根据题意列方程为：
，
解得：或，
当时，销售量为个；
当时，销售量为个，
∵，
∴应舍去．
答：这种玻璃杯的售价应定为元．
22. 【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方；
（2）请运用小明的方法化简：．
【变式探究】（3）若，且a，m，n均为正整数，求a值．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，
（1）将7看成是，则，由此求解即可；
（2）将11看成是，则，由此求解即可；
（3）根据，可以得到，或，再根据a，m，n均为正整数，则，或，，由此求解即可．
【详解】解：（1）
（2）
（3）∵，，
∴，，
∵a，m，n均为正整数，
∴，
∴或．
23. 如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒．
（1）求的长；
（2）用含t的代数式表示的长；
（3）在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积；
（4）点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）3 （2）当时，；当时，；
（3）的面积为或；
（4）或或．
【解析】
【分析】（1）利用等面积法即可求出的长；
（2）利用勾股定理算出，再根据动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，分别讨论①当点P在上运动时，②当点P在上运动时，根据上述两种情况表示出的长即可；
（3）本题根据不再添加其他辅助线的情况下，图中存在等腰直角三角形，分以下两种情况讨论，①当点P在上运动，为等腰直角三角形时，②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时，再根据等腰直角三角形性质进行分析求解，即可解题．
（4）本题根据点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，可分以下情况讨论，①为等腰三角形，， ②为等腰三角形，， ③为等腰三角形，，再根据等腰三角形性质进行分析，建立等式求解，即可解题．
【小问1详解】
解：，的面积为，是边上的高，
，
，解得;
【小问2详解】
解：，，
，
动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，
①当点P在上运动时（即时），
有，
，
②当点P在上运动时（即时），
，
综上所述，当时，；当时，；
【小问3详解】
解：①当点P在上运动，为等腰直角三角形时，
有，
，解得，
，
，
的面积为：；
②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时，
有，
，
，
，
，
的面积为：；
综上所述，的面积为或；
【小问4详解】
解：点P在上运动，图中存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况：
①为等腰三角形，，
，
，
，
秒，
②为等腰三角形，，
，
整理得，解得（不合题意，舍去），，
③为等腰三角形，，
即，解得．
综上所述，或或．
【点睛】本题考查几何图形的动点问题，勾股定理，等面积法求高，列代数式相关知识，等腰三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论思想，从多方面考虑不同情况的下满足的条件．