辽宁省铁岭市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省铁岭市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
※考试时间120分钟，试卷满分120分※
考生注意：请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：A．不是中心对称图形，故本项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本项不符合题意；
故选：C．
2. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A. 调查某班学生的身高情况
B. 调查某批汽车的抗撞击能力
C. 调查亚运会米游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况
D. 调查一架“歼”隐形战斗机各零部件的质量
答案：B
解析：解：A．调查某班学生的身高情况适合采用全面调查，故此选项不符合题意；
B．调查某批汽车的抗撞击能力适宜采用抽样调查，故此选项符合题意；
C．调查亚运会 米游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况适合采用全面调查，故此选项不符合题意；
D．调查一架“歼 ”隐形战斗机各零部件的质量适合采用全面调查，故此选项不符合题意；
故选B．
3. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向下
B. 对称轴为直线
C. 当时，随的增大而增大
D. 当时，函数有最小值，最小值为
答案：D
解析：解：二次函数，
，函数的图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；
对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意；
当时，随的增大而增大，故选项C正确，不符合题意；
当时，函数有最大值，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
4. 用配方法解方程时，原方程变形正确的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：方程变形得：，
配方得：，即，
故选：A．
5. 如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转得，其中，，是点，旋转后的对应点，，相交于点．若四边形为菱形，则的大小是（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：∵ABDF是菱形
∴AB∥CF，AB=AF
∴∠BAC=∠ACF=40°，AF=AC
∴∠ACF=∠AFC=40°
∴∠CAF=100°
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF
∴∠EAF=∠BAC=40°
∴∠EAC=∠CAF-∠EAF=60°
故选：C．
6. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是，则的半径是（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：解：如图，连接，，

多边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
正六边形的周长是，
，
的半径是．
故选：B．
7. 如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：连接AD，如图，
AB为的直径，
，
，
．
故选B．
8. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. 289（1﹣x）2=256B. 256（1﹣x）2=289
C. 289（1﹣2x）2=256D. 256（1﹣2x）2=289
答案：A
解析：根据题意可得两次降价后售价为289（1-x）2，
∴方程为289（1-x）2=256．
故选：A．
9. 现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面如图①，餐桌两边和平行且相等，如图②，小华用皮尺量得，，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解：将圆形补全，设圆心为，连接，过点作于点，
由题意可得出：，
是的直径，
，，
∴
，
餐桌两边和平行且相等，
，
，
，
，
，
，
，
，
桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加平方米．
故选：D．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
答案：B
解析：解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 一元二次方程的根是________．
答案：，
解析：解：，
∴，
∴或，
解得：，；
故答案为：，
12. 经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是______．
答案：
解析：解：画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：
这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结果的可能性相等，
两辆汽车一辆左转，一辆右转）
故答案为：．
13. 已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围_____．
答案：k＞﹣1且k≠0．
解析：令y＝0，则kx2﹣6x﹣9＝0．
∵二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等解，
，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故答案是：k＞﹣1且k≠0．
14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点．则的面积为_________．

答案：5
解析：解：过点作轴于点，

∵轴，，
∴，
∴四边形为矩形，
设与轴的交点为，则四边形和四边形均为矩形，
∵点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，
∴矩形的面积，
∵为矩形的对角线，
∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于；
故答案为：5．
15. 如图，边长为4的正方形内接于，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的面积随点E位置的变化而变化；④周长的最小值为．其中正确的是______．（把所有正确结论的序号填上）
答案：①②④
解析：连接，，，，如图，
∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
故①正确；
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
故②正确；
∵，
∴，
∴，
而的面积是固定不变的，
故③错误；
∵，
∴，
∴，
即，
在等腰中，，
∴，
则当最小时，的周长最小，
由垂线段最短知，当时，最小，且最小值为2，
即的周长最小值为，
故④正确；
综上，正确的序号为①②④，
故答案：①②④．
三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 解下列方程：
（1）；
（2）．
答案：（1），
（2），．
小问1解析：
，
，
，
，
，
，；
小问2解析：
．
，
，
，
，，
，．
17. 为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依次记为A，B，C，D）．小雨和莉莉两名同学参加比赛．其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
（1）小雨抽到A组题目的概率是_________；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
（小雨抽到A组题目），
故答案为：；
小问2解析：
列表如下：
由图得，共有16种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，
（小雨和莉莉两名同学抽到相同题目）．
18. 方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．
（1）画出绕点顺时针旋转后的，并写出的坐标；
（2）画出关于原点对称的．
答案：（1）见解析，坐标为；（2）见解析．
解析：解：（1）所画图形如下：
坐标为；
（2）所画图形如下所示：
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
答案：（1），；
（2）9； （3）或．
小问1解析：
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
小问2解析：
∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
小问3解析：
由图象可得，不等式的解集是或．

20. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）求与的函数解析式．
（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
答案：（1）
（2）当销售单价定为元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元
小问1解析：
解：设与的函数解析式为，
∵改函数图象经过点和点
∴
解得：
∴与的函数解析式为；
小问2解析：
解：设销售销这种荔枝日获利元，
根据题意，得，
，对称轴为直线，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵销售价格不高于18元/kg，
当时，有最大值为元，
当销售单价定时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元．
21. 如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．

（1）求证：与相切；
（2）若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：如图，连接，

是的直径，
，
平分交于点E，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
小问2解析：
解：如图，连接，，

，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，是的直径，
，
．
即的长为．
22. 发现问题：
如图，某公园在一个扇形草坪上的圆心处垂直于草坪的地上竖一根柱子，在处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状．
提出问题：
喷出的水距地面的高度米与喷出的水与池中心的水平距离米之间有怎样的函数关系？
分析问题：
小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与点的水平距离米处达到最高点，点距离地面米于是小腾以所在直线为轴，垂直于的地平线为轴，点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点，点的坐标，从而得到与函数关系式．
（1）如图，在建立的平面直角坐标系中，点的坐标为，水流的最高点的坐标为，求抛物线水流对应的函数关系式；
（2）当喷头旋转时，这个草坪刚好被水覆盖，求喷水装置能喷灌的草坪的面积结果用含的式子表示；
（3）在扇形的一块三角形区域地块中，现要建造一个矩形花坛，如图的设计方案是使、分别在、上，在上设米，当为多少米时，矩形花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？
答案：（1）；
（2）（平方米）；
（3）平方米．
小问1解析：
解：设抛物线的解析式为，
水流的最高点的坐标为，
，代入点，
得，
解得：，
；
小问2解析：
解：令，则，解得或（不符合题意，舍去），
喷水装置能喷灌的草坪的面积平方米；
小问3解析：
解：由矩形可得，，，，
，
过作，交于点，
，，
，
，
，，
同理可得，，
，，
∽，
，
同理可得，，
，，
，
，
，，
矩形花坛的面积，
时，矩形花坛的面积最大为平方米．
23. 是等边三角形，点E是射线上的一点（不与点B，C重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，交点M．
特例感知：
（1）如图①，当点E为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
类比迁移：
（2）如图②，当点E在线段延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
方法运用：
（3）当，时，请直接写出的长．

答案：（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）或
解析：解∶（1）∵是等边三角形，点是的中点，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）如图1，仍然成立，理由如下∶连接、，

∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）如图，当点在的延长线上时，作于，

∵，
∴，，
∴，
∴．
由（）知∶，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，当点在上时，作于，

由上知∶，
∴，
∴，
∴，
综上所述∶或．
小雨 莉莉
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD