辽宁省铁岭市2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省铁岭市2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，代数几何综合题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年辽宁省铁岭市九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（请将答案填在括号中，每小题2分，共16分）
1．cos60°的值等于（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
3．已知两点（x1，y1），（x2，y2）在函数y=﹣的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（　　）
A．y1＞y2＞0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y2＜y1＜0
4．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则弧BC的长是（　　）

A．π B． π C． π D． π
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD相交于点F，DE：EC=2：3，则S△DEF：S△ABF等于（　　）

A．4：25 B．4：9 C．9：25 D．2：3
7．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）
A．16个 B．20个 C．25个 D．30个
8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=；正确的是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
　
二、填空题
9．如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为　 　．

10．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？

11．如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为α，且tanα=0.7，向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，CD⊥AC），则建筑物CD的高度为　 　米．

12．2路公交车每隔5分钟发一班车．小莹来到2路公交站牌，候车时间不少于2分钟的概率为　 　．
13．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为　 　．
14．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为　 　元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
15．如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为　 　．

16．如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…，Pn（n，Pn）…．作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…，An …，连接A1P2，A2P3，…，An﹣1Pn，…，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，依此类推，则点Bn的纵坐标是　 　．（结果用含n代数式表示）

　
三、解答题已知α是锐角，且cos（α﹣15°）=，计算﹣6cosα+（3﹣π）0﹣tanα﹣（）﹣1的值．
18．（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，
（1）画出△AB′C′；
（2）写出点B′，C′的坐标；
（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．

19．（8分）为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了　 　名学生，两幅统计图中的m=　 　，n=　 　．
（2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛，求选送的两名参赛同学为1男1女的概率是多少？

　
四、解答题
20．（8分）如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）填空：n的值为　 　，k的值为　 　；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；
（3）观察反比例函数y=的图象，当y≥﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．

21．（8分）如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）

22．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB=13，sinB=，求CE的长．

　
五、代数几何综合题（12分）
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．

　

2017-2018学年辽宁省铁岭市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（请将答案填在括号中，每小题2分，共16分）
1．cos60°的值等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．
【解答】解：cos60°=．
故选：A．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
　
2．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】H2：二次函数的图象．
【分析】根据二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．
【解答】解：二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标．
　
3．已知两点（x1，y1），（x2，y2）在函数y=﹣的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（　　）
A．y1＞y2＞0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y2＜y1＜0
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＞x2＞0，判断出两点所在的象限，根据该函数在此象限内的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣5＜0，
∴此函数图象的两个分支在二、四象限，
∵x1＞x2＞0，
∴两点都在第四象限，
∵在第四象限内y的值随x的增大而增大，
∴y2＜y1＜0．
故选D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及两点所在的象限是解答此题的关键．
　
4．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】AA：根的判别式．
【分析】先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则弧BC的长是（　　）

A．π B． π C． π D． π
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；MN：弧长的计算．
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OB、OC，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=90°，
∴弧BC的长是==π，
故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
　
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD相交于点F，DE：EC=2：3，则S△DEF：S△ABF等于（　　）

A．4：25 B．4：9 C．9：25 D．2：3
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD=AB．
∴△DFE∽△BFA，
∴=，
∵DE：EC=2：3，
∴DE：DC=DE：AB=2：5，
∴S△DEF：S△ABF=4：25
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
　
7．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）
A．16个 B．20个 C．25个 D．30个
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：设红球有x个，根据题意得，
4：（4+x）=1：5，
解得x=16．
故选A．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．
　
8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=；正确的是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；
②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出=，由AE=AD=BC，推出=，即CF=2AF；
③正确．只要证明DM垂直平分CF，即可证明；
④错误．设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有=，即b=a，可得tan∠CAD===．
【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴=，
∵AE=AD=BC，
∴=，
∴CF=2AF，故②正确；

∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；

设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有=，即b=a，
∴tan∠CAD===．故④错误；
故选B．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
　
二、填空题
9．如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为　2π﹣3　．

【考点】MO：扇形面积的计算；MM：正多边形和圆．
【分析】此题是考查圆与正多边形结合的基本运算，空白正六边形为六个边长为2的正三角形，利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积）×．
【解答】解：∵圆的半径为2，
∴面积为12π，
∵空白正六边形为六个边长为2的正三角形，
∴每个三角形面积为×2××sin60°=3，
∴正六边形面积为18，
∴阴影面积为（12π﹣18）×=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积）×是解答此题的关键．
　
10．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？

【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，根据矩形绿地的面积为480m2，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，经检验后得出x=20不符合题意，此题得解．
【解答】解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，
由已知得：（30﹣3x）•（24﹣2x）=480，
整理得：x2﹣22x+40=0，
解得：x1=2，x2=20，
当x=20时，30﹣3x=﹣30，24﹣2x=﹣16，
不符合题意，
答：人行通道的宽度为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
　
11．如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为α，且tanα=0.7，向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，CD⊥AC），则建筑物CD的高度为　7　米．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据∠DBC=45°，得到BC=CD，根据tanα=0.7和正切的概念列出算式，解出算式得到答案．
【解答】解：∵∠DBC=45°，
∴BC=CD，
tanα==，
则=，
解得CD=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，注意仰角和俯角的概念．
　
12．2路公交车每隔5分钟发一班车．小莹来到2路公交站牌，候车时间不少于2分钟的概率为　　．
【考点】X4：概率公式．
【分析】由2路公交车每隔5分钟发一班车，直接利用概率公式求解即可求得候车时间不少于2分钟的概率．
【解答】解：∵2路公交车每隔5分钟发一班车，
∴小莹来到2路公交站牌，候车时间不少于2分钟的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
13．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为　（，﹣）　．
【考点】H3：二次函数的性质；AB：根与系数的关系．
【分析】首先根据一元二次方程x2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=2，求出b和c的值，然后抛物线解析式进行配方，得到顶点坐标式，即可求出顶点坐标．
【解答】解：∵一元二次方程x2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=2，
∴1+2=﹣b，1×2=c，
∴b=﹣3，c=2，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+2，
∴y=，
∴抛物线y=x2﹣3x+2的顶点坐标为（，﹣），
故答案为（，﹣）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及根与系数的关系的知识，解答本题的关键是求出b和c的值，此题难度不大．
　
14．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为　22　元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
【解答】解：设定价为x元，
根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）]
=﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870，
=﹣2（x﹣22）2+98
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98．
故答案为：22．
【点评】此题题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解决本题的关键是二次函数图象的性质．
　
15．如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为　　．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】由已知先证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求出AD的值．
【解答】解：∵∠A=∠A，
∠ACD=∠B，
∴△ABC∽△ACD，
∴=，
∵AB=5，AC=3，
∴=，
∴AD=．
故答案为．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的值．
　
16．如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…，Pn（n，Pn）…．作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…，An …，连接A1P2，A2P3，…，An﹣1Pn，…，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，依此类推，则点Bn的纵坐标是　　．（结果用含n代数式表示）

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G2：反比例函数的图象；L5：平行四边形的性质．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P1、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点B1的纵坐标是y2+y1、B2的纵坐标是y3+y2、B3的纵坐标是y4+y3，据此可以推知点Bn的纵坐标是：yn+1+yn=+=．
【解答】解：∵点P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数的图象上，
∴y1=3，y2=；
∴P1A1=y1=3；
又∵四边形A1P1B1P2，是平行四边形，
∴P1A1=B1P2=3，P1A1∥B1P2 ，
∴点B1的纵坐标是：y2+y1=+3，即点B1的纵坐标是；
同理求得，点B2的纵坐标是：y3+y2=1+=；
点B3的纵坐标是：y4+y3=+1=；
…
点Bn的纵坐标是：yn+1+yn=+=；
故答案是：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象．解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点Bn的纵坐标yn+1+yn．
　
三、解答题（2015•鞍山）已知α是锐角，且cos（α﹣15°）=，计算﹣6cosα+（3﹣π）0﹣tanα﹣（）﹣1的值．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】利用特殊角的三角函数值，求得α，进一步按照运算顺序，化简二次根式，计算0指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，最后合并即可．
【解答】解：∵cos（α﹣15°）=，
∴α﹣15°=30°，
∴α=45°，
则﹣6cosα+（3﹣π）0﹣tanα﹣（）﹣1
=3﹣3+1﹣1﹣2
=﹣2．
【点评】此题考查实数的运算，特殊角的三角函数，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
　
18．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，
（1）画出△AB′C′；
（2）写出点B′，C′的坐标；
（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．

【考点】R8：作图﹣旋转变换；MN：弧长的计算．
【分析】（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，然后根据网格结构找出点B、C的对应点B′，C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据图形即可得出点A的坐标；
（3）利用AC的长，然后根据弧长公式进行计算即可求出点B转动到点B′所经过的路程．
【解答】解：（1）△AB′C′如图所示；

（2）点B′的坐标为（3，2），点C′的坐标为（3，5）；

（3）点C经过的路径为以点A为圆心，AC为半径的圆弧，路径长即为弧长，
∵AC=4，
∴弧长为： ==2π，
即点C经过的路径长为2π．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．
　
19．为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了　120　名学生，两幅统计图中的m=　48　，n=　15　．
（2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛，求选送的两名参赛同学为1男1女的概率是多少？

【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数，用总数减去A，C，D类的人数，即可求出m的值，用C类的人数除以总人数，即可得出n的值；
（2）用该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数=学校总人数×A类的百分比求解即可；
（3）列出图形，即可得出答案．
【解答】解：（1）这次调查的学生人数为42÷35%=120（人），
m=120﹣42﹣18﹣12=48，
18÷120=15%；所以n=15
故答案为：120，48，15．
（2）该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数为：960×35%=336（人），
（3）抽出的所有情况如图：

两名参赛同学为1男1女的概率为：．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
　
四、解答题
20．如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）填空：n的值为　3　，k的值为　12　；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；
（3）观察反比例函数y=的图象，当y≥﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．

【考点】GB：反比例函数综合题．
【分析】（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x﹣3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数y=，得到k的值为12；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标；
（3）根据反比例函数的性质即可得到当y≥﹣2时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x﹣3，可得n=×4﹣3=3；
把点A（4，3）代入反比例函数y=，可得3=，
解得k=12．
（2）∵一次函数y=x﹣3与x轴相交于点B，
∴x﹣3=0，
解得x=2，
∴点B的坐标为（2，0），
如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵A（4，3），B（2，0），
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，
在Rt△ABE中，
AB===，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC=，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+，
∴点D的坐标为（4+，3）．
（3）当y=﹣2时，﹣2=，解得x=﹣6．
故当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣6或x＞0．
故答案为：3，12．

【点评】本题考查了反比例函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，菱形的性质和全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，综合性较强，有一定的难度．
　
21．如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）

【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】过B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中求出BD=AB=20，在Rt△BDP中求出PB即可．
【解答】解：过B作BD⊥AP于D，
由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，
在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30，
∴BD=AB=20，
在Rt△BDP中，∵∠P=45°，
∴PB=BD=20≈28.3（海里）．
答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里．

【点评】此题主要考查了方向角问题的应用，根据已知得出△PDB为等腰直角三角形是解题关键．
　
22．如图，△ABC中，AB=AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB=13，sinB=，求CE的长．

【考点】MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）连接OD，AD，欲证DE是⊙O的切线，只需证明DE⊥OD即可；
（2）根据已知条件求得AD、BD'DC，利用△ABD∽△DCE对应边成比例求出CE的即可．
【解答】（1）证明：连接OD与AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC且∠B=∠C，
即D为BC的中点，
∵D为AB的中点，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：∵AB=13，sinB=，
∴=，即AD=12，
∴BD===5，
∴DC=5，
在△ABD和△DCE中，∠B=∠C，∠CED=∠ABD=90°，
∴△ABD∽△DCE，
∴=，
∴CE==．

【点评】本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出CE的值．
　
五、代数几何综合题（12分）
23．（12分）（2015•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）直接代入求得函数解析式即可，由点D与C对称求得点D坐标即可；
（2）由特殊角的三角函数值得出∠DAP=60°，则点Q一直在直线AD上运动，分别探讨当点P在线段AO上；点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上以及点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可；
（3）由于OC=，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形，分两种情况探讨：当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；得出答案即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；
则D点坐标为（﹣2，）．
（2）∵点D与A横坐标相差1，纵坐标之差为，则tan∠DAP=，
∴∠DAP=60°，
又∵△APQ为等边三角形，
∴点Q始终在直线AD上运动，当点Q与D重合时，由等边三角形的性质可知：AP=AD==2．
①当0≤t≤2时，P在线段AO上，此时△APQ的面积即是△APQ与四边形AOCD的重叠面积．
AP=t，
∵∠QAP=60°，
∴点Q的纵坐标为t•sin60°=t，
∴S=×t×t=t2．
②当2＜t≤3时，如图：

此时点Q在AD的延长线上，点P在OA上，
设QP与DC交于点H，
∵DC∥AP，
∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，
∴△QDH是等边三角形，
∴S=S△QAP﹣S△QDH，
∵QA=t，
∴S△QAP=t2．
∵QD=t﹣2，
∴S△QDH=（t﹣2）2，
∴S=t2﹣（t﹣2）2=t﹣．
③当3＜t≤4时，如图：

此时点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上，
设QP与DC交于点E，与OC交于点F，过点Q作AP的垂涎，垂足为G，
∵OP=t﹣3，∠FPO=60°，
∴OF=OP•tan60°=（t﹣3），
∴S△FOP=×（t﹣3）（t﹣3）=（t﹣3）2，
∵S=S△QAP﹣S△QDE﹣S△FOP，S△QAP﹣S△QDE=t﹣．
∴S=t﹣﹣（t﹣3）2=﹣t2+4t﹣．
综上所述，S与t之间的函数关系式为S=．
（3）∵OC=，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形．
①当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；如图：

过点M2作AO的垂线，垂足为N，
∵∠M2AO=30°，AO=3，
∴M2O=，
又∵∠OM2N=M2AO=30°，
∴ON=OM2=，M2N=ON=，
∴M2的坐标为（﹣，）．
同理可得M1的坐标为（﹣，）．
②当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；如图：

∵以M、O、A为顶点的三角形与△OAC相似，
∴=，或=，
∵OA=3，
∴AM=或AM=3，
∵AM⊥OA，且点M在第二象限，
∴点M的坐标为（﹣3，）或（﹣3，3）．
综上所述，符合条件的点M的所有可能的坐标为（﹣3，），（﹣3，3），（﹣，），（﹣，）．
【点评】此题考查二次函数的综合运用，图形的运动，待定系数法求函数解析式，特殊角的三角函数，三角形的面积，分类讨论是解决问题的关键．