辽宁省铁岭市2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省铁岭市2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．无实数根
3．抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．下列事件为必然事件的是（ ）
A．任意画一个四边形，其内角和是
B．购买一张彩票，中奖
C．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
5．如图，在中，弦于点C，，，则的长为（ ）
A．17B．15C．D．3
6．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点B．点C．点D．点
9．如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法：①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．若的半径为，则它的外切正三角形与外切正方形的边长比为 ．
12．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高统计如下：
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是 ．
13．如图，为的直径，弦．若，则 °．
14．如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则k的值为 ．
15．如图，的圆心为，半径为1，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)
(2)
17．安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场．
(1)晶晶抽到的卡片正面上的文字是A（安全）的概率为________；
(2)请用列表法或画树状图的方法，判断这种安排对晶晶和莹莹是否公平．
18．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m．已测得水面距桥洞最高处有8m
（即中点到CD的距离）
（1）求半径OA；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
19．某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第天（为整数）的生产成本为（元/台），与的关系如图所示．
（1）若第天可以生产这种设备台，则与的函数解析式为______，的取值范围为______；
（2）求第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？
20．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点．
(1)的值为________，的值为________；
(2)点在轴正半轴上，，求点的坐标；
(3)点在轴上，为锐角，直接写出的取值范围．
21．如图，在中，，对角线，经过点，，与交于点，连接并延长与交于点，与的延长线交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长（结果保留）．
22．从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，取中点，直线与直线交于点，连接．
【感知特殊】
（1）如图1，当时，小组探究得出：线段与的数量关系为________，与的位置关系为________；
【探究一般】
（2）如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明；
【应用迁移】
（3）已知，在线段的旋转过程中，当时，直接写出线段的长．
23．阅读以下材料，并解决相应问题：
定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为．
(1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________；
(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；
②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③的“友好对称二次函数”为；
④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点．
(3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值．
组别
人数
5
《辽宁省铁岭市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷》参考答案
1．A
解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：A．
2．B
解：一元二次方程中的，
则这个方程的根的判别式为，
所以这个方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
3．B
解：∵抛物线的顶点式的顶点坐标为，
∴抛物线中，，
∴抛物线的顶点坐标为；
故选：B．
4．C
A、任意画一个四边形，其内角和是，是不可能事件，不符合题意；
B、购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；
C、口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球，是必然事件，符合题意；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，不符合题意；
故选C．
5．C
解：弦于点C，，
，
又，
．
故选C．
6．B
解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求；
当时，，图象一定经过，故B符合要求；
当时，，图象不经过，故C不符合要求；
当时，，图象不经过，故D不符合要求；
故选：B．
7．D
解：当时，，
解之得（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米．
故选：D．
8．C
解：连接，，，由图可知，
，
∴，
∴点在，，三边的垂直平分线上，
∴点是外心，
故选：C．
9．A
解：如图，设旋转后，点的对应点分别为点，
则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，
连接，
∵矩形中，，，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，，，
∴线段在旋转过程中扫过的面积为
，
故选：A．
10．D
解：①平分，
，
，
是的直径，
是半圆的中点，即点是定点；故①正确；
②是的直径，
，
，
，，
，
，
，
的最大值为，故②正确；
③，
，
平分， 平分，
，，
，，
，
，
为的外心，故③正确；
④，
，
即的最大值为，故④正确；
综上，正确的结论有4个．
故选：D．
11．
的外切正三角形如图，和相切于点D，
∵的半径为，
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
的外切正方形如图，和、分别相切于点E，G，
∵的半径为，
∴，
∴的外切正方形变成为,
∴的外切正三角形与外切正方形的边长比，
故答案为：．
12．
解：∵抽取了名九年级男生中有名男生身高不低于，
∴抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是；
故答案是：；
13．
解：为的直径，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
14．
解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
故答案为：．
15．
解：如图，设直线分别与轴，轴交于点，连接，
当时，，解得，即，
当时，，即，
∴，
∵轴轴，
∴，
∵的圆心为，半径为1，
∴，，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
∴当的值最小时，取得最小值，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
∴此时，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
（1）解：，
，，，
，
，
，；
（2）解：，
，
，，
解得：，；
17．(1)
(2)不公平，见解析
（1）解：因为晶晶从中随机抽取一张共有4种等可能的结果，
所以晶晶抽到的卡片正面上的文字是（安全）的概率为，
故答案为：．
（2）解：由题意，画出树状图如下：

由图可知，两人所抽取的卡片共有12种等可能的结果，其中，两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”的结果有4种，
则晶晶第一个出场的概率为，
所以莹莹第一个出场的概率为，
因为，
所以这种安排对晶晶和莹莹不公平．
18．（1）OA=13
（2）10小时
（1）过O作OF⊥CD于E，交于F，连结OC，则 CE=DE=12cm，EF=8cm
设OA=r 在Rt△COE中，
即：
∴ r =13 即OA=13
（2）OE=13-8=5m ∴ 5 ÷0.5="10" （小时）
答：经过10小时才可将水排干
19．（1）y＝2x+20；1≤x≤12；（2）第6天时，该企业利润最大，为12800元．
解：（1）根据题意，得y与x的解析式为：y＝22+2（x﹣1）＝2x+20（1≤x≤12），
故答案为：y＝2x+20，1≤x≤12；
（2）设当天的销售利润为w元，
则当1≤x≤6时，
w＝（1200﹣800）（2x+20）＝800x+8000，
∵800＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝6时，w最大值＝800×6+8000＝12800．
当6＜x≤12时，
设m＝kx+b，将（6，800）和（10，1000）代入得：
，
解得：，
∴m与x的关系式为：m＝50x+500，
∴w＝[1200﹣（50x+500）]×（2x+20）
＝﹣100x2+400x+14000
＝﹣100（x﹣2）2+14400．
∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数，
∴当x＝7时，w有最大值，为11900元，
∵12800＞11900，
∴当x＝6时，w最大，且w最大值＝12800元，
答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元．
20．(1)，
(2)
(3)或
（1）解：将点代入反比例函数得：，
∴，
将点代入正比例函数得：，解得，
故答案为：，．
（2）解：由题意，设点的坐标为，
联立，解得或，
∴，
由（1）已得：，
∴，，，
∵，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴点的坐标为．
（3）解：∵，，，
∴，，，
如图，有两个临界位置：点在轴正半轴和负半轴上，且，
∴，即，
解得或，
∴要使为锐角，则或．
21．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：如图，连接，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
由（1）已得：，，
∴在中，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长为．
22．（1），；（2），见解析；（3）或
解：（1）当时，则，
∵，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴垂直平分（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴，
故答案为：，．
（2），证明如下：
如图，过点作的垂线，交延长线于点，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，垂直平分（等腰三角形的三线合一），
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
（3）①当时，
如图，过点作的垂线，交延长线于点，
由（2）已得：，，
∴，
由（2）已得：，
∵点为的中点，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
由（2）已证：，
∴，
解得；
②当时，
如图，过点作的垂线，交直线于点，
同理可证：，
∴，，
∴，，
由旋转的性质得：，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴垂直平分（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，即，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
解得，
综上，线段的长为或．
23．(1)，
(2)①②③
(3)或或或
（1）解：由题意得：的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线，
所以的“友好对称二次函数”为；
二次函数的对称轴为直线，
则二次函数的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线，
设二次函数的“友好对称二次函数”的一次项系数为，
所以，解得，
所以的“友好对称二次函数”为，
故答案为：，．
（2）解：∵，
∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，则结论①正确；
∵，互为“友好对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同，
∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同，
∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，则结论②正确；
的对称轴为直线，
则的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线，
设的“友好对称二次函数”的一次项系数为，
则，解得，
∴的“友好对称二次函数”为，则结论③正确；
若二次函数为，则其“友好对称二次函数”为，
∵方程的根的判别式为没有实数根，
∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误；
综上，结论正确的是①②③，
故答案为：①②③．
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴其“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线，
设二次函数的一次项系数为，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，
将代入二次函数得：，
将代入二次函数得：，
∴，，
∵点关于直线的对称点分别为，，
∴，，即，，
∴，，
∵四边形的邻边之比为，
∴或，
∴或，
解得或或或，
所以的值为或或或．