湖北省黄冈市2024届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份湖北省黄冈市2024届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共10页。
温馨提醒：
1．答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置．
2．请保持卷面的整洁，书写工整、美观．
3．请认真审题，仔细答题，诚信应考，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下表是2024年2月我国几座城市的平均最低气温，其中平均最低气温最低的城市是（ ）
A. 北京B. 上海
C. 哈尔滨D. 太原
【答案】C
解：∵，
∴最低气温最低的城市是哈尔滨．
故选：C．
2. 在下列四项竞技运动的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：A中不是中心对称图形，故不符合要求；
B中是中心对称图形，故符合要求；
C中不是中心对称图形，故不符合要求；
D中不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选；D．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. “367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
B. “任意买一张电影票，座位号是偶数”是不可能事件
C. 选出某校短跑最快的学生参加全市比赛用抽样调查
D. 调查春节联欢晚会的收视率用全面调查
【答案】A
解：A、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，故原说法正确，符合题意；
B、“任意买一张电影票，座位号偶数”是随机事件，故原说法错误，不符合题意；
C、选出某校短跑最快的学生参加全市比赛用全面调查，故原说法错误，不符合题意；
D、调查春节联欢晚会的收视率用抽样调查，故原说法错误，不符合题意；
故选：A．
5. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：由旋转的性质可知，，，
，
，
故选：C．
6. 如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
7. 如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ）
A. 8mB. 10mC. D.
【答案】B
解：由在中，，
设，，
则，
则；
又，
；
故选：B．
8. 用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚若按照这样的规律拼出的第个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第个图形所用两种卡片的总数为（ ）
A. 57枚B. 52枚C. 50枚D. 47枚
【答案】B
解：第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚），
第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚），
第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚），
第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚），
当时，所用正方形卡片：（枚），所用等边三角形卡片为：，
所用两种卡片的总数为：（枚），
故选：B．
9. 如图，点在同一条直线上，点在点之间，点在直线同侧，，，，连接．设，给出下面三个结论∶①；② ；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ① ② ③
【答案】A
解：，
，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
，故②正确；
，故③错误，
综上所述，正确的有①②，
故选：A．
10. 已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（ ）
A. 抛物线的顶点坐标为
B.
C. 关于x的一元二次方程（）的两解为，，则
D. 方程有3个根，则
【答案】D
∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线为，即，
∴抛物线的顶点坐标为．故A选项正确；
把代入函数中，得，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点为，，
∵抛物线的开口向上，
且抛物线上的两点，中，
∴．故B选项正确；
将抛物线向下平移m个单位长度，得到，
该抛物线与x轴的一个交点在点的左侧，另一交点在店的右侧，
∴关于x的一元二次方程（）的两解为，，满足，故C选项正确．
∵方程有3个根，
∴函数的图象与直线有3个交点，
∵函数的图象与x轴的交点为，，
如图，当直线经过点时，直线与函数的图象有3个交点，即
此时把点代入函数中，得到，
解得，
当时，
如图，当直线与函数只有一个交点时，直线与函数的图象有3个交点
∴对于方程可化为，即，
∴，
解得，
综上所述，或．故D选项错误．
故选：D
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 已知分式有意义，写出一个符合条件的x的值________．
【答案】1（答案不唯一）
解：由题意得：，
解得：，
x的值可以为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
12. 直线与轴交于点，与轴交于点，则关于方程的解为______________．
【答案】2024
解：直线与轴交于点，
关于的方程的解为，
故答案为：2024．
13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．若要从“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中抽取两张，则恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率是 __________________．
【答案】
解：将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的结果有：BC，CB，共2种，
∴恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率为
故答案为：．
14. 图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驱“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出__________， _________．
【答案】 ①. 2 ②. 5
解：∵图2得出每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，
∴图3每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，
∴
∴
∵
∴
故答案为：2，5．
15. 如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为__________．
【答案】
解：连接交于，过点作于，如图所示，
四边形为正方形，
四边形是梯形，
四边形的面积为，又，
，
设，则，，
，，，
四边形为矩形，
，
,
四边形为矩形，
,
点是点沿着的翻折点，
，
，
，又，，
，
，
在中，根据翻折特征，，利用勾股定理得，
，即，
解得，
，
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算∶
【答案】6
解：
17. 如图，已知，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
证明：∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
18. 元旦期间，若干名家长和学生去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题∶
求这次参加游玩的家长和学生各多少人？
【答案】家长5人，学生4人
解：设这次参加游玩的家长有人，学生有人，
由题意得：，
解得：，
这次参加游玩的家长5人，学生4人．
19. 为了解九年级甲、乙两个班级学生寒假期间每天体育锻炼的情况，体育老师从九年级甲、乙两班各随机抽取30名学生进行了“寒假期间平均每日体育锻炼时长（单位：分）”的调查，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息：
a．甲班学生平均每日体育锻炼时长条形统计图．
（平均每日体育锻炼时长用表示，共分为四个组别：．；．；．；．）
b．甲班抽取的30名学生的平均每日体育锻炼时长在组中的全部数据：
，，，，，，，，，，，．
乙班抽取的30名学生的平均每日体育锻炼时长在两个组的全部数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，．
c．甲、乙两班抽取的学生的平均每日体育锻炼时长的统计量如下．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，______，并补全条形统计图．
（2）若该校九年级共有600名学生，请你估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生人数．
（3）根据以上信息，请你对甲、乙两班寒假期间的体育锻炼情况作出评价，并说明理由．
【答案】（1）45，20，补图见解析
（2）估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生为180名
（3）甲班学生寒假期间体育锻炼情况较好，理由见解析
【小问1详解】
甲班A组有3人，B组有6人，C组有12人，所以D组有（人），甲班数据最中间两个数在C组，且都是45，所以中位数是；
乙班级最中间的两个数都是43，可知B，D组都有6个数据，则，
所以．
故答案为：45，20；
补全的条形统计图如解图所示．
【小问2详解】
甲班A，B两组有9人，乙班A，B两组也有9人，
∴（名）．
答：估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生为180名．
【小问3详解】
甲班学生寒假期间体育锻炼情况较好．
理由：甲班抽取的学生寒假期间平均每日体育锻炼时长的平均数、中位数、众数、优秀率均大于乙班．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，D，与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接，．已知四边形是平行四边形，且其面积是8．
（1）求点A的坐标及m和k的值．
（2）① 求点D坐标；
② 结合图象，直接写出不等式的解集．
（3）若直线与四边形有交点时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1），
（2）；或
（3）
【小问1详解】
，
无论k取何值，当时，y的值恒为0，
一次函数的图象过定点，
点A的坐标为，
，
四边形是平行四边形，且其面积是8，
，，B、C的横坐标相同，
，
反比例函数的图象交于点C，D，
点C的坐标为，
将代入中，
，
将代入中，
；
【小问2详解】
①由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为：，
令解得或，
点C的坐标为，
另一个交点的横坐标为4，
将代入，得，
点D的坐标为；，
②由图可得，
，
当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方，
不等式的解集为：或；
【小问3详解】
如图所示，当直线经过点C时，t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值，
将点代入，得，
解得；
与x轴交于点A，
将点代入，得，
解得，
若直线与四边形有交点时，t的取值范围为．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的解集等，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
21. 如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连结交于点G，连结，过点C的切线交的延长线于点 H．
（1）求证：．
（2）若的半径为6，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明：∵C，D是的三等分点，
∴，
∴，
∵，是直径，
∴，，
∵，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，作的延长线于，
∵，
∴，
由题意知，，
∵，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
由切线的性质可知，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，，，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，垂径定理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，等角对等边，正切，勾股定理等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，垂径定理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，等角对等边，正切，勾股定理是解题的关键．
22. 小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于进价的．
（1）设小明每月获得利润为w（单位：元），求每月获得利润w与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？
（3）当销售单价定为多少元时，每月利润最大？每月最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当销售单价定为20元时，每月可获得利润1500元
（3）当销售单价定为24元时，每月利润最大，每月可获得利润2340元
【小问1详解】
解：由题意，得：，
即，
，
，
．
【小问2详解】
令，即，
解得：．
，
，
答：当销售单价定为20元时，每月可获得利润1500元；
【小问3详解】
，
对称轴为直线．
∵，
∴抛物线开口向下．
∵其对称轴为直线，
∴当时，最大，
最大，
答：当销售单价定为24元时，每月利润最大，每月可获得利润2340元．
23. （1）[问题归纳]
如图1，已知D为边上的中点，记，，，求中线的取值范围．
解∶延长到点E，使，连接，
在和中，，，，
∴ ________，（请在、、、中选择一个填空）
∴，在，，即，
∴
解后反思：通过添加适当辅助线将零散的条件和结论整合在同一个三角形中，使得问题得以解决．
（2）[类比迁移]
如图2，已知点P为正外一点，，试探究线段、、之间的数量关系，并证明你发现的结论．
（3）[拓广探究]
如图3，已知为等腰直角三角形，其中，，点D为外一点，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）8
解：（1）∵，，，
∴；
（2）延长至点,使得,连接，
∵，
∴，
∵,
∴是等边三角形，
∴，，
∵正，
∴，，
∴，即：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）过点作，交于点，连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，即：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴．
24. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点．设P点在抛物线上运动，横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当P点位于第四象限时，求面积的最大值，并求出此时P点坐标；
（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为 h．
① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
② 根据h的不同取值，试探索点P的个数情况．
【答案】（1）
（2）面积最大值为；
（3）①；时，点只有1个；时，点有无数个；或时，点有2个
【小问1详解】
把代入得到
解得
∴
【小问2详解】
设点P为，过点P作轴交直线于点Q，
当时，，
解得
∴点B的坐标是，点A的坐标是，
设直线的解析式为，则
解得
∴直线的解析式为，
故点Q的坐标为，
∴，
∴，
当时，面积有最大值，最大值为，
此时，
即点P的坐标为
【小问3详解】
①∵
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，
②函数图象如下：
根据函数图象可知，
当时，m的值只有一个，故点P只有一个，
当时，m的值有无数个，故点P有无数个，
当或时，m的值有2个，故点P有2个，
城市
北京
深圳
上海
哈尔滨
太原
平均气温





景区栗价
成人票：每张90元
学生票：按成人票价5折优惠
咱们一行9人，购票需要多少元？
我算了一下，家长和学生分别购买成人票和学生票共需630元．
平均数
中位数
众数
优秀率
甲班
44.1
48
乙班
44.0
43
45