七年级（下）期中数学试卷（一）（考查范围：第1~3章）（北师大版2025）

这是一份七年级（下）期中数学试卷（一）（考查范围：第1~3章）（北师大版2025），共28页。
考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第1~3章
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级·黑龙江绥化·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．2ab3=2a3b3B．a8÷a2=a4
C．a2+a2=a4D．−a4⋅−a5=a9
2．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）运动员掷铅球时，下列图象能近似地刻画铅球的高度y与水平距离x的关系的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）（24-25七年级·江苏徐州·期末）如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4
C．∠B=∠5D．∠B+∠BCD=180°
4．（3分）（24-25七年级·福建泉州·期中）若x+y=−3，xy=1，则代数式(1+x)(1+y)的值等于( )
A．−1B．0C．1D．2
5．（3分）（24-25七年级·山西晋中·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若∠2=25°，∠3=60°，则∠1的度数为（ ）
A．125°B．130°C．135°D．145°
6．（3分）（24-25七年级·福建厦门·阶段练习）已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．a>d>b>c
7．（3分）（24-25七年级·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg之间的关系如下表所示：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10cm
C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为8kg时，弹簧的长度为24.5cm
8．（3分）（24-25七年级·浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：a1，a2，a3，…，an，…（n为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知a2=m2，a4=1mm≠0，a1−a4=5，那么a2024+a2027=（ ）
A．24B．27C．31D．36
9．（3分）（24-25七年级·四川乐山·期末）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释a+bn（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如a+b2=a2+2ab+b2的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现a+bn（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：
①x−12025的计算结果中x2024项的系数为−2025；
②x−12025的计算结果中各项系数的绝对值之和为22025；
③当x=−3时，x−12025的计算结果为−24050；
④当x=2024，x−12025除以2024，余数为2023．
上述结论正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②③④
10．（3分）（24-25七年级·重庆北碚·期中）如图，已知AB∥CD，∠BEH=∠CFG，EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，FK⊥FJ，则下列说法正确的有（ ）个．
①EH∥GF
②∠CFK=∠H
③FJ平分∠GFD
④∠AEI+∠GFK=90°
A．4B．3C．2D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·浙江·阶段练习）若要使 x²+ax+5⋅−6x³+6x⁴的展开式中不含x4的项，则常数a的值为 ．
12．（3分）（24-25七年级·山东东营·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg之间的关系如下表所示：
在弹性限度内，当所挂物体的质量为7kg时，弹簧的长度为 cm．
13．（3分）（24-25七年级·山东日照·期中）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE，OF为射线，∠AOE=90°，OF平分∠AOC，∠AOF+∠BOD=57°，则∠EOD的度数为 ．
14．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·专题练习）如图①，在长方形ABCD中，E为边DC上一点．现有点P以1cm/s的速度沿A→B→C→E运动，到达点E停止．△AEP的面积y（单位：cm2）与点P运动的时间t（单位：s）的关系图像如图②所示，则a的值为 ．
15．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1=70°，那么∠2的度数是 ．
16．（3分）（24-25七年级·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AD和BC上，且∠EFC=49°，H和G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF、GH折叠至点N，M，P，K处，若MN∥PK，则∠KHD的度数为 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级·陕西西安·期末）如图，在△DEF中，过点E作直线AB，C为DF上一点，连接BC交EF于点G，且DE∥CB，∠B=∠D．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠B+∠F=102°，求∠DEF的度数．
18．（6分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位的变化情况如表：
(1)上表反映了_____________和_____________之间的关系，自变量是_____________，因变量是_____________；
(2)20h时，水位是_____________m；
(3)_____________h至_____________h水位上升最快．
19．（8分）（24-25七年级·上海杨浦·期中）如果10b=n．那么称b为n的劳格数，记为b=dn，由定义可知，10b=n和b=dn所表示的b、n两个量之间具有同一关系．
(1)根据定义，填空：d10=______．
(2)劳格数有如下性质：dmn=dm+dn，dmn=dm−dn，根据运算性质。回答问题：
①da2da=______．（a为正数）
②若d2=0.3010．求d4、d5的值。
20．（8分）（24-25七年级·吉林长春·开学考试）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）；
(2)当x=280（千米）时，求剩余油量Q（升）的值：
(3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
21．（10分）（24-25七年级·安徽合肥·期末）如图，直线AB与CD相交于点E，∠BEC=45°，射线EG在∠AEC内（如图1）．
（1）若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大小；
（2）若射线EF平分∠AED，∠FEG=m°m>90（如图2），则∠AEG−∠CEG=（用含m的代数式表示，请直接写出结果）
22．（10分）（24-25七年级·安徽合肥·阶段练习）某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现：
①由等式3+32=3×32发现：3−1×32−1=1；
②由等式23+−2=23×−2发现：23−1×−2−1=1；
③由等式−3+34=−3×34发现：−3−1×34−1=1；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)由等式a+b=ab，猜想： ，并证明你的猜想；
(2)若等式a+b=ab中，a，b都是整数，试求a，b的值．
23．（12分）（24-25七年级·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
(1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积：S1= ，S2= ．
(2)根据图1与图2的面积关系，得到等式： = ；运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算51×49，可作如下变形：51×49=50+1×50−1=502−12=2500−1=2499．
(3)运用上述方法计算199×201．
24．（12分）（24-25七年级·安徽安庆·期末）已知点A，B，C不在同一条直线上，AD∥BE．
(1)如图①，当∠A=58° ，∠B=118° 时，求∠C的度数；
(2)如图②，AN为∠DAC的平分线，AN的反向延长线与∠CBE的平分线交于点Q，试探究∠C与∠AQB之间的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，有AC∥QB，QN⊥NB，直接写出∠DAC:∠ACB:∠CBE的值．
2024-2025学年七年级（下）期中数学试卷（培优卷）
【北师大版2025】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级·黑龙江绥化·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．2ab3=2a3b3B．a8÷a2=a4
C．a2+a2=a4D．−a4⋅−a5=a9
【答案】D
【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，根据各自的运算法则一一计算并判断即可．
【详解】解：A．2ab3=8a3b3，原计算错误，故该选项不符合题意；
B．a8÷a2=a6，原计算错误，故该选项不符合题意；
C．a2+a2=2a2，原计算错误，故该选项不符合题意；
D．−a4⋅−a5=a9，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）运动员掷铅球时，下列图象能近似地刻画铅球的高度y与水平距离x的关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，熟练掌握用图象表示变量之间的关系是解题关键．运动员掷铅球时，铅球先沿着一条曲线上升，上升到最高处后，再沿着一条曲线落回到地面，由此即可得．
【详解】解：因为运动员掷铅球时，铅球先沿着一条曲线上升，上升到最高处后，再沿着一条曲线落回到地面，
所以铅球的高度y先随着水平距离x的增大而增大，在y取得最大值后，y再随着水平距离x的增大而减小，
观察四个选项可知，只有选项D符合，
故选：D．
3．（3分）（24-25七年级·江苏徐州·期末）如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4
C．∠B=∠5D．∠B+∠BCD=180°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理依次判断即可．
【详解】解：A，∠1和∠2是直线AD,BC被直线AC所截形成的内错角，内错角相等，可以判断AD∥BC，不能判断AB∥CD，故符合题意；
B，∠3和∠4是直线AB,CD被直线AC所截形成的内错角，内错角相等，可以判断AB∥CD，故不符合题意；
C，∠B和∠5是直线AB,CD被直线BE所截形成的同位角，同位角相等，可以判断AB∥CD，故不符合题意；
D，∠B和∠BCD是直线AB,CD被直线BC所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断AB∥CD，故不符合题意；
故选：A．
4．（3分）（24-25七年级·福建泉州·期中）若x+y=−3，xy=1，则代数式(1+x)(1+y)的值等于( )
A．−1B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】利用多项式的乘法法则把所求式子展开，然后代入已知的式子即可求解．
【详解】(1+x)(1+y)=x+y+xy+1，
当x+y=−3，xy=1时，
原式=−3+1+1=−1．
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式－化简求值，理解多项式的乘法法则是关键．
5．（3分）（24-25七年级·山西晋中·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若∠2=25°，∠3=60°，则∠1的度数为（ ）
A．125°B．130°C．135°D．145°
【答案】D
【分析】本题考查对顶角，三角形的外角以及平行线的性质，对顶角求出∠POF的度数，三角形的外角，求出∠PFO的度数，再根据平行线的性质，求出∠1的度数即可．
【详解】解：∵∠POF=∠2=25°，∠3=∠POF+∠PFO，
∴∠PFO=∠3−∠POF=35°，
∵光线平行于主光轴，
∴∠1+∠PFO=180°，
∴∠1=180°−35°=145°；
故选D．
6．（3分）（24-25七年级·福建厦门·阶段练习）已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．a>d>b>c
【答案】A
【分析】先变形化简a=2255=（225）11，b=3344=（334）11，c=5533=（553）11，d=6622=（662）11，比较11次幂的底数大小即可．
【详解】因为a=2255=（225）11，b=3344=（334）11，c=5533=（553）11，d=6622=（662）11，
因为553662=55×552662=55×（56）2=55×2536＞1，
所以553＞662，
所以(553)11＞(662)11，
故5533＞6622即c>d；
同理可证a>b，b>c
所以a>b>c>d，
故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．
7．（3分）（24-25七年级·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg之间的关系如下表所示：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10cm
C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为8kg时，弹簧的长度为24.5cm
【答案】D
【分析】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键．
由表格中的数据，结合变量的相关概念，可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，由此可对A作出判断； 弹簧不挂重物时的长度，就是x为0是y的长度，结合表格中的数据即可判断B项； 从表中y的变化情况可得物体质量每增加1千克，弹簧增加的长度，再计算出物体质量为8kg时，弹簧的长度，即可对C和D选项作出判断．
【详解】解：A、由表格可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，故A选项正确；
B、弹簧不挂重物时长度为10cm，故B选项正确；
C、由表格可知物体质量增加1kg时，弹簧长度增加0.5cm，故C选项正确
D、所挂物体质量为8kg时，弹簧长度为10+0.5×8=14cm，故D选项不正确．
故选：D．
8．（3分）（24-25七年级·浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：a1，a2，a3，…，an，…（n为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知a2=m2，a4=1mm≠0，a1−a4=5，那么a2024+a2027=（ ）
A．24B．27C．31D．36
【答案】B
【分析】本题考查了数的规律探究，完全平方公式．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
根据题意，计算可得，a1=m，a2=m2，a3=m，a4=1m，a5=1m2，a6=1m，a7=m，a8=m2，a9=m，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则a2024=a2=m2，a2027=a5=1m2，a2024+a2027=m2+1m2，由a1−a4=5，可得m−1m=5，则m2−2+1m2=25，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，a3=a2⋅a4=m，a1=a2a3=m，a5=a4a3=1m2，a6=a5a4=1m，
同理，a7=m，a8=m2，a9=m，
∴a1=m，a2=m2，a3=m，a4=1m，a5=1m2，a6=1m，a7=m，a8=m2，a9=m，……
∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环，
∵2024÷6=337⋯2，2027÷6=337⋯5
∴a2024=a2=m2，a2027=a5=1m2，
∴a2024+a2027=m2+1m2，
∵a1−a4=5，
∴m−1m=5，则m2−2+1m2=25，
解得，m2+1m2=27，
∴a2024+a2027=27，
故选：B．
9．（3分）（24-25七年级·四川乐山·期末）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释a+bn（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如a+b2=a2+2ab+b2的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现a+bn（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：
①x−12025的计算结果中x2024项的系数为−2025；
②x−12025的计算结果中各项系数的绝对值之和为22025；
③当x=−3时，x−12025的计算结果为−24050；
④当x=2024，x−12025除以2024，余数为2023．
上述结论正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出a+bn展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解．
【详解】解：由题意知，
x−12025的计算结果中x2024项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与−1的积，即2025×−1=−2025，
故结论①正确；
a+bn的计算结果中各项系数的之和为2n，因此x−12025的计算结果中各项系数的绝对值之和为22025，
故结论②正确；
当x=−3时，x−12025=−3−12025=−42025=−222025=−24050，
故结论③正确；
当x=2024，x−12025=2024−12025，展开式中最后一项为−1，其余各项的因数均包括2024，因此x−12025除以2024，余数为2024−1，即2023．
故结论④正确；
故选D．
10．（3分）（24-25七年级·重庆北碚·期中）如图，已知AB∥CD，∠BEH=∠CFG，EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，FK⊥FJ，则下列说法正确的有（ ）个．
①EH∥GF
②∠CFK=∠H
③FJ平分∠GFD
④∠AEI+∠GFK=90°
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】如图，延长EH交CD于M，由AB∥CD，可得∠BEH=∠EMC，由∠BEH=∠CFG，可得∠EMC=∠CFG，EH∥GF，进而可判断①的正误；由EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，则∠AEI=∠HEI=12∠AEH，∠CFK=∠GFK=12∠CFG，如图，过I作IP∥AB，则IP∥CD，有∠EIP=∠AEI=12∠AEH，∠PIF=∠CFK=∠GFK=12∠CFG，根据∠EIP=180°−∠HEI−∠BEH=180°−12∠AEH−∠BEH，可得∠EIF=∠EIP+∠PIF=180°−12∠AEH−∠BEH+12∠CFG =90°，可得∠AEI+∠GFK=∠EIF=90°，进而可判断④的正误；由FK⊥FJ，可知∠KFJ=90°，∠GFK+∠GFJ=90°，由∠CFK+∠KFJ+∠DFJ=180°，可得∠DFJ=180°−∠CFK−∠KFJ=90°−∠CFK=∠GFJ，进而可判断③的正误；由EH∥GF，可知∠H=∠G，由于GH与FK的位置关系不确定，可知∠GFK与∠G的大小关系不确定，则∠CFK=∠H不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案．
【详解】解：如图，延长EH交CD于M，
∵AB∥CD，
∴∠BEH=∠EMC，
∵∠BEH=∠CFG，
∴∠EMC=∠CFG，
∴EH∥GF，
∴①正确，故符合要求；
∵EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，
∴∠AEI=∠HEI=12∠AEH，∠CFK=∠GFK=12∠CFG，
如图，过I作IP∥AB，
∴IP∥CD，
∴∠EIP=∠AEI=12∠AEH，∠PIF=∠CFK=∠GFK=12∠CFG，
∵∠EIP=180°−∠HEI−∠BEH=180°−12∠AEH−∠BEH，
∴∠EIF=∠EIP+∠PIF=180°−12∠AEH−∠BEH+12∠CFG
=180°−12∠AEH−∠BEH+12∠BEH
=180°−12∠AEH+∠BEH
=90°
∴∠AEI+∠GFK=∠EIP+∠PIF=∠EIF=90°，
∴④正确，故符合要求；
∵FK⊥FJ，
∴∠KFJ=90°，∠GFK+∠GFJ=90°，
∵∠CFK+∠KFJ+∠DFJ=180°，
∴∠DFJ=180°−∠CFK−∠KFJ=90°−∠CFK=90°−∠GFK=∠GFJ，
∴FJ平分∠GFD，
∴③正确，故符合要求；
∵EH∥GF，
∴∠H=∠G，
∵GH与FK的位置关系不确定，
∴∠GFK与∠G的大小关系不确定，
∴∠CFK=∠H不一定成立，
∴②错误，故不符合要求；
∴正确的共有3个，
故选B．
【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·浙江·阶段练习）若要使 x²+ax+5⋅−6x³+6x⁴的展开式中不含x4的项，则常数a的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用相关运算法则计算得到−6x5+6−6ax4−30x3，根据展开式中不含x4的项，即x4的系数为零，据此建立等式求解，即可解题．
【详解】解：x2+ax+5⋅−6x3+6x4，
=−6x5−6ax4−30x3+6x4
=−6x5+6−6ax4−30x3，
∵展开式中不含x4的项，
∴6−6a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
12．（3分）（24-25七年级·山东东营·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg之间的关系如下表所示：
在弹性限度内，当所挂物体的质量为7kg时，弹簧的长度为 cm．
【答案】23.5
【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表可知，当所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧的长度伸长0.5cm，由此可得y与x的关系式．解题的关键在于能够从表格中的数据发现其变化规律．
【详解】解：分析表格可知，当所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧的长度伸长0.5cm，
∴y与x的关系式为y=20+0.5x．
当所挂物体的质量为7kg时，即x=7时，y=20+0.5×7=23.5
故答案为：23.5．
13．（3分）（24-25七年级·山东日照·期中）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE，OF为射线，∠AOE=90°，OF平分∠AOC，∠AOF+∠BOD=57°，则∠EOD的度数为 ．
【答案】128°/128度
【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，∠AOC=∠BOD，由OF平分∠AOC，可得∠AOF=12∠AOC=12∠BOD，则12∠BOD+∠BOD=57°，可求∠BOD=38°，根据∠EOD=180°−∠AOE+∠BOD，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，∠AOC=∠BOD，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF=12∠AOC=12∠BOD，
∵∠AOF+∠BOD=57°，
∴12∠BOD+∠BOD=57°，
解得，∠BOD=38°，
∴∠EOD=180°−∠AOE+∠BOD=128°，
故答案为：128°．
14．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·专题练习）如图①，在长方形ABCD中，E为边DC上一点．现有点P以1cm/s的速度沿A→B→C→E运动，到达点E停止．△AEP的面积y（单位：cm2）与点P运动的时间t（单位：s）的关系图像如图②所示，则a的值为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了动点问题的函数图像，解决本题的关键是明白各拐点的意义．从函数图像中可以看出当点P运动8秒时，△AEP的面积最大，最大值为24cm2，此时点P运动到点B，根据三角形的面积公式可以求出AB=8cm，BC=6cm，从图②可知点P运动到点C时，△AEP的面积为18cm2，根据三角形的面积公式可以求出EC=6cm，从而可知AB+BC+EC=8+6+6=20cm，根据点P运动的速度是1cm/s，可以求出运动的时间．
【详解】解：由图②可知当点P运动8秒时，△AEP的面积最大，最大值为24，
由图①可知当点P运动到点B时，△AEP的面积最大，
∴AB=1×8=8cm，
∴此时S△AEP=12AB·BC，
∴12×8×BC=24，
解得：BC=6cm，
由图②可知当点P从点C运动到点E时，面积从18cm2减少到0cm2，
此时S△AEP=12EC·BC=12×EC×6=18，
解得：EC=6cm，
∴AB+BC+EC=8+6+6=20cm，
∴a=201=20s．
故答案为：20．
15．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1=70°，那么∠2的度数是 ．
【答案】20°/20度
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据题意可得AB∥CD，∠4=90°，再根据平行线的性质可得∠3=∠1=70°，然后根据平角的定义求解即可得．
【详解】解：如图，由题意得：AB∥CD，∠4=90°，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°−∠3−∠4=20°，
故答案为：20°．
16．（3分）（24-25七年级·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AD和BC上，且∠EFC=49°，H和G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF、GH折叠至点N，M，P，K处，若MN∥PK，则∠KHD的度数为 ．
【答案】98°或82°
【分析】分两种情况讨论：当PK在AD上方时，延长MN，KH相交于Q点，证明EN∥KQ，则∠DHQ=∠DEN，求出∠DHQ，则可得∠KHD的度数；当PK在BC下方时，延长MN交KH于Q点，证明EN∥GP，则∠KHD=∠DEN．求出∠DEN，则可得∠KHD的度数．
本题考查了矩形中的折叠问题，分类讨论，掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：①如图，PK在上AD方时，
延长MN，KH相交于Q点，
由折叠知：∠MNE=∠A=90°，∠K=∠D=90°，
∵MN∥PK，
∴∠Q=180°−∠K=90°，
∴∠Q=∠MNE，
∴EN∥KQ，
∴∠DHQ=∠DEN，
∵∠EFG=49°，AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC=49°，
由折叠知：∠FEN=∠AEF=49°，
∴∠DEN=180°−49°×2=82°，
∴∠DHQ=82°，
∴∠KHD=180°−∠DHQ=180°−82°=98°；
②如图，PK在BC下方时，
延长，MN交KH于Q点，
由折叠知：∠MNE=∠A=90°，∠K=∠D=90°，
∴∠MNE=∠K，
又∵MN∥PK，
∴∠HQN=∠K，
∴∠MNE=∠HQN，
∴EN∥HK，
∵HK○GP，
∴EN∥GP，
∴∠KHD=∠DEN，
∵∠EFC=49°，AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC=49°，
由折叠知：∠FEN=∠AEF=49°，
∴∠DEN=180°−49°×2=82°，
∴∠DHK=82°．
故答案为：98°或82°
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级·陕西西安·期末）如图，在△DEF中，过点E作直线AB，C为DF上一点，连接BC交EF于点G，且DE∥CB，∠B=∠D．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠B+∠F=102°，求∠DEF的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠DEF=78°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质定理．
（1）根据DE∥CB得到∠D=∠BCF，结合∠B=∠D，得到∠BCF=∠B即可．
（2）先求得∠B+∠BEF+∠DEF=180°，结合AB∥CD，可得∠B+∠F+∠DEF=180°，根据∠B+∠F=102°即得．
【详解】（1）证明：∵DE∥CB，
∴∠D=∠BCF，
∵∠B=∠D，
∴∠BCF=∠B，
∴AB∥CD．
（2）解：∵DE∥CB，
∴∠B+∠BED=180°，
∴∠B+∠BEF+∠DEF=180°，
∵AB∥CD，
∴∠F=∠BEF，
∴∠B+∠F+∠DEF=180°，
∵∠B+∠F=102°，
∴∠DEF=78°．
18．（6分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位的变化情况如表：
(1)上表反映了_____________和_____________之间的关系，自变量是_____________，因变量是_____________；
(2)20h时，水位是_____________m；
(3)_____________h至_____________h水位上升最快．
【答案】(1)时间，水位，时间，水位
(2)6
(3)20，24
【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，从表格获取正确信息是解题的关键．
（1）根据表格即可直接得出答案；
（2）根据表格即可直接得出答案；
（3）根据表格找出水位上升最快的时段即可．
【详解】（1）解：由表可知：
上表反映了时间和水位之间的关系，自变量是时间，因变量是水位，
故答案为：时间，水位，时间，水位；
（2）解：由表可以看出：
20h时，水位是6m，
故答案为：6；
（3）解：由表可以看出：在相等的时间间隔内，20h至24h水位上升最快，
故答案为：20，24．
19．（8分）（24-25七年级·上海杨浦·期中）如果10b=n．那么称b为n的劳格数，记为b=dn，由定义可知，10b=n和b=dn所表示的b、n两个量之间具有同一关系．
(1)根据定义，填空：d10=______．
(2)劳格数有如下性质：dmn=dm+dn，dmn=dm−dn，根据运算性质。回答问题：
①da2da=______．（a为正数）
②若d2=0.3010．求d4、d5的值。
【答案】(1)1
(2)①2；②0.6020；0.6990
【分析】（1）根据新定义可知，10b=n和b=dn所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可．
（2）①根据dmn=dm+dn，dmn=dm−dn，据此求出算式的值是多少即可．
②首先根据d2=0.3010，d4=d2+d2，求出d4的值是多少；根据d5=d204=d20−d4=d10+d2−d4计算即可．
【详解】（1）解：由新定义可得，n=10=10b，
∴b=d10=1；
（2）解：①da2da =da+dada =2dada=2；
②∵d2=0.3010，
∴d4=d2×2=d2+d2=0.3010+0.3010=0.6020；
由题意得，d5=d204
=d20−d4
=d10+d2−d4
=1+0.3010−0.6020
=0.6990．
【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握．
20．（8分）（24-25七年级·吉林长春·开学考试）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）；
(2)当x=280（千米）时，求剩余油量Q（升）的值：
(3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
【答案】(1)Q=45−0.1x
(2)剩余油量Q的值为17升；
(3)能在汽车报警前回到家，见解析
【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据数量关系列出关系式是解题的关键．
（1）单位耗油量=耗油量÷行驶里程，剩余油量=油箱内油的升数-行驶路程的耗油量；
（2）把x=280千米代入剩余油量公式，计算即可；
（3）计算出45−3=42升油能行驶的距离，与来回400千米比较大小即可得．
【详解】（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为45−30÷150=0.1（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q=45−0.1x；
（2）解：当x=280时，Q=45−0.1×280=17（升），
答：当x=280（千米）时，剩余油量Q的值为17升；
（3）解：他们能在汽车报警前回到家，
45−3÷0.1=420（千米），
由420>400知他们能在汽车报警前回到家．
21．（10分）（24-25七年级·安徽合肥·期末）如图，直线AB与CD相交于点E，∠BEC=45°，射线EG在∠AEC内（如图1）．
（1）若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大小；
（2）若射线EF平分∠AED，∠FEG=m°m>90（如图2），则∠AEG−∠CEG=（用含m的代数式表示，请直接写出结果）
【答案】（1）80°；（2）2m−180．
【分析】（1）由∠CEG=∠AEG-25°，得∠AEG=180°-∠BEC-∠CEG=180°-45°-（∠AEG-25°），解出∠AEG的度数；
（2）计算出∠AEG和∠CEG，然后相减，即可得到结果．
【详解】（1）∵∠CEG=∠AEG−25°
∴∠AEG=180°−∠BEG−∠CEG=180°−45°−∠AEG−25°=160°−∠AEG
∴∠AEG=80°
（2）（2）∵EF平分∠AED，
∴∠AEF=∠DEF，
设∠AEF=∠DEF=α°，∠AEG=∠FEG-∠AEF=（m-α）°，
∠CEG=180°-∠GEF-DEF=180-（m+α）°，
∴∠AEG-∠CEG=（m-α）°-（180-m-α）°=（2m-180）°．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．
22．（10分）（24-25七年级·安徽合肥·阶段练习）某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现：
①由等式3+32=3×32发现：3−1×32−1=1；
②由等式23+−2=23×−2发现：23−1×−2−1=1；
③由等式−3+34=−3×34发现：−3−1×34−1=1；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)由等式a+b=ab，猜想： ，并证明你的猜想；
(2)若等式a+b=ab中，a，b都是整数，试求a，b的值．
【答案】(1)a−1b−1=1，见解析
(2)a=b=0或a=b=2
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则求解；
（2）利用代入验证法求解．
【详解】（1）解：∵a+b=ab，
∴a−1b−1
=ab−a−b+1
=ab−a+b+1
=1．
故答案为：a−1b−1=1．
（2）∵a+b=ab，a，b都是整数，
∴a=b=0或a=b=2．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，代入验证法是解题的关键．
23．（12分）（24-25七年级·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
(1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积：S1= ，S2= ．
(2)根据图1与图2的面积关系，得到等式： = ；运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算51×49，可作如下变形：51×49=50+1×50−1=502−12=2500−1=2499．
(3)运用上述方法计算199×201．
【答案】(1)a2−b2；a+ba−b
(2)a2−b2；a+ba−b
(3)39999
【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，解题的关键是：
（1）图1阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图2阴影部分面积是一个长为a+b，宽为a−b的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积；
（2）根据（1）中两部分阴影面积相等即可得到对应的公式；
（3）根据（2）的结论将原式变形，然后计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得S1=a2−b2；S2=a+ba−b，
故答案为：a2−b2；a+ba−b；
（2）解：∵图1和图2中阴影部分面积相同，
∴a2−b2=a+ba−b，
故答案为：a2−b2；a+ba−b；
（3）解：199×201
=200−1×200+1
=2002−12
=40000−1
=39999．
24．（12分）（24-25七年级·安徽安庆·期末）已知点A，B，C不在同一条直线上，AD∥BE．
(1)如图①，当∠A=58° ，∠B=118° 时，求∠C的度数；
(2)如图②，AN为∠DAC的平分线，AN的反向延长线与∠CBE的平分线交于点Q，试探究∠C与∠AQB之间的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，有AC∥QB，QN⊥NB，直接写出∠DAC:∠ACB:∠CBE的值．
【答案】(1)120°
(2)2∠AQB+∠C=180°
(3)1:2:2
【分析】（1）如图，过点C作CF∥AD，证明CF∥BE，再结合平行线的性质与角的和差关系可得答案；
（2）如图，过点Q作QM∥AD，同理可得：QM∥BE．证明∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．由角平分线的定义证明∠NAD=12∠CAD，∠EBQ=12∠CBE，可得∠CBE−∠CAD=2∠AQB．结合∠C=180°−∠CBE+∠CAD，再进一步可得结论；
（3）由（2）的结论可得出∠CAD=12∠CBE①，由QN⊥NB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数，将其代入∠DAC:∠ACB:∠CBE中可求出结论．
【详解】（1）解：如图，过点C作CF∥AD，
∴∠A=∠ACF．
∵AD∥BE，
∴CF∥BE．
∴∠BCF=180°−∠B．
∵∠A=58° ，∠B=118°，
∴∠ACB=∠BCF+∠ACF=180°−∠B+∠A=120° ．
（2）解：如图，过点Q作QM∥AD，
同理可得：QM∥BE．
∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．
∵AN平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴∠NAD=12∠CAD，∠EBQ=12∠CBE，
∴∠AQB=∠BQM−∠AQM=12∠CBE−∠CAD．
∴∠CBE−∠CAD=2∠AQB．
由（1）得∠C=180°−∠CBE+∠CAD，
∴∠C=180°−∠CBE−∠CAD=180°−2∠AQB，
∴2∠AQB+∠C=180° ．
（3）解：∵AC∥QB，
∴∠AQB=∠CAN=12∠CAD，∠ACN=∠QBN=12∠EBN，∠ACB=180°−∠CBQ=180°−12∠CBE．
∵2∠AQB＋∠ACB=180°，
∴∠CAD=2∠AQB=180°−180°−12∠CBE=12∠CBE．
又∵QN⊥NB，
∴∠CAN+∠ACN=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，
∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，
∴∠ACB=180°−12∠CBE=120°，
∴∠DAC:∠ACB:∠CBE=1:2:2．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、邻补角、角平分线以及垂线的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键．
所挂物体的质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
所挂物体的质量xkg
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度ycm
20
20.5
21
21.5
22
22.5
时间/h
0
4
8
12
16
20
24
水位/m
2
2.5
3
4
5
6
8
所挂物体的质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
所挂物体的质量xkg
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度ycm
20
20.5
21
21.5
22
22.5
时间/h
0
4
8
12
16
20
24
水位/m
2
2.5
3
4
5
6
8