2025年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(天津卷)（有解析）

一、选择题
1．集合, 则∁（ ）
A．B．C．D．
2．是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数图象对应的函数是（ ）
A．B．C．D．
4．若为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若, 则
B．若, 则
C．若, 则
D．若,则
5．下列说法错误的是（ ）
A．则
B．
C．越接近于1，线性相关程度越强
D．越接近于0，线性相关程度越弱
6．已知, 则前12项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
7．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
8．已知, 在上单调递增，为一条对称轴，为一个对称中心，且, 当时，（ ）
A．B．C．1D．0
9．双曲线左右焦点分别为. 以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若则离心率( )
A．2B．5C．D．
二、填空题
10．已知i是虚数单位，则_______．
11．在的展开式中的系数为______．
12．与轴交于点A，与轴交于点B，与圆交于C，D两点，,则______．
13．小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈，
第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5,
若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6，
若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6,跑4圈的概率0.4，
①小桐一周跑11圈的概率为_______．
②若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为,则期望______．
14．中，为边的中点, , 则_____(用表示),若,． 则______．
15．,对,均有恒成立，则________．
三、解答题
16．在中，已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．正方体, 棱长为4，分别为中点
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求.
18．已知椭圆的左焦点为, 右顶点为为上一点，且直线的斜率, 离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆有唯一交点, 求证：平分.
19．已知为等差数列，为等比数列，，
(1)求的通项公式；
(2), ，有，
①求证：, 均有；
②求中所有元素之和．
20．已知
(1)时，求在点处的切线方程；
(2)有3个零点且，
①求的取值范围；
②证明：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意，得,所以．故选D．
2．【答案】A
【详解】当时，,故充分性成立；由．得,即．范围更大．所以是的充分不必要条件，故选A．
3．【答案】D
【详解】解决本题的主要思考路径：定义域，奇偶性，函数值的正负及特殊值．本题由图象知，函数为偶函数，故排除AB；又，故排除C,故选D．
4．【答案】C
【详解】对于A,若,则直线与可能平行，也可能垂直，还可能异面，故A错；
对于B,若，则(结论：一条直线垂直于两个平面时，这两个平面必然平行，这是立体几何中直线与平面垂直性质的核心结论之一)．故B不正确；对于C，若,则,故C正确；课本定理．对于D,若．则直线与平面可能垂直，也可能平行还可能在平面内，故D不正确．综上所述，故选C．
5．【答案】B
【详解】对于A．由知，该正态分布曲线关于直线对称，所以．故A正确;
对于B．由知，该正态分布曲线关于直线对称，所以；由知该正态分布曲线关于直线对称，所以，所以2)，故B不正确;
对于CD,对于样本相关系数,取值范围是越大，越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；越小，越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱，故CD正确．综上所述，故选B．
6．【答案】C
【详解】由①，得当时,②．
①-②得．又满足上式，当，
所以an=-2n+9,所以|a|的前12项和T12=a1+a2+a3+a4+|a5+a6+…+a12|=故选．
7．【答案】B
【详解】本题易知函数在上单调递减（提示：函数为减函数．函数为增函数，由减函数-增函数减函数可判断出函数为减函数)，且0,f(0．3)=0．33-=0．33-0．30．5>0,f(0．5)= 0．30．5-=-