安徽省合肥市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省合肥市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 5，12，13B. 1，2，3C. 3，3，3D. 4，5，6
3. 一个六边形的内角和等于（ ）
A. 360°B. 480°C. 720°D. 1080°
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 将方程配方后，原方程变形为（ ）
A. B. C. D.
6. 一元二次方程两个根分别是，，则的值是（ ）
A. 3B. C. D.
7. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 中、、的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A. 如果，则是直角三角形．
B. 如果，则是直角三角形，且．
C. 如果，则直角三角形．
D. 如果，则是直角三角形．
9. 如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（n为正整数），若M点的坐标是，的坐标是，则的坐标为（ ）
A B. C. D.
10. 在中，，若，，则AC的长为（ ）
A. 2.5B. 4C. 3D. 2.7
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
12. 计算的结果是________．
13. 如果关于x的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是________．
14. 已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝___．
15. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：
“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）
设木杆长尺，依题意，列方程是__________．
16. 已知中，中线，，，则的面积是______．
三、解答题（本题共6小题，共52分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
18. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它两边长是有理数，另外一边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
20. 某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是55元时，销售量是50件，而单价每降低1元，就可以多售4件．请你帮助分析，销售单价下降多少元时，可以获利1800元？
21. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．
（1）问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
（2）是否存在这样的时刻，使=8cm2，试说明理由．
22. 如图，四边形中，，对角线相交于点O，且垂直平分，过A点作交点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
四、附加题：（本题5分，答对计入总分，但满分不超过100分）
23. 已知实数且分别满足方程和方程，则代数式的值为________．
2023-2024学年第二学期期中教学质量检测八年级数学试题卷
时间：100分钟 满分：100分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
B、是最简二次根式，此项符合题意；
C、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
D、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．
2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 5，12，13B. 1，2，3C. 3，3，3D. 4，5，6
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得．
【详解】A、，可以构成直角三角形，则此项符合题意；
B、，不可以构成三角形，则此项不符题意；
C、，不可以构成直角三角形，则此项不符题意；
D、，不可以构成直角三角形，则此项不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
3. 一个六边形的内角和等于（ ）
A. 360°B. 480°C. 720°D. 1080°
【答案】C
【解析】
【分析】根据n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，即可求得六边形的内角和．
【详解】解：六边形的内角和是（6-2）×180°=720°．
故选：C．
【点睛】本题考查了对于多边形内角和定理的识记．解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式．
4. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可．
【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
5. 将方程配方后，原方程变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程移项，配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程变形得：，
配方得：，
即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
6. 一元二次方程的两个根分别是，，则的值是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可得、，将整理为，最后代入计算即可解答．
【详解】解：根据题意，得、，
∴
，
故选：A．
7. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意列得方程是解题的关键．设教育经费的年平均增长率为x，则2023年投入亿元，2024年投入亿元，由此得到方程．
【详解】解：根据题意，得，
故选：A．
8. 中、、的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A. 如果，则是直角三角形．
B. 如果，则是直角三角形，且．
C. 如果，则是直角三角形．
D. 如果，则是直角三角形．
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形的内角和定理可判断A，D，由勾股定理的逆定理可判断B，C，从而可得答案．
【详解】解：A、若，则，则是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意．
B、若，则，则是直角三角形，且，原来命题是假命题，故本选项符合题意；
C、若，则，即，则是直角三角形，且，是真命题；故本选项不符合题意．
D、若，则，则是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查命题与定理，三角形的内角和定理的应用，直角三角形的定义，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，属于中考常考题型．
9. 如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（n为正整数），若M点的坐标是，的坐标是，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：∵M点的坐标是，的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴根据图形可发现第一个等腰直角三角形的直角边为1，第二个等腰直角三角形的边长为，，第个等腰直角三角形的边长为，
第7个等腰直角三角形的边长为，
∴由图可知，
∴；
故选D
10. 在中，，若，，则AC的长为（ ）
A. 2.5B. 4C. 3D. 2.7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，解一元二次方程，作辅助线构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．
延长到D，使，连接，过C作于H，根据三角形外角性质和等腰三角形的判定和性质证，，根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】延长到D，使，连接，过C作于H，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
∴
即，
解得：（舍去），，
∴．
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式及不等式组，求出x的取值范围即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得：，
故答案为：．
12. 计算的结果是________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据平方差公式计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：5．
13. 如果关于x的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解．根据关于的一元二次方程的一个解是，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值整体代入，即可解答本题．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是，
，
，
．
故答案为：．
14. 已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝___．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次根式意义，结合题意，求出一个符合题意的值，即可．
【详解】解：∵当n=2时，=，
∴n=2符合题意，
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查二次根式，掌握二次根式被开方数是非负数以及二次根式的意义，是解题的关键．
15. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：
“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）
设木杆长尺，依题意，列方程是__________．
【答案】．
【解析】
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程．
【详解】解：如图，设木杆AB长为尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有尺，
在Rt中，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
16. 已知中，中线，，，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，完全平方公式，掌握相关的知识是解题的关键．
先根据中线的定义和等腰三角形的性质证明三角形是直角三角形，再利用勾股定理和完全平方公式求解即可．
【详解】如图所示，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
∵，，
∴，
∴，
．
故答案为：．
三、解答题（本题共6小题，共52分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程，掌握相关的运算法则是解题的关键．
（1）先算乘法，同时化简二次根式和绝对值，再算加减法；
（2）先整理为一般形式，再把方程左边提公因式，用因式分解法求解．
【详解】（1）原式．
（2）．
．
．
或．
∴，．
18. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）作出边长分别为3，4，5的三角形即可．
（2）根据要求作出图形即可．
（3）根据要求作出图形即可．
【详解】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（3）如图3中，△ACB即所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【详解】（1）由于方程有两个相等的实数根，所以可据根的判别式来确定m的值；（2）根据根与系数的关系来确定m的值，最后要根据判别式来取舍m的值．
解：（1）由题意得：，
∴
解得：，
∴ 的值为或
（2）由题意得：
∴
即：
解得：，
当时，
∴舍去
当时，
∴的值为10.
20. 某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是55元时，销售量是50件，而单价每降低1元，就可以多售4件．请你帮助分析，销售单价下降多少元时，可以获利1800元？
【答案】当售价为10元或7.5元时，可获利1800元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
降价x元时，则每件获利元，每天的销售量为件，根据获利1800元建立方程，求解即可．
【详解】解：设降价x元时，可获利1800元，则
，
化简得，
解得，，
答：当售价为10元或7.5元时，可获利1800元．
21. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．
（1）问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
（2）是否存在这样的时刻，使=8cm2，试说明理由．
【答案】（1）2秒或4秒；（2）不存在．
【解析】
【详解】试题分析：（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8cm2列式求值即可；
（2）设出发秒x时△DPQ的面积等于8平方厘米，由三角形的面积公式列出方程，再由根的判别式判断方程是否有解即可．
试题解析：解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm2．
则AP=x，QB=2x，∴PB=6﹣x，∴×（6﹣x）2x=8，解得，．
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2；
（2）设出发秒x时△DPQ的面积等于8cm2．∵S矩形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=S△DPQ，∴12×6﹣×12x﹣×2x（6﹣x）﹣×6×（12﹣2x）=8，化简整理得：，∵△=36﹣4×28=﹣76＜0，∴原方程无解，∴不存在这样的时刻，使S△PDQ=8cm2．
考点：1．矩形的性质；2．勾股定理；3．动点型．
22. 如图，四边形中，，对角线相交于点O，且垂直平分，过A点作交点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质，得出，结合，得出，因为垂直平分线的性质，得出，即可作答．
（2）作于点F，由等腰三角形的性质，得出，根据勾股定理列式，得出，运用因式分解法解方程，即可作答．
小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵垂直平分，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，作于点F，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
四、附加题：（本题5分，答对计入总分，但满分不超过100分）
23. 已知实数且分别满足方程和方程，则代数式的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的有关系，构造以a和为根的一元二次方程是解题的关键．
先将方程转化为，即可得出a和为一元二次方程的两根，再用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：由题意得，将方程两边同时除以得，
∵，
∴，
∴a和为一元二次方程的两根，
∴，，
∴．