第20讲 椭圆的简单几何性质10种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）

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1.掌握椭圆的简单几何性质．
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.
知识点1 椭圆的简单几何性质
注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．
(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．
(6)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
拓展：用离心率e＝eq \f(c,a)来刻画椭圆的扁平程度．
如图所示，在Rt△BF2O中，cs∠BF2O＝eq \f(c,a)，记e＝eq \f(c,a)，则0(7)常用椭圆方程的设法
①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
②有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
知识点2 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
知识点3 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点4 直线与椭圆相交的弦长公式
1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2．求弦长的方法
(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
(2)根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2).
注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即 ，故
（2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
1、用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
注：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
2、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等．
3、求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
4、判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．
5、解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1， ②))
由①－②，得eq \f(1,a2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋eq \f(1,b2)(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，变形得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)，即kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
6、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．
7、解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
考点一：由标准方程研究几何性质
例1．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2023秋·高二课时练习）椭圆与椭圆的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
变式2．（2023秋·四川内江·高三期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（ ）
A．B．3C．D．
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，如果是直角三角形，求点的坐标．
考点二：利用几何性质求标准方程
例2．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；
(2)经过两点和；
(3)经过两点.
(4)过点且与椭圆有相同焦点.
变式1．（2023·高二课时练习）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程.
变式2．（2023·高二课时练习）与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023秋·高二课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ）
A．B．或
C．D．
考点三：点与椭圆的位置关系
（一）点和椭圆位置关系的判断
例3．（2023·全国·高二假期作业）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2023秋·高二课时练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．点不在椭圆上B．点不在椭圆上
C．点在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系
变式2．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
（二）根据点和椭圆位置关系求参数
例4．（2023秋·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．
变式1．（2023·高二课时练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（2023秋·高二课时练习）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是______．
（三）点和椭圆位置关系的应用
例5．（2023秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为___________.
变式1．（2023·全国·高二专题练习）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围.
变式2．（2023秋·湖南郴州·高二校考期中）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3．【多选】（2023春·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
考点四：椭圆的离心率问题
求椭圆的离心率
例6．（2023秋·高二单元测试）设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为_______.
变式1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023春·河北·高二校联考期末）如图所示，斜率为的直线交椭圆于M、N两点，交轴、轴分别于Q、P两点，且，则椭圆的离心率为______．

变式3．（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023春·上海虹口·高二统考期末）已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于________.
变式5．（2023春·湖北武汉·高二校联考期末）已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点．若，且点到直线的最小距离为，则的离心率为______．
变式7．（2023·高二课时练习）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
求椭圆的离心率的取值范围
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·全国·高二期末）已知点是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023春·上海青浦·高二统考期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023春·湖南益阳·高二统考期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
由椭圆的离心率求参数（范围）
例8．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（ ）
A．3B．7C．3或D．7或
变式1．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的离心率为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式2．（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________.
变式3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，则长轴与短轴的比值为______.
变式4．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
考点五：直线与椭圆的位置关系
例9．（2023春·江西吉安·高二校考期中）直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
变式1．（2023秋·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）直线：与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相交
变式2．（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）直线与曲线的公共点的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
变式3．（2023秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．至多为B．C．D．
变式4．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.
变式5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（ ）
A．或B．
C．D．或
考点六：弦长及中点弦问题
（一）弦长问题
例10．（2023秋·高二课时练习）过椭圆的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，则等于________．
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_________．
变式2．（2023秋·福建莆田·高二校联考期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点.求弦MN的长.
变式3．（2024秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点，且在直线l的左上方.若，则的周长是______.
变式4．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
变式5．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．
(1)求点的轨迹方程；
(2)经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．
变式6．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.
变式7．（2023春·广东江门·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．
变式8．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围.
（二）中点弦问题
例11．（2023秋·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______.
变式1．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知过点的直线，与椭圆 相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是___________________.
变式2．（2023·全国·高三对口高考）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为_________．
变式3．（2023秋·高二课时练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为_________．
变式5．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．
考点七：求椭圆的参数或范围问题
例12．（2023秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知点A，B是椭圆上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点的距离相等，求实数m的取值范围．
变式1．（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为__________．
变式4．（2023·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为，，为椭圆上任意一点，求使的x的取值范围．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）若经过点的直线l与椭圆有A，B两个交点（其中点A在x轴上方），求的取值范围．
考点八：求椭圆的最值问题
例13．（2023秋·高二课时练习）已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______.
变式2．（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.
变式4．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）若，且在上，在圆上，则的最小值为______.
变式5．（2023秋·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知点是曲线上的动点则的取值范围是_________.
考点九：椭圆的定点、定值问题
例14．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆离心率为，焦距为.
(1)求的方程；
(2)过点分别作斜率和为的两条直线与，设交于、两点，交于、两点，、的中点分别为、.求证：直线过定点.
变式1．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AP、BQ的斜率分别为、，且.求证：直线PQ经过定点.
变式2．（福建省泉州市部分中学2022-2023学年高二下期末联考数学试题）已知为坐标原点，点到点的距离与它到直线的距离之比等于，记的轨迹为．点在上，三点共线，为线段的中点．
(1)证明：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)直线与相交于点，试问以为直径的圆是否过定点，说明理由．
变式3．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.
(1)设，求的值；
(2)求证：；
(3)设，过椭圆Γ右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
例15．（2023春·河南平顶山·高二统考期末）已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
变式1．（2023秋·江苏扬州·高二校考期中）已知分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．
（1）若点M的坐标为（），求的面积；
（2）若点M的坐标为(x0，y0)，且是钝角，求横坐标x0的范围；
（3）若点M的坐标为，且直线（）与椭圆W交于两不同点，求证：为定值，并求出该定值；
变式2．（2023·高二课时练习）已知点M为椭圆上的任一点，它与此椭圆的短轴两端点、的连线分别交x轴于点P、Q．求证：为定值．（O为坐标原点）
变式3．（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知点在椭圆上，点为椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为．记直线的斜率分别为．
(1)求证：为定值；
(2)若，求证：为定值．
考点十：椭圆的实际应用问题
例16．（2023春·河北邯郸·高二统考期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（ ）
A．39B．52C．86D．97
变式1．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023秋·河南郑州·高二郑州四中校考期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）
1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023·天津·统考高考真题）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
4．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
5．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·高二课时练习）若某卫星运行的轨道是以地心为一个焦点的椭圆，该卫星近地点离地面的距离为 km，远地点离地面的距离为km，地球的半径为km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知椭圆：，若矩形的四个顶点都在上，则称为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形的外接椭圆的短轴长为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（ ）

A．B．C．D．
6．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若为等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·陕西汉中·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线，在第二象限分别交及圆于点，若为的中点，为的上顶点，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离的积等于，记点的轨迹为曲线，则下列说法不正确的是（ ）
A．曲线关于坐标轴对称B．周长的最小值为
C．面积的最大值为D．点到原点距离的最小值为
9．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）已知分别为曲线与圆上的动点，若存在，使得三角形是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知圆与圆交点的轨迹为，过平面内的点作轨迹的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点为是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．若是左，右端点，则的最大值为
C．若点坐标是，则过的的切线方程是
D．若过原点的直线交于两点，则
12．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆的焦点在轴上，且分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的离心率为
C．存在，使得
D．面积的最大值为
13．（2023春·河南许昌·高二统考期末）椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．过点的直线与椭圆交于、两点，则的周长为
C．椭圆上存在点，使得的面积为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为
14．（2023春·湖北·高二统考期末）“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（ ）

A．椭圆轨道Ⅱ的焦距为
B．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为
C．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
D．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
15．（2023秋·高二单元测试）已知，是椭圆：的左右顶点，过点且斜率不为零的直线与 交于，两点，，，，分别表示直线，，，的斜率，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C． D．直线与的交点的轨迹方程是
三、填空题
16．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过点作的角平分线交椭圆的长轴于点，则点的坐标为__________.
17．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知点是椭圆：的右焦点，点关于直线的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为_______.
18．（2023春·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）是椭圆内接的内切圆，且在y轴右侧，则______.
19．（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则面积的最小值为______．
20．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为____________.
21．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为________．
四、解答题
22．（2023春·河南·高二校联考期末）已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知，E为直线上一纵坐标不为0的点，且直线DE交C于H，G两点，证明：.
23．（2023秋·四川内江·高三期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值.
河北省邢台市2023-2023学年高二下学期期末数学试题）椭圆的两焦点为，，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)是坐标原点，是椭圆上两点，是平行四边形，求以为直径的圆的方程.
25．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆的中心为，离心率为.圆在的内部，半径为，、分别为和圆上的动点，且，两点的最小距离为.
(1)建立适当的坐标系，求的方程；
(2)若直线与圆相切，且与相交于A，B两点.
①求证：以为直径的圆过原点；
②求面积的取值范围.
26．（2023春·广东阳江·高二统考期末）已知椭圆的焦距为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，为椭圆的下顶点，当时，求的取值范围．
27．（安徽省安庆、池州、铜陵三市2023-2023学年高二下学期联合期末检测数学试题）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆左右顶点为，在上有一动点，连接分别和椭圆交于两点，与的面积分别为．是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2023春·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知椭圆G：的离心率为，且过点．
(1)求椭圆G的方程；
(2)若过点M（1，0）的直线与椭圆G交于两点A，B，设点，求的范围．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)(0