陕西省西安市铁一中2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

陕西省西安市铁一中2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列四个图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A．等边三角形 B．角 C．长方形 D．平行四边形

2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ）

A． B．

C． D．

3．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（    ）

A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞ D．m2＞n2

4．使式子有意义的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　）

A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6

6．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ）

A．3 B．-3 C．4 D．-4

7．在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，平移线段，平移后其中一个端点的坐标为，则另一端点的坐标为（    ）

A． B． C．或 D．或

8．如图，是的平分线，于P连接PC，若的面积为，则的面积为（    ）

A． B． C． D．不能确定

9．若解分式方程产生增根，则m的值为（   ）

A．1 B．-4 C．-5 D．-3

10．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．计算_________．

12．已知点和点关于原点对称，则_________．

13．若等腰三角形两内角的度数之比为1：2，则这个等腰三角形的顶角度数为________．

14．如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于____度．

15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、y轴分别相交于A，B若点在的内部，则的取值范围是__________．

16．如图，已知四边形中，，，，若线段平分四边形的面积，则________．

三、解答题

17．（1）解不等式组：

（2）解分式方程：

18．分解因式：

(1)

(2)

19．如图，已知△ABC（∠B＞∠A），请在AC上求一点P，使∠APB+2∠A＝180°（保留作图痕迹，不写画法）

20．先化简，再求值：，其中是满足条件的整数．

21．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD∥AC，交∠ACB的平分线CD于点D，CD交BC于点E．

（1）求证：BC＝BD；

（2）若AC＝3，AB＝6，求CD的长．

22．倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1．5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．

（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？

（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？

23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到

(1)求直线的函数表达式；

(2)若点Р是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标．

24．

(1)问题提出

如图1，已知点C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，则的最小值是_______．

(2)问题探究

如图2，在四边形中，，，，，，E是四边形内一动点，且，求的最小值．

(3)问题解决

如图3，已知，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值．

参考答案：

1．C

【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形的定义：一个图形沿某个点旋转180度，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解．

【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

C、长方形既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；

D、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；

故选C．

【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握它们的定义是解题的关键．

2．C

【分析】根据因式分解的定义判断即可．

【详解】根据因式分解的定义：将一个多项式分解为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解，也称把多项式分解因式．据此可以直接判定B、D选项都不是因式分解，而A选项等式不成立，C选项的变形是利用了完全平方公式进行了因式分解．

故选：C

【点睛】本题考查因式分解的概念，理解因式分解的概念是解题的关键．

3．D

【详解】A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；

B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；

C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；

D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；

故选：D．

4．B

【分析】要使分式有意义，则要求分母不为0，据此可求出x的取值范围．

【详解】∵要使式子有意义，则

∴x的取值范围是

故选：B

【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟悉分式有意义的条件是解题的关键．

5．A

【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．

【详解】由旋转的性质可知，，

∵，，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

故选A．

【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB

6．A

【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．

【详解】∵是不等式的一个解，

∴，

解得，

∴整数k的最小值是3．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．

7．C

【分析】分两种情况讨论，①A (−1，−1) 平移后的对应点的坐标为(3，−1)，②B(1，2) 平移后的对应点的坐标为(3，−1)，根据根据平移规律可得另一端点的坐标．

【详解】解：①A（-1，-1）平移后得到点的坐标为（3，-1），

∴向右平移4个单位，

∴B（1，2）的对应点坐标为（1+4，2），即（5，2）；

①B(1，2)平移后得到点的坐标为（3，-1），

∴向右平移2个单位，向下平移3个单位，

∴A（-1，-1）的对应点坐标为（-1+2，-1-3），即（1，-4）；

综上，另一端点的坐标为（1，-4）或（5，2）．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化－平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．没有确定对应点时，注意分类讨论．

8．B

【分析】延长，交于点D，根据“三线合一”可得，根据三角形中线的性质即可求解．

【详解】解：延长，交于点D，

∵是的平分线，，

∴，

∴，，

∴，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了“三线合一”，三角形中线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高重合；三角形的中线将三角形的面积分成面积相等的两部分．

9．C

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．

【详解】方程两边都乘(x+4)，得x−1=m，

∵原方程增根为x=−4，

∴把x=−4代入整式方程，得m=−5，

故选：C．

【点睛】本题考查分式方程无解的情况，掌握分式方程增根产生的条件为解题关键．

10．B

【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．

【详解】解：由题意得，

解不等式①得，，

解不等式②得，，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．

11．

【分析】根据分式的乘法法则计算，即可求解．

【详解】解：．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题的关键．

12．

【分析】根据点的坐标关于原点对称的特征可求出x、y的值，然后问题可求解．

【详解】解：∵点和点关于原点对称，

∴，，

∴；

故答案为．

【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征“横纵坐标互为相反数”是解题的关键．

13．或

【分析】根据题意，分情况讨论，等腰三角形的三个内角度数之比为1:2:2或者1:1:2，结合三角形内角和180°计算即可．

【详解】根据题意，等腰三角形的三个内角度数之比为1:2:2或者1:1:2，由三角形内角和为180°，分别计算可得：180°÷（1+2+2）=36°，顶角为36°；180°÷（1+1+2）=45°，顶角为45°×2=90°，

故答案为：36°或90°．

【点睛】本题考查了根据等腰三角形的内角度数比求顶角度数，三角形的内角和180°应用，分情况讨论思想，注意不确定等腰三角形的底角时，需要分情况讨论．

14．

【分析】先根据条件求出，过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M，根据角平分线的性质与判定，可得到平分，故求得．

【详解】

过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M

平分，平分

，

∵，

平分

故答案为：

【点睛】本题主要考查角平分线的性质及判定，正确作出辅助线是解题的关键．

15．

【分析】由一次函数可求出点A、B坐标，然后可得，进而问题可求解．

【详解】解：令时，则有，即，

∴，

令，则有，即，

∵点在的内部，

∴，

解得：；

故答案为．

【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质及一元一次不等式组的解法，熟练掌握一次函数的图象与性质及一元一次不等式组的解法是解题的关键．

16．

【分析】连接BD交AC于点O，过点作于点，可得AC垂直平分BD，利用勾股定理可求解BD＝2，OC＝2，再利用面积法求出DM的长，根据线段平分四边形的面积求出，，可得，再利用勾股定理可求DE的长．

【详解】解：连接交于点，过点作于点，

，，

，在的垂直平分线上，即垂直平分，

，

，，

，

，

，

四边形的面积为：，，

，

线段平分四边形的面积，

，，

，

，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形的面积计算，证明AC垂直平分BD是解题的关键．

17．（1）；（2）无解．

【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，即可求解；

（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．

【详解】解：（1），

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴原不等式组的解集为；

（2）

去分母得：，

解得：，

检验：当时，，

∴是增根，原方程无解．

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的基本步骤是解题的关键．

18．(1)

(2)

【分析】（1）先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解；

（2）先把原式化简，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解。

【详解】（1）解：

（2）解：

【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．

19．详见解析

【分析】根据线段垂直平分线的性质即可在AC上求一点P，使∠APB+2∠A=180°．

【详解】如图，

点P即为所求．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．

20．，

【分析】先对分式进行化简，然后根据及分式有意义的条件可进行代值求解．

【详解】解：

；

∵是满足条件的整数，且且，

∴，

∴原式．

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件．

21．（1）见解析；（2）

【分析】（1）由CD平分∠ACB，得出∠BCD＝∠ACD，再由BD∥AC得出∠D＝∠ACD，得出∠D＝∠BCD，即可证明；

（2）在Rt△ACB中，由勾股定理求出，由（1）得，在中即可求得CD的长．

【详解】（1）证明：∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB，

∵BD∥AC，

∴∠D＝∠ACD，

∴∠D＝∠BCD，

∴BC＝BD；

（2）解：在Rt△ACB中，

，

∴，

∵BD∥AC，

∴，

又∵∠ACB＝90°，

∴，

在中

．

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理．

22．（1） A，B单价分别是360元，540元；（2）34件．

【分析】（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1．5x元/套，根据“B种健身器材的单价是A种健身器材的1．5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件”，即可得出关于x，y的分式方程，解之即可得出结论；

（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)套，根据总价＝单价×数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．

【详解】解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1．5x元/套，

根据题意，可得：，

解得：x＝360，

经检验x＝360是原方程的根，

1.5×360＝540(元)，

因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元；

（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)套，

根据题意，可得：360m+540(50﹣m)≤21000，

解得：m≥，

因此，A种型号健身器材至少购买34套．

【点睛】本题考查的知识点是分式方程以及一元一次不等式的实际应用，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解此题的关键．

23．(1)；

(2)点的坐标为，或或．

【分析】（1）由旋转的性质得出结论，进而判断出得出，，即可得出点，坐标，用待定系数法即可得出结论；

（2）分三种情况利用全等三角形的性质和等面积法即可确定出点的坐标．

【详解】（1）解：直线交轴，轴分别于点，点，

，，

，，

绕坐标原点逆时针旋转得到，

，

，，

，，

设直线 的解析式为，

，解得，

直线 的解析式为，

故答案为：；

（2）解：如图1，

①，

，

，，

，，

，

作轴，

则，

即，

，

的纵坐标为，

把代入，得，

解得

点坐标；

②，

，

，，

点坐标；

③，

，

，，，

作轴，

则，

即，

，

的纵坐标为，

把代入，得，

解得

点坐标；

即：和全等时，点的坐标为或或．

【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键．

24．(1)；

(2)；

(3)．

【分析】（1）连接交于点，根据“两点之间，线段最短”可得当点C位于点处时，的值最小，此时构造直角三角形，利用勾股定理即可求解；

（2）过点A作于点F，利用勾股定理求出的长，过点E作于点M，作于点N，利用，得到，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得点M、E、N三点共线，根据平行线的距离可得，进而得到的长．过点E作，作点D关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，，则点E位于点时，根据对称性，为最小值．根据平行线距离的意义可得，根据对称性得到的长，进而利用勾股定理可得的长，即为的最小值

（3）过点C作于点M，过点F分别作于点P，于点Q．利用角平分线的性质与三角形的面积公式得到，将问题求的最大值转化为求的最小值．作点C关于的对称点，连接、，以、为邻边作平行四边形，要使的值最小，只需C、E、H三点共线．由轴对称图形的性质可得点G是的中点，进而为的中位线，得到，从而在等腰中，利用“三线合一”的性质与勾股定理求出，即的最小值为，从而求出的最大值．

【详解】（1）

如图①，连接交于点，

，

∴当点C位于点处时，的值最小．过点E作交延长线于点F，则四边形是矩形，

，．

．

在中，，

的最小值是．

故答案为：．

（2）

如图②，过点A作于点F

∴

过点E作于点M，作于点N，

，

∴点M、E、N三点共线

，，

，且

过点E作，作点D关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，，则点E位于点时，根据对称性，为最小值．

∵点与点D关于直线对称

∵在中，,

即的最小值为

（3）

如图③，过点C作于点M，过点F分别作于点P，于点Q．

，，

．

平分，，，

．

平分，，，

．

．

∴要使的值最大，即的值最小即可．

如图③，作点C关于的对称点，连接、，以、为邻边作平行四边形，

，，，．

要使的值最小，只需C、E、H三点共线．如图④

此时点M与点G重合，点G为的中点，且，

为的中位线，即．

．

在等腰中，，

．

．

．

．

的最大值为．

【点睛】本题考查最短路径问题，角平分线的性质，轴对称的性质，正确作出辅助线是解题的关键．