2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（天津卷）数学试题

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟 (天津卷)

数    学 

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．

参考公式：

如果事件与事件互斥，那么．

如果事件与事件相互独立，那么．

球的表面积公式，其中表示球的半径．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，，，则（       ）

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数的图象大致为（       ）

A．    B．     C．    D．

4．在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加调研测试，经过评估，这500名学生的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则得分在之间的学生人数是（       ）

A．150 B．200 C．250 D．300

5．已知，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

6．设P，A，B，C为球O表面上的四个点，，，两两垂直，且，，三棱锥的体积为18，则球O的体积为（       ）.

A． B． C． D．

7．若，且，则（       ）

A． B．

C． D．

8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则此双曲线的离心率为（       ）

A． B． C．2 D．

9．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共11小题，共105分．

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10．若为虚数单位，复数=______.

11．在的展开式中，x的系数是___________（用数字作答）.

12．经过点且斜率为的直线与圆：相交于，两点，若，则的值为______.

13．已知，，则的最小值为______.

14．甲乙两队参加普法知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，，且各人正确与否相互之间没有影响，则乙队至少得一分的概率为____________，用表示甲队的总得分随机变量的数学期望为___________.

15．在菱形ABCD中，，，E，F分别为线段BC，CD上的点，，，点M在线段EF上，且满足，则x=___________；若点N为线段BD上一动点，则的取值范围为___________.

三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分14分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，的面积为.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值.

17．（本小题满分15分）

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点.

(1)证明：若，直线平面；

(2)求二面角的正弦值；

(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.

18．（本小题满分15分）

已知椭圆C：的焦距为，且过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设Q在椭圆C上，且与x轴平行，过P作两条直线分别交椭圆C于A，B两点，直线平分，且直线过点，求四边形的面积．

19．（本小题满分15分）

已知公比大于1的等比数列的前6项和为126，且，，成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若），求数列的前n项和；

(3)若数列满足（且），且，证明.

20．（本小题满分16分）

设函数有两个极值点，且

(1)求a的取值范围;

(2)讨论的单调性；

(3)证明: