(暑期班)2025年高二数学暑假讲义第13讲 椭圆的简单几何性质+课后练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：椭圆的简单几何性质
【即学即练1】若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 .
知识点02：椭圆的简单几何性质
离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （）
当越接近1时，越接近，椭圆越扁；
当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；
当且仅当时，图形为圆，方程为
【即学即练2】已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
知识点03：常用结论
1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
知识点04：直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
【即学即练3】直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2、直线与椭圆的相交弦
直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长
弦长
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
（2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为
运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即 ，故
结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
（3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，
．求：的面积（用、、表示）．
设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．
由余弦定理知： · ①
由椭圆定义知： ②，则得
故
【即学即练4】通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（ ）
A． B．3 C． D．6
题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质
【例1】椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等
【例2】已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】椭圆的焦距为4，则m的值为 ．
题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程
【例1】过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型03求椭圆的离心率的值
【例1】油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（ ）

A． B． C． D．
【例2】已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型04求椭圆的离心率的最值或范围
【例1】点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 .
【变式1】已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知点，为椭圆上的两点，点满足，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型05根据椭圆离心率求参数
【例1】设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3】椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是
【变式1】已知椭圆的离心率，则的值可能是（ ）
A．3 B．7 C．3或 D．7或
【变式2】设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 .
题型06直线与椭圆的位置关系
【例1】已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【变式1】已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
题型07直线与椭圆相切
【例1】已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 ．
【变式1】在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ．
题型08弦长
【例1】已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ．
【例2】已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
【变式1】已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程：
(2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长．
题型09中点弦和点差法
【例1】已知椭圆C： ，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【例2】直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为 ．
【例3】中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ．
【变式1】已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
【变式3】直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为 .
题型10椭圆中三角形面积问题
【例1】已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积.
【变式1】已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求面积的取值范围．
【变式2】已知圆，点是圆上的动点，是抛物线的焦点，为的中点，过作交于，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过的直线交曲线于点、，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
课后巩固练习
一、单选题
1．椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆和（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同
4．关于椭圆C：，有下面四个命题：
甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为；丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．已知分别为椭圆的两个焦点，且的离心率为为椭圆上的一点，则的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．过椭圆的中心作直线与椭圆交于A、B两点，为椭圆的左焦点，则面积的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，圆：，点P和点B分别为椭圆C和圆A上的动点，当取最小值3时，的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
9．椭圆上的点到直线:的距离的最小值为 ．
10．过椭圆：的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为
三、解答题
11．已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，如果是直角三角形，求点的坐标．
12．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
B能力提升
1．设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记为的内心．直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆方程为，为椭圆内一点，以为中点的弦与椭圆交于点，与轴交于点，线段的中垂线与轴交于点，当面积最小时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第13讲 1.2椭圆的简单几何性质 随堂检测
1.椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）
A． B． C． D．
2.若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6 B．或 C． D．或
3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A． B． C．或 D．
4.若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6.椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
7.若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8.已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
9.若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 .
11.若椭圆的焦点在轴上，且与椭圆：的离心率相同，则椭圆的一个标准方程为 .
12.已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为 .
13.已知过点的直线，与椭圆 相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是 .
14.过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，F为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率e的取值范围为 ．
15.已知为圆上一点，椭圆焦距为6，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围为 ．
16.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 .课程标准
学习目标
①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。
②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。
③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。
通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、周长、面积等问题。
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
（）
（）
范围
，
，
顶点
，，
，
轴长
短轴长＝，长轴长＝
焦点
焦距
对称性
对称轴：轴、轴 对称中心：原点
离心率
，