第10讲 椭圆的定义及方程讲义（原卷版+解析版）暑期预习衔接 人教A版高二数学选修第一册

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学 科
数学
年 级
课题名称
内容
第17讲 椭圆及其标准方程
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程；
3．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程.
知识点 1 椭圆的定义
1、定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距．
2、椭圆定义的集合语言表示：
3、对定义的理解：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在．
知识点 2 椭圆的标准方程
1、椭圆标准方程的推导：
（1）怎样建立适当的直角坐标系？
以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1．
（2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？
设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.
焦点的坐标分别是，
图1
又设M与的距离的和等于常数．
由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|}
因为，
所以
（3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？
即
两边平方得
整理得
再平方并整理得
两边同除以得
考虑,应有，故设，就有．
2、椭圆的标准方程对比
3、椭圆标准方程的求解
（1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
= 1 \* GB3 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上；
= 2 \* GB3 ②定量：依据条件及确定的值；
= 3 \* GB3 ③写出标准方程．
（2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；
（3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数．
知识点 3 点与椭圆的位置关系
1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点P在椭圆内部；
点P在椭圆上；
点P在椭圆外部．
2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点在椭圆外；
点在椭圆内；
点在椭圆上；
知识点 4 椭圆的焦点三角形
1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”．
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题．
（设 QUOTE 为 QUOTE ）
2、两条性质
性质1： QUOTE ， QUOTE （两个定义）
拓展： QUOTE 的周长为 QUOTE
QUOTE 的周长为 QUOTE
性质2： QUOTE （余弦定理）．
考点一：椭圆定义及其辨析
例1．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知是椭圆上的动点，则到椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由椭圆方程可知：，
由椭圆定义可知：到椭圆的两个焦点的距离之和为，故选：D.
【变式1-1】（23-24高二下·陕西·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【解析】因为，则，
由椭圆的定义可知：，
又因为，解得：.故选：B.
【变式1-2】（23-24高二下·安徽·月考）如果动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段
【答案】D
【解析】方程表示
动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，
即，
所以点M的轨迹是线段．故选：D
【变式1-3】（23-24高二上·河南焦作·月考）（多选）下列是真命题的是（ ）
A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆
B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段
C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆
【答案】BD
【解析】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误；
对于B，点的轨迹为线段，故B正确；
对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误；
对于D，到定点的距离的和为，
所以点的轨迹为椭圆，故D正确．故选：BD.
考点二：求椭圆的标准方程
例2.（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ）
A．3B．5C．6D．9
【答案】B
【解析】由已知可得椭圆的焦点在轴上，故，，，
则，即.故选：B
【变式2-1】（23-24高二上·吉林·期末）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，
所以，，则，，椭圆的标准方程为.故选：B.
【变式2-2】（23-24高二上·河南南阳·月考）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．1C．D．1
【答案】A
【解析】由于椭圆焦点在x轴上，且经过点，所以，
设椭圆方程为，
将代入椭圆可得，解得，
所以椭圆方程为，故选：A
【变式2-3】（22-23高二上·陕西咸阳·月考）过点且与椭圆有相同焦距的椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】由椭圆方程得两焦点坐标为，焦距为，
当所求椭圆的焦点在轴上时，设其标准方程为，
所以①，
又椭圆经过点，所以②，
联立①②解得，
故所求椭圆的标准方程为.
当所求椭圆的焦点在轴上时，设其标准方程为，
所以③，
又椭圆经过点，所以④，
联立③④解得，
故所求椭圆的标准方程为.
综上，所求椭圆的标准方程为或.故选：D.
考点三：椭圆方程的参数问题
例3.23-24高二下·重庆·月考）已知,则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【解析】由题意可知，则有如下，
，
共7种情况.故选：C
【变式3-1】（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．且
【答案】D
【解析】方程表示椭圆，
，得，得且．故选：D．
【变式3-2】（23-24高二下·广西·月考）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,
需满足，解得.故选：B.
【变式3-3】（23-24高二上·江苏泰州·月考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，故.
故答案为：
考点四：点与椭圆的位置关系
例4. （23-24高二上·全国·课后作业）已知椭圆的焦点为，点满足，则（ ）
A．点在椭圆外B．点在椭圆内
C．点在椭圆上D．点与椭圆的位置关系不能确定
【答案】A
【解析】若在椭圆上，则，
，点在椭圆外.故选：A.
【变式4-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上B．点在椭圆内
C．点在椭圆外D．不确定
【答案】B
【解析】由于，所以在内，故选：B
【变式4-2】（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】BC
【解析】由题意知，解得．故选：BC
【变式4-3】（23-24高二上·江苏徐州·期末）（多选）已知直线与圆相切，椭圆，则（ ）
A．点在圆O内B．点在圆O上
C．点在椭圆C内D．点在椭圆C上
【答案】BC
【解析】由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离，
即，所以点在圆O上，
并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内.故选：BC
考点五：利用定义解决焦三角问题
例5.（23-24高二下·四川雅安·开学考试）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（ ）
A．24B．12C．36D．48
【答案】A
【解析】因为，
所以的周长为24．故选：A.
【变式5-1】（23-24高二下·天津·月考）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】B
【解析】由可得：，
则椭圆得长轴长为，
，可设，，
由题意可知，，，，
，△是直角三角形，
其面积．故选：B．
【变式5-2】（23-24高二下·浙江·月考）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【解析】因为椭圆，所以，
又因为，所以，即，
设，则①，且②，
由①②得到，即，所以，故选：B.
【变式5-3】（23-24高二上·天津·月考）已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ．
【答案】40
【解析】由题意可得，
在中，，由余弦定理，
得，
得，得，
所以．
故答案为：40．
考点六：利用定义解决最值问题
例6.（23-24高二上·河北·月考）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【解析】如图，
设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，，
所以.故选：B.
【变式6-1】（23-24高二下·安徽·月考）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 .
【答案】5
【解析】设椭圆的半焦距为，则，，
所以，，，
所以．
如图，因为（当M在的延长线上时取等号），，
所以．
所以的最大值为5，
故答案为：5
【变式6-2】（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】如图，由题意，椭圆的焦点为，，
则圆的圆心是椭圆的左焦点，
由椭圆定义得，所以，
又，
所以.故选：B.
【变式6-3】（22-23高二上·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【解析】由椭圆方程可知：，
设右焦点为，则，，且，即，
如图所示，
可得：，
当且仅当在线段上时，等号成立，
所以的最大值为3.故选：C.
考点七：与椭圆有关的轨迹问题
例7.（23-24高二下·湖北黄冈·月考）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为、，所以，
又因为的周长为，得，
由椭圆的定义可知：顶点的轨迹是一个以为焦点的椭圆的一部分，
且椭圆中，
，，即，
椭圆方程为，
因为时，三点共线，不能构成三角形．
顶点的轨迹方程为，故选：C．
【变式7-1】（23-24高二下·上海静安·月考）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（ ）
A．直线B．圆
C．焦点在轴上的椭圆D．焦点在轴上的椭圆
【答案】C
【解析】设动圆的圆心的坐标为，半径为，
因为动圆与圆：内切，且与圆：外切，
可得，
所以,
根据椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
可得，则，
所以动点的轨迹方程为.
所以其轨迹为焦点在轴上的椭圆.故选：C.
【变式7-2】（23-24高二上·河南省直辖县级单位·月考）已知圆，定点为，M为圆C上一动点，点P是线段的中点，点N在上，点N不在x轴上，且满足，则点N的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】根据已知得是的垂直平分线，则，
圆的圆心，半径为，
则，
因此点N的轨迹是以点为焦点，长轴长为的椭圆，
其中，
故点N的轨迹方程是．
故答案为：．
【变式7-3】（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知M为椭圆上的动点，过点M作x轴的垂线，D为垂足，点P满足，求动点P的轨迹E的方程（当点M经过椭圆与x轴的交点时，规定点P与点M重合．）
【答案】
【解析】由题意设，则，，
所以，
又因为，所以，解得，
由规定可知，
所以，即动点P的轨迹E的方程为.
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏淮安·月考）设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（ ）
A．4B．5C．8D．10
【答案】C
【解析】由椭圆，得，则，所以.故选：C.
2．（23-24高二下·贵州贵阳·月考）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（ ）
A．2B．4C．8D．10
【答案】B
【解析】由题意得，，，，所以．故选：B．
3．（22-23高二上·吉林·期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设椭圆的方程为，根据题意知
又椭圆过点，所以，且，计算得
所以椭圆的方程为，选项B正确.故选：B.
4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·月考）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意知表示椭圆，
则，解得.故选：A.
5．（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．点不在椭圆上B．点不在椭圆上
C．点在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系
【答案】C
【解析】点与点关于原点对称，
点与关于轴对称，
点与关于轴对称，
若点在椭圆上，
根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，故选：C
6．（23-24高二下·四川广元·月考）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为( )
A．B．C．D．6
【答案】B
【解析】由椭圆的定义知
∴的周长为，
∴当最小时，最大．
当轴，即AB为通径时，最小，此时，
∴的最大值为．故选：B．
二、多选题
7．（23-24高二下·福建福州·月考）若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（ ）
A．B．C． D．2
【答案】BCD
【解析】由题意可知，，
若这两个顶点为长轴的两个端点时，；
若这两个顶点为短轴的两个端点时，；
若一个顶点短轴的端点，另一个为长轴的端点时，；故选：BCD
8．（22-23高二上·吉林·月考）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为8B．存在点，使得
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由可得,焦点坐标分别为.
对A项, 的周长为，故A错误;
对B项,设存在点,根据两点间距离公式和椭圆的定义
得，即,解得或,故B正确;
对C项, 设点,,则,
所以,,
则,又因为,所以,
所以的取值范围为,故C正确;
对D项, 由C知, ,则,因为,
所以,则,同理可得，
所以,
当时,取得最大值,
当或时, 的值,但且，
所以的取值范围为,故D正确.故选:BCD.
三、填空题
9．（23-24高二上·四川遂宁·月考）椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于 .
【答案】14
【解析】因为椭圆，则，
设椭圆的左右焦点分别为，
因为P与它的一个焦点的距离等于6，
不妨令,由椭圆的定义可知，
则，即点P与另一个焦点的距离等于14.
故答案为：14
10．（23-24高二下·上海静安·月考）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ．
【答案】2
【解析】由椭圆方程知：，，，
，，
由椭圆定义知：，
，解得：.
故答案为：2.
11．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知，，动点满足，若，则的范围为 ．
【答案】
【解析】由椭圆的定义可知动点的轨迹为椭圆，且，，
所以，
又由三角形的性质可知，
当且仅当共线时等号成立，
所以，所以，
故答案为：
四、解答题
12．（23-24高二上·湖北十堰·月考）已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点为椭圆上的动点，且，求的面积.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意可知，，
设椭圆方程为，将点代入椭圆方程，
得，解得（舍），，
所以椭圆方程为
（2）设，，
由余弦定理得，解得
所以，即或，
则三角形面积
13．（23-24高二上·河南郑州·月考）（1）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹．
（2）如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设d是点M到直线的距离，
根据题意，动点的轨迹就是集合，则，
将上式两边平方，并化简，得，即，
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．
（2）设点M的坐标为，点P的坐标为，则，，
因为点在圆上，所以，
把，代入上述方程，得，即所求轨迹方程为.