第9讲 圆的方程讲义（原卷版+解析版）暑期预习衔接 人教A版高二数学选修第一册

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编号
学 科
数学
年 级
课题名称
内容
第13讲 圆的标准方程
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征；
2．能根据所给条件求圆的标准方程；
3．掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.
知识点 1 圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．
如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径．
知识点 2 圆的标准方程
1、圆的标准方程：我们把称为圆心为，半径长为的圆的标准方程．
【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径．
（2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程．
2、圆的标准方程的推导过程
（1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为．
（2）写点集：根据定义，圆就是集合．
（3）列方程：由两点间的距离公式得．
（4）化简方程：将上式两边平方得．
3、几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程的标准形式
圆心在原点
圆过原点
圆心在轴
圆心在轴
圆心在轴上且过原点
圆心在轴上且过原点
圆与轴相切
圆与轴相切
圆与两坐标轴都相切
知识点 3 点与圆的位置关系
1、几何法：点，圆心，圆的半径，设与点间的距离，
点在圆外；
点在圆内；
点在圆上．
2、代数法：将点直接代入圆的标准方程进行判断，即
若点在圆外，则；
若点在圆内，则；
若点在圆上，则．
知识点 4 圆上的点到定点的最大、最小距离
设圆心到定点的距离为，圆的半径为，圆上的动点为点．
（1）若点在圆外时，，；
（2）若点在圆上时，，；
（2）若点在圆内时，，．
综上：，．
考点一：求圆的标准方程
例1．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是 .
【变式1-2】（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 .
【变式1-3】（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 .
考点二：点与圆的位置关系
例2. （23-24高二上·安徽亳州·月考）（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（ ）
A．在圆P上B．在圆P内
C．在圆P内D．在圆P外
【变式2-1】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（ ）
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．与a的取值有关
【变式2-2】（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（23-24高二上·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点三：与圆有关的最值问题
例3. （23-24高二上·湖北·期中）已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·月考）若实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（23-24高二上·上海·期末）已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 .
【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为 ．
考点四：与圆有关的对称问题
例4. （23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4-1】（23-24高二上·云南昆明·月考）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A．B．9C．4D．8
【变式4-2】（23-24高二上·河北·期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-3】（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（ ）
A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与m的值无关
5．（2023高二上·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
6．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）若有一组圆：，下列命题正确的是（ ）
A．所有圆的半径均为2
B．所有的圆的圆心恒在直线上
C．当时，点在圆上
D．经过点的圆有且只有一个
三、填空题
9．（23-24高二上·贵州毕节·期末）与圆有相同圆心，且过点的圆的标准方程是 .
10．（22-23高二下·四川凉山·月考）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是
11．（23-24高二上·全国·专题练习）已知满足，则的取值范围是 .
四、解答题
12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于直线对称，点，都在上.
(1)求线段垂直平分线的方程；
(2)求的标准方程
13．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)点P在圆C上运动，求的取值范围．
第14讲 圆的一般方程
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．理解圆的一般方程及其特点；
2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化；
3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.
知识点 1 圆的一般方程
1、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程．
其中为圆心，为半径．
2、圆的一般方程的形式特点
（1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；
（2）不含项；
（3）．
3、一般方程与标准方程关系：
对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知：
（1）当时，方程只有实数解.它表示一个点．
（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
知识点 2 圆的一般方程判断点和圆的位置关系
已知点，和圆的一般方程（）则
位置关系
代数关系
点在圆A上
点在圆A内
点在圆A外
知识点 3 轨迹与轨迹方程
1、轨迹方程和轨迹的定义
已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.
2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别：
（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；
（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．
3、坐标法求轨迹方程的步骤
（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；
（2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标；
（3）列式：列出关于的方程；
（4）化简：把方程化为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
考点一：二元二次方程与圆
例1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
考点二：求圆的一般方程
例2. （23-24高二上·内蒙古·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（23-24高二上·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知，，为原点，则的外接圆方程为 .
【变式2-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知在中，AB边所在直线的方程为，AC边所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为．
(1)求C点的坐标；
(2)求的外接圆方程．
考点三：点与圆的位置关系
例3. （22-23高二上·天津和平·月考）已知圆C：，则点在（ ）
A．圆外B．圆上C．圆内D．以上情况均有可能
【变式3-1】（23-24高二上·内蒙古·期中）若点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）若点在圆的内部，则a的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
考点四：与圆有关的轨迹问题
例4. （23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 .
【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ．
【变式4-2】（23-24高二上·山东威海·期末）（多选）已知，是平面内两个定点，且，则满足下列条件的动点的轨迹为圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足．
(1)试求动点P的轨迹方程
(2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．
考点五：圆过定点问题
例5. （23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（23-24高二上·全国·专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和B．和C．和D．和
【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ．
【变式5-3】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 .
考点六：与圆有关的实际问题
例6. （23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【变式6-1】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度米，拱高米，建适时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱的高度为 米．（精确到0.01米，参考数据：）

【变式6-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.
一、单选题
1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·四川成都·月考）过三点的圆的一般方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“”是“方程表示圆的方程”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（23-24高二上·重庆万州·期中）若，，，四点共圆，则m的值为（ ）
A．2B．C．D．3
8．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是一条直线
B．当时，曲线是一个圆
C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为
D．当曲线是面积为的圆时，
三、填空题
9．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与圆，则两圆心之间的距离为 .
10．（23-24高二上·四川泸州·期末）若圆被直线平分，则圆C的半径为 ．
11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 .
四、解答题
12．（23-24高二上·全国·专题练习）已知曲线：．
(1)当取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论为何值，曲线必过两定点．
13．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线，直线l过点且与垂直.
(1)求直线l的方程；
(2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程.