第11讲 椭圆的几何性质讲义（原卷版+教师版）暑期预习衔接 人教A版高二数学选修第一册

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编号
学 科
数学
年 级
课题名称
内容
第18讲 椭圆的简单几何性质
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．能利用类比的方法，通过椭圆的标准方程推导出椭圆的简单几何性质；
2．能通过椭圆简单几何性质的应用，将椭圆的实际问题转化为数学问题，提升数学建模素养
知识点 1 椭圆的简单几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围
，
，
对称性
关于轴、原点对称
轴长
长轴长：；短轴长：
长轴长：；短轴长：
顶点
离心率
离心率越接近0，则椭圆越圆；离心率越接近1，则椭圆越扁
通径
通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长
通径的大小：
知识点 2 直线与椭圆的位置关系
1、位置关系的判断
直线与椭圆的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
= 1 \* GB3 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
= 2 \* GB3 ②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则弦长公式为：．
3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
（3）写出根与系数的关系；
（4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式；
（5）代入求解．
知识点 3 椭圆的中点弦问题
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有．
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴．
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有．
考点一：由椭圆方程求研究几何性质
例1．（23-24高二上·河北邢台·月考）（多选）已知椭圆，则（ ）
A．椭圆的长轴长为B．椭圆的焦距为6
C．椭圆的短半轴长为D．椭圆的离心率为
【答案】BD
【解析】因为椭圆，所以，且椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的长轴长为，焦距为6，短半轴长为，离心率.故选：BD.
【变式1-1】（23-24高二上·河南焦作·月考）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【解析】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，
，解得．故选：A．
【变式1-2】（23-24高二下·北京·开学考试）椭圆的焦距为2，则为（ ）
A．5或13B．5C．8或10D．8
【答案】C
【解析】因为椭圆的焦距为2，则且，，
当焦点在轴上时，，则，则，
当焦点在轴上时，，则，则，
故的值为8或10，故选：C.
【变式1-3】（23-24高二上·湖南常德·月考）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
【解析】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，
椭圆的长轴长为，短轴长为，
焦距为，离心率为，
所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.故选：D.
考点二：由几何性质求椭圆方程
例2.（22-23高二上·河南·月考）已知直线，经过椭圆的右顶点和上顶点，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线与坐标轴交点为，，
直线经过椭圆的右顶点和上顶点，所以，，
所以椭圆方程为：.故选：C.
【变式2-1】（23-24高二下·四川广安·开学考）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，解得，所以椭圆方程为：，故选：A.
【变式2-2】（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设椭圆的半焦距为，
由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.故选：C.
【变式2-3】（23-24高二上·北京·月考）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上，
设所求椭圆方程为，
依题意有，所以，所求椭圆方程为.故选：B
考点三：求椭圆离心率的值
例3.（23-24高二下·河南周口·月考）已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的垂心为点是以为直角顶点的直角三角形，
又,与相似（为坐标原点），
，
，解得或（舍），故选：A．
【变式3-1】（23-24高二下·山西晋城·月考）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，为椭圆的顶点，且的内心和重心重合，
所以为等边三角形，
又因为，所以，即.故选：C.
【变式3-2】（23-24高二下·重庆·月考）椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ， 11 延长直线 交线段 于 ，若 ，则椭圆 的离心率是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，
设点，则，，，
由 知，为线段的中点，则，
由三点共线，故，化简得到，故.故选：A.
【变式3-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是A点关于原点O的对称点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图
取椭圆的另一焦点，连接，，.
因为、关于原点对称，则四边形是平行四边形.
又，所以四边形是矩形.
设，在中：，，，所以.
由椭圆定义：，
所以.
在中，，，
，，
由勾股定理：.
所以，故.故选：C
考点四：求椭圆离心率的取值范围
例4.（23-24高三上·江苏淮安·月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于两点，
可得，即，
因为为钝角三角形，则，可得，即，即，
又因为，可得，即，
即，且，解得，
即椭圆的离心率的取值范围为.故选：A.
【变式4-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，故在为直径的圆上，即，
圆在椭圆内部，故，，故.故选：B.
【变式4-2】（23-24高二上·浙江台州·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设椭圆的上顶点为，连接、，则，，
椭圆上存在点，使得，则需，
则，显然，所以，
所以，所以，
又，所以，即椭圆离心率的取值范围为．故选：D．
【变式4-3】（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，，，
，
因为，所以，又，
所以时，取得最大值，
恒成立，则，变形得，
又，故解得，故选：D．
考点五：直线与椭圆的位置关系
例5.（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上选项都不对
【答案】A
【解析】由消去y并整理得：，显然，
因此方程组有两个不同的解，
所以与相交.故选：A
【变式5-1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．不能确定
【答案】B
【解析】，即，令，解得，
则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内，
则直线与椭圆的位置关系为相交.故选：B.
【变式5-2】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】C
【解析】因为直线过点，
而为椭圆的右端点和上端点，
故直线与椭圆相交.故选：C.
【变式5-3】（23-24高二下·山东烟台·月考）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
因为是焦点在轴上的椭圆，所以，
直线过定点，
因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，
所以点在椭圆上或椭圆内部，所以，解得，
综上所述，.故选：D.
考点六：直线与椭圆相交弦长
例6.（22-23高二上·江苏淮安·月考）过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由,得椭圆方程,
左焦点为,
过左焦点的直线为，
代入椭圆方程得，解得或，
，故选：D.
【变式6-1】（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（ ）
A．4B．C．1D．
【答案】C
【解析】因为椭圆，可得，所以，
所以椭圆的右焦点的坐标为，
将，代入椭圆的方程，求得，所以.故选：C.
【变式6-2】（23-24高二上·浙江温州·期中）直线：在椭圆上截得的弦长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设与椭圆交于，
联立可得，
且，，
所以，故选：D.
【变式6-3】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由已知长轴为，短轴长为4，可得，，
则椭圆C的标准方程为：；
（2）依题意，解得，
因为，可得，且，
因为，解得，
所以直线的方程为l：．
考点七：椭圆的中点弦问题
例7.（22-23高二上·安徽芜湖·月考）不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，，，
则，又，
所以，即，即，
又，，所以.故选：A
【变式7-1】（22-23高二上·四川成都·期中）若椭圆的动弦斜率为，则弦中点坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，则由已知得，，，
两式作差可得，，整理可得.
中点D的坐标为，则有.
又点D在椭圆的内部，所以故选：B.
【变式7-2】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】的中点坐标为，则，
设，，则，，
相减得到：，即，，
又，，解得，，椭圆的方程为.故选：C.
【变式7-3】（22-23高二上·广东东莞·月考）已知椭圆的短半轴为3，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线交椭圆于两点，且为的中点，求弦的长度.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由椭圆 的短半轴为，离心率为，
可得且，即，
因为，可得，解得，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）设，因为为的中点，可得，
则 ，两式相减得，
即，即，
所以直线的方程为，即，
联立方程组，整理得，可得，
则.
考点八：椭圆的综合应用
例8.（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)求的面积.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由已知有，，故，所以离心率.
（2）如图，设，，的中点为.
则由，可知.
而，
故.
所以，从而在直线上.
由知，故，
结合可知直线的方程为.
所以是直线和的交点，故.
而，故的方程为，与椭圆联立解得，.
所以，，故.
【变式8-1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意得：，，，，，
，即，；
当直线过焦点且与轴垂直时，，不妨令，
由得：，，
由得：，椭圆的方程为：.
（2）由题意知：直线斜率不为，可设，
由得：，
则，
设，则，，
，
又，，
，解得：，
直线的斜率.
【变式8-2】（23-24高二上·天津·期末）已知㭻圆：（）经过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意可得所以，
所以椭圆方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，，
，
所以，所以，
故，,
所以，
所以，
所以，解得，
故直线的方程为.
【变式8-3】（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点.
(1)求C的方程；
(2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）椭圆的右焦点为，
则椭圆的半焦距为，
由于，则椭圆的方程变为：，
将点的坐标代入，，
解得：或（舍去），得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为，
，，
由消去x并整理得：，
，，
的面积，
，
设，，
，
因为，当且仅当，时取得“=”，
于是得，，
所以面积的最大值为1.
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【解析】由条件可知，，，则，
由条件可知，，得，
所以，椭圆的长轴长.故选：B
2．（23-24高二上·山东济宁·月考）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】焦距为，长轴长与短轴长之比为2:1，
，即，且，联立解得，
焦点在y轴上，所以椭圆方程为：.故选：D
3．（23-24高二上·江苏徐州·期中）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】B
【解析】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，
代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.故选：B
4．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无数个
【答案】C
【解析】由消去y并整理得，显然，
所以直线与椭圆相交，有2个公共点.故选：C
5．（23-24高二下·河南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，则，即，
则，从而，，所以，
如图，取的中点为，则，
在中，.
在中，由余弦定理得，，
化简得，则.故选：D
6．（23-24高二上·山东济南·月考）已知椭圆，点是椭圆上任意一点，则到直线的距离最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，,则，
则，
所以直线与椭圆相切，且在椭圆上方，
设直线方程为，联立，
则，
故，即，解得或（舍去），
则 ，故，故选：A
二、多选题
7．（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（ ）
A．C的焦距为2B．C的短轴长为
C．C的离心率为D．的周长为8
【答案】ABD
【解析】由于，所以,
故，
因此，故，
所以椭圆，
对于A，焦距为，故A正确，
对于B，短轴长为，B正确，
对于C，离心率为，C错误，
对于D，的周长为，D正确，故选：ABD
8．（23-24高二上·甘肃武威·月考）已知椭圆，则（ ）
A．的焦点都在轴上B．的焦距不相等
C．有公共点D．椭圆比椭圆扁平
【答案】BCD
【解析】由椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，所以A不正确；
又由椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
由椭圆和的方程，可得两椭圆和都过，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，
所以，所以D正确.故选:BCD.
三、填空题
9．（23-24高二上·江苏扬州·月考）若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】由于椭圆焦距为，所以，
由于椭圆的焦点在轴上，，
所以，解得.
故答案为：
10．（22-23高二上·湖南邵阳·月考）设椭圆经过点，离心率为，求过点且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标 .
【答案】
【解析】椭圆经过点 所以 ，又因为 ，得 ，
所以椭圆C方程为 ，
过点且斜率为的直线方程为，
设直线与椭圆C的交点为，线段EF的中点为，
将直线方程代入C的方程，整理就会得到，
，中点坐标为，
故答案为：
11．（23-24高二上·河南许昌·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为是以为底边的等腰三角形，
所以，所以，
，，
在中，由余弦定理得：，
故，即，
即，
不等式，即，解得(舍去)或
不等式，即
所以.
故答案为：
四、解答题
12．（23-24高二上·天津·月考）已知椭圆的焦距为2，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于M，N两点，点为椭圆的右焦点，求的面积．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由已知得，
可得，所以椭圆C的标准方程为；
（2）由（1）得，则直线：，
联立，消去得，设，
则，
所以.
13．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆L的标准方程；
(2)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求此弦所在的直线方程．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由题意，则椭圆标准方程为；
（2）令过椭圆内一点的直线交椭圆于，
所以，两式作差得，则，
又，，故直线斜率为，
所以直线为，即.