2025年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国二卷)(有解析)

这是一份2025年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国二卷)(有解析)，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．样本数据平均数为（ ）
A．8B．9C．12D．18
【答案】C
【详解】.
2．（ ）
A．B．C．-1 D．1
【答案】A
【详解】原式=.
3．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
4．的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
5．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】已知三边，可利用余弦定理解三角形.
6．设抛物线的焦点为F，点上, 过作准线的垂线，垂足为.若直线BF的方程为, 则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
7．记为等差前项和，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由. 得, 所以, 故.
8．,（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【详解】，
，
.
二、多选题
9．为等比数列的前项和，为的公比，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】A对：,
B错：,
C错：显然不是8,
D对：.
10．是定义在R上的奇函数，时，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
【答案】ABD
【解析】A对，代入计算即可，
B对：当时，
C错：反例：，
D对：当时, 所以是极小值，于是由对称性知是极大值.
11．双曲线，左、右焦点为. 左、右顶点为.
以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于M，N, 且, 则（ ）
A．B．
C．离心率为D．当时，四边形的面积为
【答案】ACD
【解析】A对，B错：不妨设那条渐近线为, 不妨设在第一象限，则由易知. 于是是平行四边形且和垂直于轴，所以, 即A对，且显然B错 ：C对 ：由A对知,
D对：面积.
三、填空题
12．则______.
【答案】
【解析】, 所以.
13．是的极值点，则_______.
【答案】-4
【解析】
,
所以, 即, 所以.
14．一个底面半径为4,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______.
【答案】
【解析】作出轴截面如下：
由于半径相等，则上图两圆的切点显然是矩形中点，为设球半径为, 则有
解得或（舍去），所以最大值为.
四、解答题
15． .
（1）求；
（2）设函数求值域和单调区间.
【答案】见详解
【详解】(1),
因为, 所以,
所以
(2)
因为, 所以当时，, 当时，
所以的值域为，
由, 得,
根据复合函数的单调性得的单调递减区间为
同理可得的单调递增区间为
由, 得,
根据复合函数的单调性得的单调递减区间为
同理可得：的单调递增区间为
16． 椭圆的离心率为, 长轴长为4.
（1）求的方程
（2）过点的直线l与交于A，B两点，O为坐标原点，若, 求.
【答案】见详解
【详解】(1),
(2)设直线为, 与联立消得, 整理为
设的横坐标分别为, 则
则
解得, 则
17． 如图，四边形中，, F为中点，E在上，,. 将四边形EFDA沿EF翻折至四边形, 使得面与面所成的二面角为.
(1)证明：平面.
(2)求面与面所成二面角的正弦值.
【答案】见详解
【详解】(1)证明：有面，
故面
有面
故面
故面面
面
面
(2)延长交延长线于
面与面二面角
即
设
故
且
则到面距离
到距离
故正弦值
18．.
（1）证明：在存在唯一极值点和唯一零点；
（2）设为在的极值点和零点，
①，证明：在单调递减；
②比较与的大小，并证明你的结论.
【答案】见详解
【详解】
(1)
, 单调递增，
单调递减，
存在唯一使得
(2)①由(1)知,
在区间内单调递减；
②由①知在单调递减，则
又因
而故.
19．甲、乙乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分，设每个球甲胜概率为p（），乙胜概率为q，p+q=1，且各球胜负相互独立，对正整数k≥2，记Pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率.
（1）求p3，p4（用p表示）；
（2)若, 求p；
（3）证明：对任意正整数.
【答案】见详解
【详解】 (1)即打完3个球后甲比乙至少多得2分，
(只能三场均胜)，
（可以输一场）.
(2)与完全对称，
，
，
，
，
(3)设甲第局得分，先证左边
，
，
，
，
即证，
，
即显然成立；
在证明右边胜，即前胜或前胜再胜1局或前胜再胜一局，
，
，
.