第12讲 双曲线的定义及方程讲义（原卷版+教师版）暑期预习衔接 人教A版高二数学选修第一册

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编号
学 科
数学
年 级
课题名称
内容
第19讲 双曲线及其标准方程
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．结合教材实例掌握双曲线的定义；
2．掌握双曲线的标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程；
3．通过双曲线概念的引人和双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力.
知识点 1 双曲线的定义
1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为．
2、双曲线的集合表示：．
3、要点辨析
（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：
（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
（2）若常数满足约束条件：，
则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点 2 双曲线的标准方程
1、双曲线的两种标准方程
焦点位置
焦点在轴
焦点在轴
图形
标准方程
焦点坐标
、
、
的关系
2、待定系数法求双曲线标准方程
3、由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线.
（2）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线.
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
知识点 3 双曲线的焦点三角形
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1） = 1 \* GB3 ①根据双曲线的定义求出；
= 2 \* GB3 ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
= 3 \* GB3 ③通过配方，利用整体的思想求出的值；
= 4 \* GB3 ④利用公式求得面积。
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。
考点一：双曲线的定义及辨析
例1．（23-24高二上·北京通州·期末）已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（ ）
A．8B．6C．4D．3
【答案】B
【解析】因为P为双曲线右支上一点，所以.故选：B.
【变式1-1】（23-24高二上·北京·月考）化简方程的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，则由已知得，
即动点P到两个定点A､B的距离之差的绝对值等于常数，又，且，
所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线.
设双曲线方程为：，则，所以，
所以，所以双曲线方程为，
即化简方程的结果是.故选：D.
【变式1-2】（23-24高二上·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．轨迹不存在
【答案】B
【解析】依题意，、是两个定点，P是一个动点，
且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支.故选：B
【变式1-3】（23-24高二下·四川广安·月考）（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点的轨迹为椭圆
B．若，则点的轨迹为双曲线
C．若，则点的轨迹为一条直线
D．若，则点的轨迹为圆
【答案】BCD
【解析】对于选项A：，则点的轨迹为线段，故A错误；
对于选项B：，则点的轨迹是双曲线，故B正确；
对于选项：设，由，可得，
化简得，表示一条直线，故C正确；
对于选项D：由，可得，
则点的轨迹是以为直径的圆，故D正确.故选：BCD.
考点二：求双曲线的标准方程
例2.（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知，，所以，
所以双曲线的方程为.故选：D.
【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得,
由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即，
所以.
又因为焦点在轴上，所以曲线方程为.故选:A.
【变式2-2】（23-24高二上·湖北武汉·月考）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由椭圆方程可知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为，
所以双曲线的顶点为，，焦点为，，，
所以双曲线方程为.故选：A
【变式2-3】（23-24高二上·山东青岛·月考）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为，
则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为，
由双曲线的定义可知
所以，
所以所求双曲线的标准方程为.故选：C.
考点三：双曲线方程的参数问题
例3.（23-24高二下·安徽芜湖·月考）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
因为方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，解得.故选：A.
【变式3-1】（23-24高二上·天津静海·月考）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由变形得到，
因为方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，解得，
故答案为：.
【变式3-2】（23-24高二上·江西新余·月考）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由方程表示双曲线，则满足，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式3-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．且
【答案】A
【解析】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则有，解得，
所以实数m的取值范围为.故选：A
考点四：利用定义解决焦三角问题
例4.（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为 ．
【答案】36
【解析】由题意得，则，
所以的周长为．
故答案为：36.
【变式4-1】（23-24高二上·山东泰安·月考）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于 ．
【答案】
【解析】由双曲线，可得，则，
因为是该双曲线上一点，且，可得，
即，
在中，可得，
可得，
所以的面积为.
故答案为：.
【变式4-2】（23-24高二上·福建漳州·月考）若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则
【答案】32
【解析】由，得，即，
所以，即 ，
根据已知条件做出图形如图所示
设，
则由双曲线的定义知，①，②，
由余弦定理得③，
联立①②③，得
，即，
又，所以，，所以，即.
所以为直角三角形，
所以，解得.
故答案为：.
【变式4-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设点坐标为，
由题意可知，，，
则，，，.
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得．
因为，则．
因为，
所以，解得．
又因为点P在双曲线，所以，
则.故选：A
考点五：利用定义解决最值问题
例5.（22-23高二下·宁夏石嘴山·月考）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5,
而，仅当共线且在之间时等号成立，
所以，当共线且在之间时等号成立.故选：D
【变式5-1】（22-23高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】C
【解析】由双曲线，则，即，且，
由题意，
，
当且仅当共线时，等号成立.故选：C.
【变式5-2】（23-24高二上·江苏苏州·月考）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ）
A．不存在B．8C．7D．6
【答案】A
【解析】依题意，下焦点，设上焦点，
双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，
所以延长时，与双曲线没有交点，，
设延长，交双曲线上支于，
依题意，是双曲线上支上的动点，
根据双曲线的定义可知，
，当在点时等号成立，则，
所以，所以，
所以，所以的最大值不存在.故选：A
【变式5-3】（23-24高二上·浙江金华·月考）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在双曲线中，，，
，，
设双曲线的右焦点为，则，
在双曲线的右支上，
，即，
由题知，圆心，半径，在圆上，，
则，
当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为，
此时，
的最小值为.故选：D.
考点六：与双曲线有关的轨迹问题
例6.（23-24高二上·湖南常德·月考）与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上B．双曲线上的一支上C．抛物线上D．圆上
【答案】B
【解析】由圆可知，圆心，半径，
圆化为标准方程，
圆心，半径，
因此圆心距，所以两圆相离，
设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为，
则满足，所以，
即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离，
根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支，
即圆心在双曲线的一支上.故选：B.
【变式6-1】（23-24高二上·河北沧州·月考）已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，由题意可得，整理可得，
即动点的轨迹方程为，故选：A．
【变式6-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（ ）
A．射线B．椭圆C．双曲线D．圆
【答案】C
【解析】连接、，如图所示：
因为为的垂直平分线，所以，
所以为定值，
又因为点在圆外，所以，
根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线.故选：C.
【变式6-3】（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆，即，圆心为，半径，
设动圆的半径为，
若动圆与圆相内切，则圆在圆内，
所以，，所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
若动圆与圆相外切，所以，，所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
综上可得动圆圆心的轨迹方程是.故选：C
一、单选题
1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2B．4C．D．6
【答案】D
【解析】双曲线的方程为：，
可得，，所以，
所以双曲线的焦距长为：.故选：D.
2．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意设双曲线的标准方程为：.
则，解得：.
所以双曲线的标准方程为.故选：A
3．（23-24高二上·北京·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A选项：,轨迹为椭圆；
对于B选项：,轨迹不存在．；
对于C选项：的轨迹存在，
比如点就在轨迹上；
对于D选项：,轨迹为椭圆；故选：B.
4．（23-24高二上·河北张家口·月考）若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【解析】由题意得，解得.故选：B.
5．（23-24高二下·上海·月考）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．5或13
【答案】B
【解析】双曲线的，
由双曲线的定义可得．
因为，所以，得或17，
若，则在右支上，应有，不成立；
若，则在左支上，应有，成立．故选：B．
6．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）与圆：和圆：都外切的圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
再由圆与圆、圆都外切，设圆的半径为，
则，，所以，
因此，由双曲线的定义可得圆心的轨迹为双曲线的右支，
且该双曲线的焦距为，实轴长为，
所以，故，
所以所求圆的圆心的轨迹方程.故选：D.
二、多选题
7．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知，则方程表示的曲线可能是（ ）
A．两条直线B．圆
C．焦点在轴的椭圆D．焦点在轴的双曲线
【答案】ABC
【解析】对A，因为，所以可取，
则有或，表示两条直线，A正确；
对B，因为，所以可取，则有，表示圆，B正确；
对C，因为，所以可取，则有，表示焦点在轴的椭圆，C正确；
对D，因为，所以该曲线方程不可能为焦点在轴的双曲线，D错误；故选:ABC.
8．（23-24高二上·四川雅安·月考）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（ ）
A．B．
C．的面积为31D．的周长为
【答案】AD
【解析】由题知，，则．因为在第一象限，所以．
在中，因为，
所以，A正确；
且，可得，B错误；
所以，C错误；
因为，所以，
故的周长为，D正确．故选：AD.
三、填空题
9．（23-24高二上·福建厦门·月考）若点P是双曲线上一点，，分别为C的左、右焦点，，则 .
【答案】5或13
【解析】设双曲线的半焦距为，则，
因为，解得或，
经检验均符合题意；所以或13.
故答案为：5或13.
10．（23-24高二下·广西·月考）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ．
【答案】
【解析】椭圆的焦点为，长轴上的顶点为，
设所求双曲线方程为，
所以，，所以，
所以双曲线方程为.
故答案为：
11．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ．
【答案】/
【解析】由已知可得，，，
所以，，，.

如图，设双曲线左焦点为，
因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上.
根据双曲线的定义可得，，
所以，.
所以，.
由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值.
又，所以，
所以，有最小值，即有最小值.
故答案为：.
四、解答题
12．（2023高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；
(2)焦点在轴上，经过点和点．
(3)经过点和．
(4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【解析】（1）由已知得，，即，∵，∴，
∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是；
（2）设双曲线的方程为，则，所以，
∴双曲线方程为；
（3）设双曲线方程为，
将两点代入可得，解得，
所以双曲线的标准方程为；
（4）设椭圆的半焦距为，则，∴，
所以椭圆的焦点坐标为，，
所以双曲线的焦点坐标为，，
设所求双曲线的标准方程为，则，
故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上，
∴代入有，化简得，解得或；
当时， ，不合题意，舍去；
∴，
∴所求双曲线的标准方程为.
13．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1），得，，所以双曲线．
（2）设，则，
在中，由余弦定理得，
，解得或（舍），
故，故．