2025年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国一卷)(有解析)

这是一份2025年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国一卷)(有解析)，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的虚部为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．6
【答案】C
【详解】由展开式第一项即知虚部为1，选C.
2．集合，，则中的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【详解】,选C.
3．双曲线虚轴长是实轴长的倍，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】由题知, 则,所以离心率,故选D.
4．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题知, 即, 其中为自然数，当时 ，取得最小值, 故选B.
5．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，
, 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】故选A.
6．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同，单位m/s)，则真风风速的等级是（ ）
A．轻风B．微风
C．和风D．和风
图1图2
【答案】A
【详解】真风对应向量为, 模长为, 等级上属于轻风，选A.
7．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】与直线距离为1的直线为和,
圆心到的距离为, 到的距离为.
依题可知圆与的交点总个数为2，据草图可知圆应与相交，与相离，
故, 选B.
8．若实数x，y，z满足, 则的大小关系不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设, 则,
取, 易知, 排除A;
取, 易知, 排除C；
取, 易知, 排除D.
故选B.
二、多选题
9．在正三棱柱中，为中点，则（ ）
A．B．平面
C．平面D．
【答案】BD
【详解】易知面, 若, 则面(或在该面内)，显然不成立，故A选项错误.
由和可知, 故B选项正确.
过且与平行的线为为中点)，而非, 故选项错误.
由知D选项正确.
故本题正确选项为BD.
10．设抛物线的焦点为F, 过F的直线交于,过F且垂直于AB的直线交准线于, 则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】恰为抛物线的准线，由抛物线定义可知A选项正确.
设，则,
, 选项B错误.
, 选项C正确：
选项D
正确.故本题正确选项为.
11．已知的面积为, 若, 则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】由
可得, 故选项A正确.
由可知皆为锐角:
若, 则, 不合题意，
若, 则, 也不合题意，
所以.
由可知, 由面积可知,
所以, 故, 选项B正确.
， 选项正确.
, 选项D错误.
故本题正确选项为.
三、填空题
12．若直线是曲线的切线，则______．
【答案】4
【详解】由题知与相切，所以, 故.
13．若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_______．
【答案】
【详解】易知, 所以.
14．一个箱子里有5个球，分别以标号，从中有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数,则数学期望______．
【答案】
【详解】.
故.
四、解答题
15．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查1000人，得到如下列联表：
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：
【答案】见详解
【详解】(1)在1000个样本中，超声波检查结果不正常的人中患有该疾病的频率为,
以样本频率估计总体概率，的估计值为0.9
(2)超声波检查结果与是否患病无关，
根据小概率值的独立性检验，应拒绝零假设, 即超声波检查结果与是否患病有关.
16．设数列满足.
(1)证明为等差数列；
(2)设,m为任意给定正整数，求的值．
【答案】见详解
【详解】(1)证明： 易知. 所以是公差为1，首项为3的等差数列.
(2)由(1)可知. 所以.
又,
所以
17．如图所示的四棱锥中，面,．
(1)求证：平面平面；
(2)若，若四点在同一球面上，设该球面的球心为O．
①证明：点O在平面上；
②求直线与直线所成角的余弦值．
【答案】见详解
【详解】
(1)证明：由平面可得,
又, 所以平面, 故平面平面.
(2)易知两两垂直，以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，易得,
(i)设球心, 由可得解得, 显然点为直线上的点，在平面上
(ⅱ),直线与所成角的余弦值等于
18．设椭圆, 记为椭圆下顶点，为右顶点，, 且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足.
(i)设点，求的坐标（用表示)；
(ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线的斜率是的斜率的3倍，求的最大值．
【答案】见详解
【详解】(1)依题有且,
解得, 故的方程为.
(2)(i)易知, 设, 则,
故点的坐标为
(ii)由可知,
整理可得, 所以点在圆心为,半径的圆上运动.
设则,其中, 故
取等条件为,且在线段的延长线上，故的最大值为.
19．设函数．
(1)求在的最大值；
(2)给定,设为实数，证明：存在,使得;
(3)若存在使得对任意,都有,求的最小值．
【答案】见详解
【详解】
(1)设, 当时，
又所以
设, 则
易知在和上递减，在上递增，
且
故在上的最大值为, 即在上的最大值为.
(2)证明：假设结论不成立，即对任意, 均有,
即对任意,
由于, 所以形如的区间两两交集均为空集，
所以,
故存在整数, 使得, 所以,
与的存在性矛盾，故假设不成立，原命题得证.
(3)由(1)可知最大值为
这说明取, 则有对任意实数恒成立，即符合题意.
另一方面，在(2)中取, 则存在使得,
此时从而
所以无法满足对任意实数恒成立
综上可知，的最小值为.
超声检查结果
组别
正常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828